539

2.Курсовая стоимость ценных бумаг равна 300 150=45’000 руб.

3.Заем (80% от 45’000) равен 45’000 0,8 36’000 руб.

4.Процентный платёж I 36'000 92 0,09 828 руб.

360

5. Заёмщик получает 36’000-828=35’172 руб.

Кредитору выгодно удерживать проценты, выдавая заёмщику уменьшенную сумму. Во-первых, его услуга немедленно оплачивается; вовторых, доходность операции оказывается больше номинальной процентной ставки. Если кредитор выплачивает 35’172 руб., а получает через 92 дня 36’000 руб., доходность сделки равна

Пример 2. (Продолжение примера 1)

Предположим, что заёмщик выплатил 16.06 только 6’000 руб. и продлил погашение кредита ещё на три месяца на тех же условиях. Каков остаток долга и проценты на него, сколько всего заплатит должник кредитору

16.06?

Решение.

Срок действия очередного кредита t=92 дня, остаток долга, который нужно вернуть 16.09, равен 36’000-6’000=30’000 руб. Следовательно,

процентный платёж составляет I 30'000 92 0,09 690` руб. Тогда 16.06 360

заёмщик должен заплатить 6’000+690=6’690 руб. Пример 3. (Продолжение примера 2)

Предположим, что через 3 месяца (т.е. 16.09) заёмщик перечислил 15’000 руб. Распределить эту сумму на выплату основного долга и проценты за следующие три месяца. Каков остаток долга на 16.12?

Решение.

Пусть х — величина выплаченного основного долга. Тогда остаток долга равен (30’000-х) руб., его нужно вернуть 16.03 и на него начисляется

процентный платёж. Его величина составляет I 30'000 x 91 0,09, так

360

как продолжительность займа t = 14 дней сентября + 31 день октября +30 дней ноября +16 дней декабря = 91 день. Эти проценты выплачиваются 16.09, следовательно, x I 15’000 или

0,97725 x 14'317,5;x 14'650,81 руб. Процентный платёж равен

I 30'000 14'650,81 91 0,09 15'000 x 15'000 14'650,81 360

= 349,19 руб. Остаток долга равен 30'000 x 15'349,19 руб. Пример 4. (Продолжение примера 3)

Пусть через 3 месяца (т.е. 16.12) заёмщик снова не выплатил долг вовремя. Он опоздал с выплатой на 12 дней и перечислил в счёт погашения основного долга и процентов 12’000 руб. Как разложить эту выплату на часть оплаченного основного долга и процентный платёж, каков остаток долга , если с 20.12 все процентные ставки (обычная и штрафная) выросли на 2% ?

Решение.

Так как заёмщик перечислил деньги только 28.12, он должен заплатить штраф за просрочку выплаты основного долга по штрафной процентной ставке. Первые три дня просрочки (17.12 — 19.12) штрафная процентная ставка равнялась 10% годовых, следующие 9 дней (20.12 — 28.12) она выросла на 2% и составила 12% годовых. Суммарная величина штрафа равна

I1 15'349,19 3 0,1 9 0,12 58,84 руб. 360

Разность 12’000-58,84=11’941,16 руб. — это величина выплаченного основного долга плюс проценты за остаток долга, который нужно вернуть 16.03. Очередной срок кредита составляет 78 дней, с 29.12 по 16.03, причём день 29.12 уже считается (всего 3 дня декабря + 31 день января + 28 дней февраля + 16 дней марта). Новая процентная ставка равна 11% годовых. Если обозначить через х величину выплаченного основного долга, то остаток долга равен (15’349,19-х), а процентный платёж за этот остаток равен

I 15'349,19 x 78 0,11. Имеем x I 11'941,16; 360

x 15'349,19 x 78 0,11 11'941,16; 0,97617 x 11'575,338; 360

x=11’857,95 руб., I=83,21 руб.;

x I I1 11'857,95 83,21 58,84 12'000 руб.

Остаток долга, который нужно вернуть 16.03, равен

15’349,19-11’857,95=3’491,24 руб.

Пример 5. Погашение долга из нового займа.

Предположим, что долг составляет 45’000 руб. Срок погашения наступил 14.10, процентная ставка — 8% годовых, штрафная ставка — 9% годовых. Долг обеспечен 150 облигациями. Заемщик не погасил долг вовремя, а 24.10 принёс ещё 300 облигаций и 100 акций в залог под новый заём. Курс облигаций — 360 руб., акций — 180 руб., величина займа 80% курсовой стоимости ценных бумаг. Заемщик хочет полностью расплатиться со старым долгом, создав новый залог из 450 облигаций и 100 акций. Какую сумму он получит в качестве кредита?

Решение.

Стоимость нового залога равна сумме стоимости 450 облигаций

(450 360=162’000) и 100 акций (100 180=18’000), т.е. равна 180’000 руб.

Величина займа (80% стоимости залога) равна 144’000 руб. Проценты за 3

месяца (с 24.10 по 24.01, 92 дня) равны 144’000 0,08 92/360=2’944 руб.

Величина долга составляет 45’000 руб., а штрафные проценты за 10 дней (с 14.10 по 24.10) равны 45’000 0,09 10/360=112,5 руб.

Заемщик получит на руки сумму, равную 144’000 - (2’944 + 45’000 + 112,5) = 95’943,5 руб. Он должен возвратить 144’000 руб. 24 января.

2.4. Потребительский кредит

Потребительский кредит — один из наиболее распространённых способов кредитования населения. Банки и предприятия предоставляют потребительский кредит для стимулирования спроса на товары, которые население не могло бы приобрести только на зарплату.

Потребительский кредит выдаётся на несколько месяцев, процентный платёж за пользование кредитом взимается «вперёд»: для первого месяца процентный платёж рассчитывается на всю величину долга, а в каждый последующий месяц — на остаток долга, т.е. на величину долга, уменьшенную на уже выплаченную часть. Сам долг выплачивается равными долями в конце каждого месяца.

Введём обозначения: К величина предоставленного кредита; т — число ежемесячных выплат основного долга; r годовая процентная ставка в долях единицы. Тогда процентный платёж в первом месяце

Всего за пользование кредитом заемщик выплатит сумму:

Число b K r m 1 называется процентным коэффициентом.

24

Пример.

Размер предоставленного потребительского кредита 12’000 руб. Процентная ставка 12% годовых, срок погашения 6 месяцев. Нужно составить план погашения кредита. Он приведён в табл. 2.1.

I k r m 1 1'200 0,12 7 420 руб.

2424

2.5.Дисконтирование векселей

Дисконтирование векселя означает его покупку у владельца до истечения срока оплаты векселя по цене меньше той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока. Часто эта операция называется учётом векселей.

Сумма, которую покупатель выплачивает владельцу векселя при досрочном учёте, называется дисконтированной величиной векселя. Она ниже номинальной суммы на процентный платёж, который называется дисконтом.

Пусть FV — номинальная стоимость; PV — дисконтированная стоимость векселя (предлагаемая покупателем, например, банком); d — ставка дисконтирования, выраженная в процентах годовых или долях; t — число дней от момента дисконтирования до даты погашения векселя.

Тогда дисконт, который покупатель удерживает в свою пользу, вычисляется по формуле

360 t d

Пример 1.

Вексель номинальной стоимостью 3’000 руб. со сроком погашения 06.09 учтён 06.08 при 20% годовых. Найти дисконтированную величину векселя.

Решение.

I 3'000 92 0,2360 153,33 руб.

PV FV I 2'846,67 руб.

Пример 2.

10.04 учтён вексель со сроком погашения 09.06. Вычислить номинальную стоимость векселя, если ставка дисконтирования равна 6% годовых, а должник получил 5’940 руб.

Решение.

Пример 3.

Для погашения своего долга величиной 100’000 руб. со сроком погашения 18.04 заемщик выписал своему кредитору четыре векселя: один на сумму 10’000 руб. и сроком погашения 25.06, второй на сумму 20’000 руб. и сроком погашения 05.07 и два одинаковых векселя со сроками погашения 18.05 и 03.06. Какова номинальная величина этих двух векселей при 6% годовых?

Решение.

Величина дисконта для первых двух векселей равна

I1 I2 1'0000 68 20'000 78 0,06360 373,33 руб.

Тогда величина погашенного по этим векселям долга равна

PV1 PV2 30'000 373,33 29'626,67 руб.

Следовательно, долг, приходящийся на два оставшихся векселя, таков:

PV3 PV4 10'0000 29'626,67 70'272,33 руб.

Пусть FV— номинальная стоимость каждого из двух оставшихся векселей. Так как сроки их погашения составляют 30 и 46 дней соответственно, то величина дисконта равна

I3 I4 76 FV 0,06360 0,0127 FV .

Тогда 70'373,33 2 FV 0,0127 FV, FV 35'410,93 руб.

Ставка дисконтирования — 6% годовых. Какова номинальная стоимость третьего векселя, если дисконтированная стоимость всех трёх векселей —

69’320 руб.

Решение.

Дисконт по первому и второму векселю составляет

I1 I2 40'000 44 20'000 71 0,06360 530 руб.

Тогда дисконтированная стоимость первого и второго векселей равна

PV1 PV2 60'000 530 59'470 руб.

Отсюда дисконтированная стоимость третьего векселя:

PV3 69'320 59'470 9'850 руб.

Номинальная стоимость третьего векселя:

FV3 360 9'850 360 90 0,06 10'000 руб.

Пример 5.

Для погашения своего долга величиной 800’000 руб. предприятие 20.05 выдало банку четыре одинаковых векселя со сроками погашения: 20.06, 10.07, 05.08, 20.09. Какова величина каждого векселя, если ставка дисконтирования составляет 10% годовых.

Решение.

Пусть FV — номинальная стоимость каждого векселя, тогда общая величина дисконта равна

I1 I2 I3 I4 FV 36 51 77 123 0,1360 0,0783 FV,

отсюда PV 800'000 4 FV 0,0783 FV,FV 203'994,9 руб.

3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Формула сложных процентов является одной из базовых в финансовых вычислениях. Этот термин означает, что процент, выплачиваемый по ссуде или вложенному капиталу, присоединяется к основной сумме, в результате чего проценты выплачиваются и на основную сумму, и на начисленные проценты.

В качестве примера рассмотрим сберегательный счёт, на котором в начале года лежит 5’000 руб. Какая сумма будет лежать через год, два года, три года, п лет при 12% годовых?

Решая задачу, мы определяем конечную стоимость (TV) на счёте в конце заданного периода времени.

TV1 5'000 1 0,12 5'600 руб.

TV2 5'600 1 0,12 5'000 1 0,12 2 6'272 руб.

В конце второго года ко вкладу добавляются 600 руб. как проценты на основную сумму и ещё 72 руб. “набегают” на проценты (600 руб.) за первый год. Отсюда название “сложные проценты”. По прошествии трёх лет величина вклада станет равной

TV3 6'272 1 0,12 5'000 1 0,12 3 7'024,64 руб.

Теперь нетрудно записать общую формулу

TVn P 1 r n,

(3.1)

где Р исходный капитал; r процентная ставка за базовый период, выраженная в долях единицы; п число базовых периодов (лет, кварталов, месяцев).

Коэффициент 1 r n , а также коэффициент 1 r n , который используется в схеме простых процентов, будем называть множителем или коэффициентом наращения.

Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, называют капитализацией процентов.

3.1. Внутригодовые процентные начисления

На практике проценты могут начисляться чаще, чем раз в год (раз в полгода, раз в квартал и т.п.). Но в договоре всё равно указывается годовая процентная ставка. Тогда величина TVn рассчитывается по формуле:

где т количество начислений в год. В таких условиях количество начислений за n лет увеличивается в m раз, зато годовая процентная ставка уменьшается в m раз (полугодовая процентная ставка в 2 раза меньше годовой, квартальная процентная ставка в 4 раза меньше годовой и т.д.).

Пример.

В банк на два года под 20% годовых положены 5’000 руб. Начисление процентов ежеквартальное. Какая сумма будет на счету через два года? Какой была бы эта сумма, если бы проценты начислялись один раз в год?

Решение.

TV1 5'000 1 0,05 2 4 7'387,28 руб.

TV2 5'600 1 0,2 2 7'200 руб.

Видно, что 20% годовых не эквивалентны 5% в квартал, если проценты сложные. Чем чаще идёт начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

3.2. Начисление процентов за дробное число базовых периодов

Финансовые контракты могут заключаться на срок, отличающийся от целого числа базовых периодов. Тогда проценты могут начисляться одним из двух методов:

а) по схеме сложных процентов:

Здесь для целого числа базовых периодов используется схема сложных процентов, для дробной части базового периода — схема простых процентов.

Поскольку f 1, то 1 f r 1 r f , следовательно, конечная сумма TV будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример.

Банк предоставил ссуду в размере 120 тыс. руб. на 27 месяцев (т.е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16% годовых на условиях одновременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Какую сумму должен вернуть заёмщик банку при различных вариантах и схемах начисления процентов:

а) годовом начислении; б) полугодовом; в) квартальном. Решение.

а) Годовое начисление процентов: n 2; f 0,25; r 0,16.

Схема сложных процентов: TV 120 1 0,16 2,25 167'576 руб.

Смешанная схема: TV 120 1 0,16 2 1 0,25 0,16 167'931 руб.

б) Полугодовое начисление процентов: n 4; f 0,5; r2 0,08.

Схема сложных процентов: TV 120 1 0,08 4,5 169'633 руб.

Смешанная схема: TV 120 1 0,08 4 1 0,5 0,08 169'789 руб.

в) Квартальное начисление процентов: n 9; r4 0,04.

Схема сложных процентов: TV 120 1 0,04 9 170'794 руб.

Здесь продолжительность ссуды (9 кварталов) кратна продолжительности базового периода (квартал), поэтому нужно пользоваться обычной формулой сложных процентов.

3.3. Непрерывное начисление процентов

Перейдём к пределу при m в формуле (3.2)

где е — одна из важнейших постоянных математического анализа, один из так называемых замечательных пределов. Трансцендентное число е=2,718281... используется в различных разделах математического анализа.

Устремляя т к , мы переходим в режим непрерывного начисления процентов. Конечная стоимость TV в этом случае максимально возможна.

Пример.

Найдём TV при m для предыдущего случая.

TV 120 e0,16 2,25 172'000 руб.

3.4. Эффективная процентная ставка

Эффективной процентной ставкой (годовой нормой доходности) называется годовая ставка простых процентов, которая позволяет получить такое же наращенное значение вложенной суммы, как m-разовое наращение в

год по схеме сложных процентов по ставке r . Эффективную процентную m

ставку обозначим через rэ.

Если Р — исходная сумма, S — сумма, подлежащая возврату, r — номинальная годовая процентная ставка, проценты начисляются m раз в год, а срок действия финансовой сделки п лет, то

Пример 1.

Определим эффективные процентные ставки при r=16% годовых и сроке действия договора 1 год.

а) Годовое начисление процентов:

rэ 1,16 1 0,16 (16%).

б) Полугодовое начисление процентов:

rэ 1,082 1 0,1664 (16,64%).

в) Поквартальное начисление процентов:

rэ 1,084 1 0,1699 (16,99%).

г) Ежемесячное начисление процентов:

12

д) Ежедневное начисление процентов (год не високосный):

е) Непрерывное начисление процентов: rэ e0,16 1 0,17351 (17,351%).

Два финансовых контракта считаются эквивалентными (имеющими одинаковую доходность), если совпадают их эффективные процентные ставки.

Пример 2.