Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

447

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
505.28 Кб
Скачать

dS

Q

 

T .

(4.5)

Здесь dS = const, а изменяется только правая часть уравнения, т.е. значение величины теплоты. Единицы измерения энтропии: [S] = Дж/моль·К.

Объединенное уравнение первого и второго закона термодинамики:

 

 

 

 

 

(4.6)

 

TdS dU pdV A.

 

Расчет изменения энтропии идеального газа.

 

 

 

 

Выразим изменение внутренней энергии

 

dU CvdT.

 

 

 

 

Разделив уравнение (4.6) на Т , определим изменение энтропии:

dS

CvdT

 

p

dV.

(4.7)

 

 

T

 

 

T

 

 

Из уравнения идеального газа: pV RT

следует, что

p

 

R

.

 

 

 

 

 

 

 

T V

Тогда, после подстановки этого соотношения в (4.7):

 

 

 

 

dS

CvdT

 

 

R

dV

.

 

 

(4.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

Проинтегрируем

выражение (4.8)

при Cv

const и

получим

уравнение для расчета изменения энтропии идеального газа:

 

 

 

 

 

ΔS Cv

ln

T2

Rln

V2

.

(4.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1

V1

 

Изотермический процесс, T const:

V2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΔS Rln

 

,

 

 

 

 

 

 

(4.10)

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как

V2

 

p1

, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ΔS Rln

p1

.

 

 

 

(4.11)

 

 

 

 

 

 

 

Изохорический процесс, V const:

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T2

 

 

 

 

 

 

 

ΔS Cv Rln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(4.12)

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

21

Изобарический процесс, p const:

ΔS Cp Rln

T2

 

 

.

(4.13)

T

Адиабатический процесс, Q 0:

1

 

 

 

 

 

ΔS 0.

 

 

(4.14)

Постулат Планка имеет следующую формулировку: при абсолютном нуле энтропия правильно образованных кристаллов чистых веществ равна нулю. Постулат позволяет рассчитать абсолютное значение энтропии, если известны теплоты фазовых переходов, и если известны теплоёмкости вещества в различных агрегатных состояниях.

Рассмотрим вычисление изменения энтропии в различных процессах.

1. Изменение энтропии S при фазовых переходах (T = const)

определяется по формуле

S n H

(4.15)

T ,

где ∆H - теплота фазового перехода (кипение, испарение, возгонка, плавление); n – число моль вещества, переходящего из одной фазы в другую; n = g/M, где g – масса вещества, M – его молярная масса.

2. Изменение энтропии ∆S при нагревании. а) Пусть p = const, тогда Q CpdT ,

dS

CpdT

 

 

 

T .

(4.16)

 

Если Cр = const, тогда

 

T2

 

 

∆S = Cр

ln

,

(4.17)

T

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

где Т1 и Т2 – температуры начала и окончания нагревания

вещества.

 

 

Пусть Cр выражается в Дж/моль· К, тогда

 

∆S = n Cр ln

T2

,

(4.18)

T

 

 

 

1

 

 

Пусть Cp выражается в Дж/г ·К, тогда

22

∆S = g Cр lnT2 .

T1

Если Cp зависит от температуры, т.е. Cр = f (T), тогда

dS T2 (a bT cT2 с Т 2) dT . T

T1

б) Пусть V = const, тогда

(4.19)

(4.20)

dS CV ln

T2

 

 

.

(4.21)

T

 

1

 

 

Для расчёта абсолютного значения энтропии S вещество нагревается от абсолютного нуля до данной температуры ( p = const).

Для твёрдого тела при температуре T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

dT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S тв

C p (тв )

.

 

(4.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

273

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

Для жидкости при температуре T

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tпл

 

 

 

dT

 

H

 

 

 

 

 

 

dT

 

 

Sж Cp (тв)

 

 

пл

Cp (ж)

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(4.23)

 

T

 

T

 

 

T

 

 

273

 

 

 

 

 

 

пл

T

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

газа

 

 

при

 

 

 

пл

температуре

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

Tпл

dT

 

 

H

Tкип

 

 

dT

 

H

 

 

T

dT

Sг Cp(тв)

 

 

 

пл

 

 

Cp(ж)

 

 

 

 

исп

Cp(г)

 

(4.24)

T

 

T

 

 

T

 

T

T

273

 

 

 

пл

 

Tпл

 

 

 

 

 

 

 

кип

 

Tкип

 

 

Задача.

Найти изменение энтропии g кг воды (тв.) Н2О при нагревании (охлаждении) в интервале температур от Т1 до Т2, если известны температуры плавления и кипения, средние теплоемкости, теплоты плавления и испарения.

Таблица 3

Термодинамические величины веществ

g,

Т1,

Т2,

Плавление

 

 

 

Испарение

 

 

Удельная теплоемкость,

 

кг

К

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дж/кг·К

 

 

 

 

 

 

Т ,

 

Нпл

 

10

3

,

Т

исп..

 

Нпл

 

 

3

С

тв

10

3

ж

10

3

г

10

3

 

 

 

пл

 

 

 

 

 

 

10,

р

 

Ср

 

Ср

 

 

 

 

К

Дж/моль

 

кип.),

Дж/моль

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,

25

37

273,

6,138

 

 

 

373,2

45,069

 

0,570

 

4,187

 

1,919

 

7

3

9

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

Решение.

1) Представим процесс нагревания вещества от Т1 и Т2 по стадиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от Т1 от Тпл

 

 

 

 

 

1 стадия. Твердое вещество (при Т1)

 

 

 

 

 

 

Tпл Ствр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нагревание

 

 

 

 

 

 

 

 

dT

 

g Ств

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

2,7 0,570 103

 

 

273,2

 

S g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,303 lg

 

пл

2,303

lg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Т1

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т1

 

 

 

 

 

 

 

253

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

118,39( Дж К 1 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 стадия. Твердое вещество (при Т

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пл.

плавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2

g

 

Нпл.

 

 

 

 

2,7

 

 

 

 

6,138

 

3370(Дж К 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тпл.

18 10 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

273,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от Тпл от Ткип

 

 

 

 

 

3 стадия. Жидкость (при Тпл.)

 

 

 

 

 

 

TкипСрж dT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нагревание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g Сжр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

Т

исп.

 

 

 

 

 

 

 

S3 g

 

 

 

 

 

 

 

 

2,303 lg

 

кип.

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тпл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тпл.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,7 4,187 103

2,303 lg

273,2

3526,8( Дж К 1 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

273,2

 

 

 

 

испарение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 стадия. Жидкость (при Ткип.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кипение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

Н

исп.

 

 

 

2,7

 

 

 

 

45,069 103

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18114,5(Дж К 1)

 

 

 

 

 

 

 

м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

273,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тисп.

18 10 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 стадия. Пар (при Ткип.)

 

 

 

отТкrип

от Т2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пар (при Т2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нагревание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T2 С

рг dT

g Срг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

379

 

 

 

 

S5 g

 

 

 

 

 

 

2,303 lg

 

 

2

2,7 1,919 103 2,303 lg

 

 

79,9(Дж К 1)

 

 

T

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кип.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

373,2

 

 

 

 

 

Ткип.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим изменение энтропии при нагревании вещества от Т1 до Т2.

 

S S1 S2 S3 S4 S5

25209,59 25,2(кДж/К).

 

 

 

 

 

Изменение стандартной энтропии системы S 298 при протекании химической реакции определяется как разность суммы стандартных энтропий продуктов и суммы стандартных энтропий исходных веществ.

24

Sо298 S 298(продуктов.реакции) S 298(исходных.веществ) (4.25)

Значения величин стандартных энтропий (определенных для стандартных условий) веществ приведены в справочниках.

Энтропия, как критерий возможности протекания процесса в

изолированной системе (U,V = const). Изолированная система не обменивается с окружающей средой теплотой, т.е. Q 0. Поэтому,

согласно второго закона термодинамики

 

(dS)U,V ≥ 0.

(4.26)

Необратимый процесс в изолированной системе возможен при

(dS)U,V > 0.

(4.27)

При равновесном состоянии системы (или обратимом процессе)

(dS)U,V = 0;

(4.28)

при этом энтропия принимает максимальное значение S = Smax.

 

Если (dS)U,V < 0

(4.29)

– необратимый процесс в изолированной системе неосуществим.

Л е к ц и я 5

ТЕРМОДИНАМИКА АГРЕГАТНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ

План лекции: Уравнение Клайперона – Клаузиуса. Применение уравнения Клайперона – Клаузиуса к процессам испарения и возгонки. Зависимость давления насыщенного пара от температуры.

Фазовые переходы чистого вещества в двухфазной однокомпонентной системе представим следующим образом.

 

Фазовый переход:

Процесс:

 

При фазовом переходе:

 

α→β

 

 

значительно изменяется

 

Жидкость

Пар

Испарение

 

 

 

 

 

 

объем;

 

Твердое

Пар

Возгонка

 

объем практически не

 

Твердое

Жидкость

Плавление

 

 

 

 

 

 

изменяется;

 

Твердое

Твердое

Полиморфное

(конденсированное

 

 

 

превращение

состояние).

При равновесии dG 0 или dG

dG .

25

При этом

dG V dp S dT,

(5.1)

dG

V dp S dT,

(5.2)

где V иV - это мольные объемы вещества в фазах α и β,

S иS - это энтропии вещества в фазах α и β.

Так как dG dG , получаем

 

V

dp S dT V

dp S

dT.

Объединяем объемы и энтропии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(S

S )dT (V V )dp.

 

(5.3)

Отсюда

 

 

 

dp

 

 

 

S

S

 

,

 

 

(5.4)

 

 

 

dT

V

 

V

 

 

 

где S иS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S - это изменение энтропии при фазовом переходе;

V и V

V - это изменение объема при фазовом переходе.

 

Так как

S

H

, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

dp H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

(5.5)

 

dp

 

 

 

 

 

 

dT

 

 

T V

 

 

где

- изменение давления насыщенного пара с температурой.

dT

 

Уравнение (5.5) - это уравнение Клаузиуса-Клайперона,

 

 

Применение уравнения Клаузиуса-Клайперона к процессам

испарения и возгонки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переходит

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переходит

 

 

«Жидкость пар» или

«твердое пар».

 

 

 

V Vпар Vж

 

 

 

 

или

V Vпар Vтв .

 

 

 

 

Vпар Vж

 

 

 

 

 

 

или

Vпар Vтв .

Объемом конденсированного состояния (жидкости, твердого) можно пренебречь по сравнению с объемом пара и считать: Vпар Vж .

Предложим, что пар подчиняется законам идеального газа, тогда

V

 

RT

.

Подставляем

это

выражение

в уравнение (5.5):

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

dp

 

H

, получаем:

p

 

H p

.

Так как

dp

d ln p ,

 

 

 

 

 

 

dT T V

 

T

T R T

 

p

получаем

26

dln p

 

H

.

(5.6)

 

2

dT

RT

 

Это уравнение Клаузиуса-Клайперона для процессов испарения и выгонки. Физический смысл уравнения: с ростом температуры давление насыщенного пара в системе растет.

При Н const можно из уравнения Клаузиуса-Клайперона найти значение величины теплового эффекта и равновесного давления насыщенного пара. Преобразуем уравнение (5.6), получаем

d ln p

H

 

dT

.

(5.7)

R

2

 

 

T

 

Берем неопределенный интеграл выражения (5.7), после интегрирования:

ln p

H

 

1

const.

(5.8)

 

T

 

R

 

 

Уравнение (5.8) отвечает уравнению прямой линии. Построим графическую зависимость ln p f (1/T), рис. 2. Из графика находим

H

тангенс угла наклона α: tg R , тогда H Rtg .

lnp

α

1/Т

Рис. 2. Графическая зависимость

ln p f (1/T)

Возьмем определенный интеграл выражения (5.7), получаем:

 

p2

 

H

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

ln

p

 

R

 

T

(5.9)

T

.

 

1

 

 

 

2

1

 

 

27

Л е к ц и я 6

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

План лекции: Термодинамический потенциал. Изохорноизотермический потенциал или свободная энергия Гельмгольца. Применение энергии Гельмгольца в качестве критерия направления самопроизвольного процесса и равновесия в закрытых системах. Изобарно-изотермический потенциал или свободная энергия Гиббса. Применение энергии Гиббса в качестве критерия направления самопроизвольного процесса и равновесия в закрытых системах. Характеристические функции: внутренняя энергия, энтальпия, свободная энергия Гельмгольца, свободная энергия Гиббса. Уравнения Гиббса-Гельмгольца. Химический потенциал.

Термодинамический потенциал – это функция состояния системы,

убыль которой в процессе, протекающем при постоянстве двух параметров, равна максимальной полезной работе.

Энергия Гельмгольца как изохорно-изотермический потенциал.

Для изохорно-изотермических условий V = const, T = const. Вспомним, что объединенное уравнение, выражающее первый и второй законы термодинамики, имеет следующий вид:

TdS dU pdV A .

Так как при V = const, pdV = 0, получим

 

 

 

 

(6.1)

 

 

A

dU TdS .

 

Проинтегрируем данное уравнение:

 

 

A (U2 U1) T(S2 S1),

A (U2 TS2 ) (U1 TS1) .

Введем обозначение F это энергия Гельмгольца.

 

 

 

F = U - TS

 

(6.2)

Тогда F2 = U2 - TS2 и F1 = U1 - TS1.

 

A

 

F2 F1 ,

 

 

A (F2 F1) или

A

F.

То есть энергия Гельмгольца – это термодинамический потенциал, так как его изменение равно полезной работе при протекании обратимого процесса в системе. Для необратимого процесса: A F. В общем случае для обратимого и необратимого процессов справедливо выражение

 

(6.3)

A F.

28

29
A G.
A G.
То есть энергия Гиббса G – это термодинамический потенциал, так как его изменение равно полезной работе при протекании обратимого процесса в системе. Для необратимого процесса В случае для обратимого и необратимого процесса справедливо выражение
(6.9)

Энергия Гельмгольца равна F U TS , отсюда

 

U = F+TS.

(6.4)

То есть F – это та часть внутренней энергии, которая может быть превращена в работу, поэтому она называется свободной энергией; произведение TS – это энергия, которая выделяется в виде тепла, поэтому она называется связанной энергией.

Энергия Гельмгольца как критерий возможности протекания процесса. Дифференцируя выражение F U TS получим dF = dU

– TdS - SdT . Подставляя вместо произведения TdS его выражение из

«объединенного» уравнения TdS ≥ dU+pdV

получим

dF ≤ - SdT - pdV.

(6.5)

Так как SdT = 0 и pdV= 0 (при Т = const

и V= const), тогда для

изохорно-изотермических условий

 

(dF)v,T 0.

(6.6)

В закрытых (замкнутых) системах при изохорно-ихотермических условиях:

если dF < 0, то процесс протекает самопроизвольно;

если dF > 0, то процесс не протекает;

если dF = 0, то система находится в состоянии равновесия.

Энергия Гиббса как изобарно-изотермичесий потенциал. Для

изобарно-изотермических условий р = const , T = const. Преобразуем объединенное уравнение первого и второго законов термодинамики:

TdS dU pdV A как A dU pdV TdS.

(6.7)

Проинтегрируем это выражение:

 

 

 

V1) T(S2 S1) или

 

A (U2 U1) p(V2

 

A (U2 pV2 TS2 ) (U2 pV1 TS1).

Введем обозначение

 

 

 

 

G U pV TS - это энергия Гиббса.

(6.8)

Тогда G2 U2 pV2

TS2 ,

G1 U1 pV1 TS1.

 

A G2 G1 ,

A (G2 G1),

A G.

 

Энергия Гиббса

равна G U pV TS

, но U pV H.

Поэтому

 

 

 

 

G H TS, отсюда

H G TS .

(6.10)

Энергия Гиббса G

– эта часть энтальпии,

которая может быть

превращена в работу; поэтому она называется свободной энергией.

В выражение для

энергии Гиббса G U pV TS

подставим

энергию Гельмгольца, которая определяется как F= U - TS. Тогда

получим, что

 

 

 

 

G F pV или

dG dF pdV .

(6.11)

Энергия Гиббса, как критерии возможности протекания процесса.

Продифференцируем выражение G U pV TS , получим dG dU pdV Vdp TdS SdT.

Вместо TdS подставим его значение из объединенного уравнения первого и второго законов термодинамики TdS dU pdV. Тогда dG dU pdV dU pdV SdT Vdp или

dG Vdp SdT.

(6.12)

В изобарно-изотермических условиях Vdp 0,SdT 0 и

 

(dG)p,T 0 .

(6.13)

То есть dG является критерием возможности протекания процесса в замкнутой (закрытой) системе в изобарно-изотермических условиях. При этом

если dG < 0, то процесс протекает самопроизвольно;

если dG > 0, то процесс самопроизвольно не протекает;

если dG = 0, то система находится в состоянии равновесия.

Характеристической функцией называется такая функция

состояния системы, посредством которой или ее производных могут быть выражены в явной форме термодинамические свойства системы. Характеристическими функциями являются:

1)внутренняя энергия U ,

2)энтальпия H,

3)изохорно-изотермический потенциал F,

4)изобарно-изотермический потенциал G,

5)энтропия S.

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]