539

И.А. Палий

ФИНАНСОВЫЕ

МОДЕЛИ

УДК 336.67

ББК 65.053

П 14

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. З.Х.Толбаева

Работа одобрена редакционно-издательским советом института в качестве конспекта лекций и контрольной работы по дисциплине “Экономико – математические методы и модели” для специальностей 060811 – Экономика и управление на предприятиях строительства и 060813 – Экономика и управление на предприятиях автотранспорта.

Палий И.А. Финансовые модели: Конспект лекций и контрольная работа. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2002. – 60 с.

Составлены на основании рабочей программы дисциплины “Экономикоматематические методы и модели” и предназначены для студентов заочной формы обучения СибАДИ. Рассмотрены основные понятия и формулы финансовой математики, подробно разобраны примеры решения задач контрольной работы.

Ил.7. Табл. 5. Библиогр.: 5назв.

Издательство СибАДИ, 2002

И.А.Палий, 2002

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ.ОШИБКА! ЗАКЛАДКА НЕ ОПРЕДЕЛЕНА.

2.ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ..ОШИБКА! ЗАКЛАДКА НЕ ОПРЕДЕЛЕНА.

1. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

Финансовые вычисления сложились в отдельную отрасль знаний в XIX в. Тогда их называли коммерческой арифметикой. В странах с рыночной экономикой по мере становления рынка капитала коммерческая арифметика превратилась в самостоятельную науку – финансовое управление, или финансовый менеджмент. Главным постулатом современного финансового анализа является представление о временной стоимости денег. Если деньги имеют стоимость, то рубль (доллар, марка, фунт, франк и т.п.) сегодня стоит дороже рубля, который будет получен в будущем (через месяц, год, 10 лет и т.п.), ведь сегодняшний рубль можно инвестировать и заработать доход. Поэтому анализ любой финансовой операции должен начинаться с приведения денежных сумм, относящихся к разным моментам времени, к одному моменту (неважно – в настоящем, прошлом или будущем). Только после этого денежные суммы становятся сравнимы между собой, с ними можно производить математические операции.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через определённое время T буден возвращена большая сумма FV. Чтобы оценить выгоду подобной операции, рассчитывают специальный коэффициент, который называется ставкой. Cтавку можно рассчитать по одной из двух формул:

Этот показатель называют ещё процентной ставкой, нормой прибыли, доходностью.

Данный показатель называют также учётной ставкой, дисконтом. Так как FV > PV, то всегда rt > dt .

Оба коэффициента выражать либо в долях единицы, либо в процентах. Если по известной величине PV вычисляется будущая сумма FV, в финансовом анализе говорят о процессе наращения, когда денежный поток

движется от настоящего к будущему.

Если по заданной возвращаемой сумме FV вычисляется исходная сумма PV, говорят о процессе дисконтирования и движении денежного потока от будущего к настоящему.

Учетная ставка легко выражается через процентную ставку и наоборот:

2. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

Предоставляя в долг свои денежные средства, их владелец получает определённый доход в виде процентов, начисляемых по некоторому правилу в течение определённого промежутка времени. Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, поэтому процентная ставка устанавливается обычно в виде годовой ставки.

Плата за кредит может взиматься в конце срока кредита, в начале этого срока (авансовый процентный доход) и в течение срока кредита. В первом случае проценты начисляются в конце срока и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. Такой способ начисления процентов называется декурсивным. Во втором случае процентный доход выплачивается в начале срока, а должнику выплачивается сумма, уменьшенная на его величину. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом, а способ начисления процентов — антисипативным.

В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил большее распространение.

Описывая в дальнейшем разные виды финансовых сделок, мы будем оговаривать и способ начисления процентов, характерный для данного вида сделки.

Схема простых процентов предполагает, что они начисляются с одного и того же первоначального капитала. Введем обозначения:

P – исходный капитал;

r – годовая процентная ставка (в долях единицы); S – сумма, подлежащая возврату;

I – процентный доход (платёж) — сумма платы за кредит; T – количество дней в году (360, 365 или 366);

t – срок действия соглашения (в днях);

n – срок действия соглашения в годах, если соглашение рассчитано на целое число лет.

Любая кредитная операция описывается очевидным соотношением:

В случае схемы простых процентов годовой процентный платёж равен величине P r, а если ссуда выдана на п лет, то I P r n. Тогда через п лет нужно вернуть сумму:

Если кредитор выдаёт краткосрочную ссуду, т.е. ссуду, предоставленную на срок менее года, используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой ставки, пропорциональной доле срока ссуды в году. В этом случае

(2.4)

При определении продолжительности финансовой операции принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. Это правило распространяется на все финансовые операции, и при дальнейшем изложении будет подразумеваться без дополнительных разъяснений.

Годовую процентную ставку будем называть также номинальной, а процентную ставку за период действия финансовой сделки фактической.

Взависимости от того, чему берётся равной продолжительность года, размер фактической процентной ставки оказывается различным. Возможны два варианта:

а) точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), квартале (от 89 до 92), месяце (от 28 до 31);

б) обыкновенный процент, определяемый исходя из приближённого числа дней в году, квартале, месяце (соответственно 360, 90,30).

При определении продолжительности финансовой операции также возможны два варианта:

а) принимается в расчёт точное число дней (расчёт берётся по дням); б) принимается в расчёт приближённое число дней (исходя из

продолжительности месяца в 30 дней).

Вслучае, когда в расчётах используется сложный процент, берётся и точная величина продолжительности финансовой операции; при использовании обыкновенного процента применяется как точное, так и приближённое число дней ссуды. Всего возможны три способа расчёта:

•обыкновенный процент с точным числом дней;

•обыкновенный процент с приближённым числом дней;

•точный процент с точным числом дней.

2.1. Примеры расчета простых процентов

Пример 1.

Разница между двумя капиталами равна 300 долл. Капитал большего размера вложен на 6 месяцев при ставке 5% годовых, а капитал меньшего размера – на 3 месяца при ставке 6%. Процентный платеж за больший капитал равен двойному процентному платежу за меньший. Найти величину капиталов.

Решение.

Обозначим больший капитал через P1, а меньший через P2 , тогда

P1 P2 300, I1 P2 0,05 6 0,025 P2 ; 12

I1 P2 0,06 3 0,015 P2 ; 0,025 P1 2 0,015 P1 300 ; 12

отсюда P1 1’800, P2 1’500.

Пример 2.

На сколько лет должен быть вложен капитал Р при 6% годовых, чтобы процентный платеж оказался равен тройной величине капитала?

Решение.

Пусть Х—искомое число лет, тогда I P x 0,06 3 P, откуда х=50

лет.

Пример 3.

За какое время капитал величиной 4’500 долл., вложенный под 4% годовых (обыкновенный процент с точным числом дней), увеличится на такую же величину, что и капитал 6’000 долл., вложенный с 10.03 по 22.05 под 5,75% (точный процент с точным числом дней, в году 365 дней).

Решение.

Обозначим через t искомое число дней. Определим продолжительность второй финансовой операции. Она равна: 21 день марта (31-10) + 30 дней

апреля + 22 дня мая = 73 дня. Отсюда 4’500 0,04 t 6’000 360

0,0575 73 t 138 дней.

365

Пример 4.

25 января представлена ссуда в размере 50’000 руб. с погашением через 6 месяцев (25 июля) под 60% годовых (год не високосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению.

Решение.

Точное число дней, на которые выдана ссуда, равно 181 (6 дней января + 28 дней февраля + 31 день марта + 30 дней апреля + 31 день мая + 30 дней июня + 25 дней июля). Приближенное число дней ссуды равно 180 (6 месяцев по 30 дней). Возможны следующие варианты расчета долга:

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:

2.В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:365

3.В расчёт принимаются обыкновенные проценты и приближённое число дней: 360

Пример 5.

Определить сумму вклада, которую нужно положить в банк сроком на 5 месяцев под 10% годовых, чтобы к концу срока получить 10’417 руб.

Решение.

Нужно продисконтировать будущую сумму FV=10’417.

Здесь Т число месяцев в году (12), t — срок действия соглашения в месяцах.

T

2.2. Переменная процентная ставка

Процентная ставка не обязательно остаётся постоянной в течение всего срока действия финансового договора. Тогда проценты вычисляются отдельно для каждого периода постоянства процентной ставки. В конце срока договора инвестор получает доход, равный сумме рассчитанных процентных платежей.

Пример.

Клиент внёс в банк вклад в размере 10 тыс. руб. сроком на 2 года. Процентная ставка до середины второго квартала первого года составила 30% годовых, далее до конца третьего квартала — 25%, с начала четвёртого квартала первого года до конца первого квартала второго года она поднялась до 28% годовых, а затем до конца второго года вновь опустилась до 25%. Какую сумму клиент получил в конце года?

Решение.

Рассчитаем длину (в месяцах) каждого периода постоянства

t4 6;r 0,25; I4 6 0,25 10’000 = 1’250 руб.

12

Сумма процентов за два года I I1 I2 I3 I4 4’712,5 руб. В результате клиент получает 14’712,5 руб.

Выведем общую формулу. Пусть всего имеется п временных периодов, длина k-го периода (в годах) равна Tk , годовая процентная ставка за k-й

Напомним, что при вычислении Tk нужно указать используемую схему расчета (точный процент, точное число дней; обыкновенный процент, точное число дней; обыкновенный процент, приближённое число дней).

2.3. Ломбардный кредит

В случае ломбардного кредита заёмщик должен обеспечить получаемый кредит ценными бумагами или ценными вещами. В мировой практике принято, что сумма ломбардного кредита не должна превышать 7580% номинальной стоимости залога. Если кредит обеспечивается ценными бумагами, его величина рассчитывается исходя из 75-80% текущей курсовой стоимости данных ценных бумаг.

Обычно ломбардный кредит выдаётся на трёхмесячный срок. При этом возможны различные варианты выплаты долга: заёмщик может погасить весь долг вовремя; может продлить срок погашения на следующие три месяца; может выплатить вовремя лишь часть долга, а оставшуюся часть — погасить в будущем. При расчёте учитывается точное количество дней в месяце, принимается, что в году 360 дней. Если заёмщик не погасил кредит вовремя, он, как правило, должен рассчитаться с кредитором по увеличенной (штрафной ставке).

Процентный платёж начисляется при выдаче кредита, должнику выдаётся сумма, уменьшенная на величину процентного платежа, а вернуть он должен всю сумму долга в конце срока действия кредитного договора.

Пример 1.

Клиент обратился в банк 16 марта для получения ломбардного кредита и предоставил в залог 150 единиц ценных бумаг. Величина займа рассчитывается, исходя из 80% их курсовой стоимости. Процентная ставка составляет 9% годовых, а штрафная процентная ставка — 10% годовых. На какой кредит может рассчитывать клиент банка, если курс его ценных бумаг составляет 300 руб.?

Решение.

1.Срок действия кредита (с 16.03 по 16.06) t=92 дня (15 дней марта + 30 дней апреля +31 день мая +16 дней июня).