539

Отчисления

7.4. Оценка аннуитета с изменяющейся величиной платежа

На практике возможны ситуации, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения. Например, в условиях инфляции при заключении договоров аренды предусматривается периодическое увеличение платежа, компенсирующее рост цен.

Пример.

Участок земли сдан в аренду на 10 лет. Арендная плата осуществляется по схеме постнумерандо на следующих условиях: первые шесть лет по 50 тыс. руб., оставшиеся четыре года по 60 тыс. руб. в год. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка составляет

15%.

Общая схема денежного потока показана на рис.7.5. Нужно определить приведенную стоимость денежного потока на момент времени 0 (начало первого года).

60 60 60 60

50 50 50 50 50 50

Рис. 7.5

Можно предложить несколько эквивалентных способов решения этой задачи.

Способ 1. Исходный поток представляется как сумма двух аннуитетов: величина первого А=50, он продолжается 10 лет, начавшись в конце первого года. Величина второго A=10, он продолжается 4 года, начавшись в седьмом году и закончившись в десятом. Приведенная стоимость первого аннуитета равна

PV1 50 [1 (1 0,15) 10 ]/0,15 250,938 тыс. руб.

Чтобы рассчитать приведенную стоимость второго аннуитета, нужно сначала определить его стоимость на начало седьмого года, а затем дисконтировать эту сумму к началу первого года.

PV2 {10 [(1 (1 0,15) 4 )]/0,15}/(1 0,15)6 12,343 тыс. руб.

Приведенная стоимость исходного денежного платежа равна сумме

PV1 PV2 263,281 тыс. руб.

Способ 2. Исходный поток можно представить как разность двух

аннуитетов: первый имеет А = 60 и продолжается 10 лет, начавшись в первом году; второй имеет А = 10 и продолжается 6 лет, начавшись в первом году и закончившись в шестом. Тогда

PV 60 [1 (1 0.15) 10]/0,15 10 [1 (1 0,15) 6]/0,15

=301,126 37,845 = 263,281 тыс. руб.

7.5. Бессрочный аннуитет

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относят аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет).

В случае бессрочного аннуитета прямая задача теряет смысл. Для решения задачи дисконтирования аннуитета нужно перейти к пределу при

приобретения бессрочного аннуитета. В этом случае должен быть известен размер годовых поступлений, в качестве коэффициента дисконтирования обычно принимается гарантированная процентная ставка (например, процент, предлагаемый государственным банком).

Пример.

Определить текущую стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 50’000 долл., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 12% годовых.

Решение.

PV= 50’000/0,12 = 416’667 долл.

Таким образом, если аннуитет предлагается по цене, не превосходящей 416’667 долл., он представляет собой выгодную инвестицию.

Контрольная работа

Задача 1.

Предоставлена ссуда в размере Р тыс. руб. <Дата > с погашением через п месяцев (n номер варианта или 10 ) под r% годовых (год не високосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению S.

Задача 2.

2а. Клиент обратился в банк <Дата> для получения ломбардного кредита и предоставил в залог т единиц ценных бумаг. Величина займа рассчитывается исходя из 80% их курсовой стоимости. Процентная ставка составляет r% годовых. На какой кредит может рассчитывать клиент банка, если курс его ценных бумаг составляет k рублей?

2б. Продолжение. Через 3 месяца заемщик выплатил только N руб. и продлил погашение кредита еще на 3 месяца на тех же условиях. Каков остаток долга и проценты за него? Сколько всего заплатил заемщик?

2в. Продолжение. Через 3 месяца заемщик перечислил N1 руб. Распределить эту сумму на выплату основного долга и проценты за следующие 3 месяца. Каков остаток долга?

2г. Продолжение. Через 3 месяца заемщик не сумел погасить долг вовремя. Он опоздал с выплатой на t дней, причем остаток долга составил N2 руб. Кроме того, он заплатил штрафные проценты за задержку и проценты за следующие 3 месяца. Сколько всего он заплатил, если увеличенная процентная ставка составляет r1%годовых?

2д. Продолжение. Через 3 месяца заемщик не выплатил долг вовремя. Он опоздал с выплатой на t1 дней и перечислил в счет погашения основного долга и процентов по нему N3 руб. Как распределяется эта сумма на величину основного долга и процентов? Каков остаток долга?

Для погашения долга величиной P тыс. руб. со сроком погашения <Дата> заемщик выписал своему кредитору векселя: один – на сумму P1 тыс. руб. сроком погашения <Дата 1>, второй – на сумму P2 тыс. руб. сроком погашения <Дата 2> и два одинаковых векселя со сроками погашения <Дата 3> и <Дата 4>. Какова номинальная стоимость этих векселей, если ставка дисконтирования d% годовых?

Задача 6.

Рассчитать TV для различных вариантов начисления процентов за n лет, если начальный капитал равен P тыс. долл., а процентная ставка равна r% годовых (ежегодного, полугодового, квартального, ежемесячного, ежедневного, непрерывного). Определить соответствующие эффективные годовые процентные ставки.

Задача 7.

Найти суммы в прошлом и будущем, эквивалентные сумме P в момент времени 0 (сегодня) при ставке r% годовых. Ответ дать с точностью одного знака после запятой. В прошлое и будущее последовательно уходить на год, два года, три года, четыре года, пять лет.

Задача 8.

На счете в банке 10 млн. руб. Банк платит r% годовых. Предлагается вложить весь капитал в предприятие, вследствие чего прогнозируется удвоение капитала через n лет. Принимать ли это предложение ?

Задача 9.

Банк предлагает r% годовых. Чему должен быть равен первоначальный вклад, чтобы через n лет иметь на счете FV тыс. руб. Ответ дать с точностью до рубля.

Задача 10.

Определить ставку налога на прибыль, если месячный уровень инфляции составляет h1/12% , реальная ставка доходности равна rRe%, годовая процентная ставка равна r% . Ответ дать с точностью одного знака после запятой.

Задача 11.

Банк выдал ссуду в размере P тыс. долл. Под r% годовых (проценты начисляются на невозвращенный остаток долга). Ссуда погашается в течение t лет равными частями. Какова сумма ежегодного взноса? Составить таблицу амортизации ссуды.

Задача 12.

За P тыс. долл. можно приобрести некий актив, приносящий A тыс. долл. ежегодно. Срок действия актива ограничен, через некоторое время он теряет стоимость и перестает приносить доход. В качестве альтернативы можно поместить деньги в банк под r% годовых. Каким должен быть срок службы актива, чтобы покупка была выгодной? Вывести формулу, по которой можно рассчитать срок службы n через величины P, A, r.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Основные формулы

Процентная ставка

rt FV PV , PV

где rt процентная ставка; PV инвестированная сумма;

FV сумма, подлежащая возврату.

Учетная ставка

dt FV PV , PV

где dt учетная ставка;

PV инвестированная сумма;

FV сумма, подлежащая возврату.

Соотношение между процентной и учётной ставками

где rt процентная ставка; dt учётная ставка.

Формула простых процентов

S P I P P r n P 1 r n ,

где Р первоначальный капитал; S сумма, подлежащая возврату; I процентный платеж;

r годовая процентная ставка; п число лет ссуды.

Формула простых процентов в случае дробного числа лет

где Р первоначальный капитал; S сумма, подлежащая возврату; r годовая процентная ставка;

Т продолжительность года (360, 365 или 366 дней); t продолжительность финансового договора в днях.

Расчёт процентного платежа в случае переменной процентной ставки

n

I P (rk Tk ),

k 1

где I процентный платеж; Р первоначальный капитал;

п количество изменений процентной ставки;

rk годовая процентная ставка в k-м периоде, k=1,2,..,n;

Tk продолжительность k-го периода (в годах) постоянства процентной ставки.

Расчёт процентного платежа за пользование потребительским кредитом

I K r m 1 , 24

где I процентный платеж; К величина кредита;

т число месяцев, на которые выдан кредит; r годовая процентная ставка.

Расчёт вексельного дисконта

I FV t d PV t d , 360 360 t d

где I вексельный дисконт;

FV номинальная величина векселя;

PV дисконтированная величина векселя; d годовая ставка дисконтирования;

t число дней от дня учёта до дня погашения векселя.

Расчёт дисконтированной и номинальной величины векселя

где FV номинальная величина векселя; PV дисконтированная величина векселя; d годовая ставка дисконтирования;

t число дней от дня учёта до дня погашения векселя.

Формула сложных процентов

TVn P 1 r n,

где Р исходный капитал;

TVn конечная сумма через п лет; r годовая процентная ставка;

п число лет.

Внутригодовые процентные начисления с целым числом лет

где Р исходный капитал;

TVn конечная сумма через п лет; r годовая процентная ставка;

п число лет; т количество начислений за год.

Начисление процентов за дробное число лет по формуле сложных процентов

T P 1 r n f ,

где Р исходный капитал; Т конечная сумма;

r годовая процентная ставка; п число целых лет;

f дробная часть года.

По смешанной схеме

T P 1 r n 1 f r ,

где Р исходный капитал;

Т конечная сумма;

r годовая процентная ставка; п число целых лет;

f дробная часть года.

Непрерывное начисление процентов

TVn P er n,

где Р исходный капитал;

TVn конечная сумма через n лет; r годовая процентная ставка; ' n число лет.

Эффективная процентная ставка

где re эффективная процентная ставка; т количество начислений за год.

rгодовая процентная ставка;

пчисло лет.

Наращение по переменной сложной процентной ставке

k

SP [ 1 ri ti 1 fi ri ],

i1

где S сумма, подлежащая возврату; Р исходный капитал;

ri годовая процентная ставка в i-м периоде, i=1,2,..k;

где PV текущая (сегодняшняя) стоимость будущей суммы FV; FV будущая сумма;

m количество начислений за год.