205
.pdfМинистерство образования Российской Федерации
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)
Кафедра строительной механики
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ
РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ
Методические указания к выполнению расчетно-графических работ
по сопротивлению материалов для студентов механических специальностей
Составитель А.И. Громовик
Омск Издательство СибАДИ
2004
УДК 624. 04 ББК 38. 113
Рецензент канд. техн. наук, доц. М.А. Гольчанский
Работа одобрена методическими комиссиями факультетов АТ и ТТМ в качестве методических указаний для выполнения расчетно-графических работ по сопротивлению материалов для студентов механических специальностей АТ: 150200, 240400; фа-
культета ТТМ: 170900, 210200, 230100.
Расчет статически неопределимой рамы методом сил: Методические указания к расчетно-графической работе по сопротивлению материалов для студентов механических специальностей. / Сост. А.И. Громовик. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2004. – 15 с.
Работа имеет цель – закрепление теоретических знаний по определению перемещений в рамных стержневых системах с использованием интеграла Мора и применения их в решении статически неопределимых задач.
Содержатся основные теоретические положения по расчету статически неопределимых рам методом сил. В предложенном числовом примере на рассматриваемой схеме показывается последовательность выполнения задания, даются результаты расчетов и их графическая интерпретация. Пример соответствует содержанию самостоятельных домашних работ, предусмотренных программой курса по дисциплине «Сопротивление материалов», разделом «Статически неопределимые стержневые системы». Приводится список рекомендуемой литературы.
Ил. 12. Библиогр.: 3 назв.
© Издательство
2
СибАДИ, 2004
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………4
1.Определение степени статической неопределимости рамы……….…4
2.Выбор основной системы………………………………………………4
3.Построение эпюр изгибающих моментов в основной системе
от действия внешней нагрузки и единичных сил………………………..5
4.Канонические уравнения метода сил…………………………………. 6
5.Вычисление единичных коэффициентов…………….…….…………..6
5.1.Определение ii ……………………………….…………………….6
5.2.Определение ij ……………………...………………………………7
6.Универсальная проверка единичных перемещений….………………..7
7.Определение грузовых перемещений…………………………..…..…..8
8.Универсальная проверка грузовых перемещений….………………….8
9.Решение системы канонических уравнений……………..……….…….9
10. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов.…………9
11.Деформационная проверка окончательной эпюры изгибающих моментов………………………..………………………………………….10
12. Построение эпюр поперечных и продольных сил в статически неопределимой системе.…………………………………………………11 13. Статическая проверка…………………………….……………………13
Библиографический список….……………………………………………14
3
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания содержат пример расчета рамы методом сил на внешнюю нагрузку и определение перемещений в заданном сечении с подробными решениями и пояснениями теоретических положений, которые излагаются в курсе сопротивления материалов в разделе «Статически неопределимые стержневые системы».
1.Определение степени статической неопределимости рамы
Пример расчета дан по схеме статически неопределимой рамы (рис. 1) с размерами отдельных элементов и силовым загружением. Жесткости стержней приняты постоянными, равными EJ . Размерности сил и моментов – кН и кНм, распределенной нагрузки – кН/м, линейные размеры – м.
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
C |
|
|
|
|
|
q=10 |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
3 |
|
10 |
||||
F=40 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
3 |
|
B |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
Степень статической неопределимости данной рамы (см. рис. 1) равна c 3 k ш ,
где k – число замкнутых контуров; ш – число одиночных шарниров: шарнир, соединяющий два стержня, считается одиночным, три стержня – двойным и т.д.
Степень статической неопределимости c 3 2 4 2, так как замкнутые контуры представлены шарнирно-неподвижной опорой A и контуром ACDB , а число одиночных шарниров равно 4.
2. Выбор основной системы
Основная система может быть образована отбрасыванием связей в шарнирно-неподвижной опоре A. На рис.2 представлена основная систе-
4
ма, загруженная внешними силами. X1 и X2 – реакции в отброшенных «лишних» связях, направленные, как правило, по горизонтали и вертикали.
q=10
F=40
X1
X2
Рис. 2
3. Построение эпюр изгибающих моментов в основной системе от действия внешней нагрузки и единичных сил
На рис. 3, а, б построены единичные эпюры моментов.
6 |
8 |
|
6 |
M1 M2
X1=1
X2=1
а |
б |
Рис. 3
Грузовые эпюры строят в основной системе.
На рис. 4 построены грузовые эпюры моментов при действии заданной нагрузки (в соответствии с рис. 2) в размерности кНм.
5
500 
120
MоF |
380 |
620 |
Рис. 4
4. Канонические уравнения метода сил
Канонические уравнения метода сил для дважды статически неопределимой рамы имеют вид
11 X1 12 X2 1F 0; |
|
21 X1 22 X2 2F 0, |
(1) |
где ij – единичные перемещения, первый индекс i показывает направле-
ние, второй индекс j – причину (например, δ12 – перемещение по направ-
лению X1 1 от силы X2 1); iF – грузовые перемещения.
5.Вычисление единичных перемещений
5.1.Определение ii
ii определяются перемножением единичных эпюр самих на себя по
правилу Верещагина (см. рис. 3, а, б):
ii |
|
Mi Mi |
dx |
|
|
|
i /EJ , |
|
i |
y |
|||||||
EJ |
||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
где i – площадь единичной эпюры изгибающих моментов на i- м участке; yi – ордината, взятая на эпюре Mi под центром тяжести.
11 |
|
1 |
|
1 |
6 6 |
2 |
6 6 8 6 |
1 |
6 6 |
2 |
6 |
|
432/EJ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
3 |
2 |
3 |
|||||||||
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|||||
22 |
|
1 |
1 |
8 8 |
2 |
8 6 8 8 |
|
554,66/EJ . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
3 |
|||||||
|
|
EJ |
|
|
|
|
|||
6
5.2.Определение ij (i j )
ij определяются по формуле Мора с использованием правила Вереща-
гина – взаимного перемножения единичных эпюр (см. рис. 3, а, б) :
ij |
Mi M j |
dx |
|
|
i |
|
j /EJ , |
|
|
y |
|||||||
EJ |
||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
где i – площадь участка единичной эпюры Mi (см. рис. 3, а); yj – орди-
ната, взятая на эпюре M j (см. рис. 3, б) под центром тяжести площади
участка эпюры Mi . Суммирование производится по участкам. Коэффициенты побочной диагонали равны
12 |
21 |
|
1 |
|
|
1 |
8 8 6 |
1 |
6 6 8 |
|
336/EJ . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|||
6. Универсальная проверка единичных перемещений
Определим сумму единичных перемещений (с учетом знаков), равную
Si 11 12 21 22 314,66/EJ .
Сложив, учитывая знаки, соответствующие ординате эпюр M1 и M 2
(см. рис. 3, а, б), получим суммарную единичную эпюру MS .
Данная операция необходима для проверки правильности вычисления единичных перемещений. Она заключается в равенстве суммы единичных
перемещений и суммарных единичных перемещений Si |
i,j . |
|
6 |
6 |
|
MS 8
Рис. 5
Для этого перемножим эпюру MS саму на себя по правилу Верещагина (рис. 5).
Si |
|
1 |
|
1 |
6 6 |
2 |
6 |
8 |
2 6 6 2 2 2 6 2 6 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
EJ |
2 |
3 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 2 2 2 8 8 2 8 2 8 |
|
1 |
72 74,66 168 314,66/EJ . |
|
|
||||
6 |
|
|
EJ |
||
|
|
|
|
7 |
|
Следовательно, коэффициенты определены правильно.
7. Определение грузовых перемещений
Грузовые перемещения определяют путем перемножения эпюр MF на
M1 и M 2 соответственно (см. рис. 3, а, б и 4). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iF |
|
|
oF |
|
i |
dx F |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
M |
|
|
|
i /EJ ; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
l |
|
EJ |
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
120 6 3 120 120 8 6 |
|
|
|
|
2 380 6 620 6 |
|
|||||||||||
1F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
EJ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
900 5760 8280 /EJ |
1622/EJ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2F |
|
1 |
|
|
|
1 |
8 8 120 |
|
380 620 |
6 8 |
|
20160/EJ . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
8. Универсальная проверка грузовых перемещений
Перемножим эпюру MFo (см. рис. 4) на эпюру MS (см. рис. 5)
|
Mo |
|
M |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sF |
F |
|
|
|
dx F |
ys /EJ , |
|||
EJ |
|||||||||
l |
|
|
|
|
|||||
где iF – площадь участка грузовой эпюры MF ; ys – ордината эпюры Ms
под центром тяжести участка эпюры MF . Вычисления дают по участкам. Оценка правильности определения грузовых перемещений производится по условию: алгебраическая сумма грузовых перемещений должна быть равна сумме грузовых перемещений по направлениям 1 и 2. Таким образом, перемещение sF под действием внешних сил в направлениях 1
и 2 равно
|
|
|
|
|
|
sF |
1 |
|
1622 20160 |
18538 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
EJ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
||||
|
Суммирование по участкам |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sF |
|
1 |
|
3 |
2 6 120 3 120 |
|
6 2 |
8 120 |
6 |
2 2 380 2 8 620 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
EJ |
6 |
2 |
6 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 620 8 380 18540/EJ .
Погрешность не превышает 0,01 %.
8
9. Решение системы канонических уравнений
Запишем систему алгебраических уравнений согласно формуле (1), сократив на 1/EJ :
432X1 |
366X2 |
1622 0; |
(2) |
366X1 |
554X2 |
20160 0. |
|
278,808 |
278,808 |
516,576 |
|
M1X1 M2X2
X1 |
X |
2 |
|
|
а б
Рис. 6
Решение системы (2) дает X1 46,468; X2 64,572 кН.
Перемножая ординаты эпюр M1 |
и M 2 |
на X1, X2 (с учетом их зна- |
||||
ков), получим эпюры |
M |
1 X1 и |
M |
2 |
X2. |
Данные эпюры приведены на |
рис. 6, а, б. |
|
|
||||
10. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов
Окончательную эпюру моментов в заданной системе получим просум-
мировав эпюры MFo (см. рис. 4), M1 X1, M 2 X2 (см. рис. 6, а, б).
MF MFo M1 X1 M 2 X2 .
Эпюра MF показана на рис. 7.
Примечание. Эпюры изгибающих моментов должны быть построены на сжатых волокнах. Сложение ординат эпюр проводят с учетом знака. Знак определяется расположением эпюры относительно стержня на данном участке. Например, знак минус – эпюра на внутренней стороне контура, следовательно знак плюс – эпюра на внешней стороне контура.
9
500
158,808
139,404
142,232
MF |
357,768 |
|
103,424 |
||
|
Рис. 7
11. Деформационная проверка окончательной эпюры изгибающих моментов
Задача, решаемая при деформационной проверке, – получение равенства нулю перемещений по выбранным ранее направлениям приложенных сил X1 и X2. Необходимо окончательную эпюру MF умножить на любую единичную или суммарную единичную:
|
|
|
|
|
1 |
MF M1 /EJ F y1 |
0; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
MF |
|
|
2 |
/EJ F |
|
|
2 |
0; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
y |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
MF |
|
i /EJ F |
|
S |
0. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
y |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
139,404 3 |
2 |
|
3 |
3 |
2 158,808 6 2 139,404 3 |
||||||||||||||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
|
6 |
||||||||||||||||||||||
|
EJ |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
158,808 3 139,404 6 |
|
|
2 158,808 6 2 357,768 2 |
||||||||||||||||||||||||
6 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
158,808 2 357,768 6 |
|
|
6 |
2 103,424 8 2 142,232 2 |
|||||||||||||||||||||||
6 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
142,232 8 103,424 2 |
|
|
|
|
|
|
|
418,212 2027,484 1163,392 |
|||||||||||||||||||
|
|
EJ |
|
||||||||||||||||||||||||
3568,416 |
40,672/EJ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Погрешность составляет
40,672/ 418,212 2027,484 1163,392 1,12 %.
10