32

Предел монотонной последовательности

Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной последовательности). Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Доказательство. ►Рассмотрим, для определенности, неубывающую последовательность . Ограниченное сверху множество значений последовательности имеет точную верхнюю грань . Покажем, что число будет пределом нашей последовательности.

Фиксируем произвольное . Из определения точной верхней грани следует, что существует элемент последовательности такой, что . Так как последовательность неубывающая, а число является верхней гранью множества всех значений последовательности, то для всех номеров будет справедливо , то есть . А это и означает, что .◄

Задача. Доказать, что если - невозрастающая ограниченная последовательность, то .

Задача. Доказать, что если - неубывающая не ограниченная сверху последовательность, то .

Задача. Доказать, что если - невозрастающая не ограниченная снизу последовательность, то .

Число е.

Рассмотрим числовую последовательность

. (1)

Покажем, что эта последовательность сходящаяся.

Теорема. Последовательность (1) имеет конечный предел.

Доказательство. ►Рассмотрим вспомогательную последовательность

(2)

и докажем, что она имеет предел. Убедимся сначала, что последовательность (2) убывающая, для этого сравним с 1 отношение

.

Далее воспользуемся неравенством Бернулли:

.

Последовательность (2) является ограниченной снизу:

.

Итак, последовательность монотонна и ограничена, следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Но тогда имеет предел и последовательность , причем

◄

Пределом последовательности (1) является число, обозначаемое буквой , оно играет в анализе роль столь же важную как, например, единица в арифметике или в геометрии.

Число иррациональное, представляется бесконечной десятичной дробью, а начало его десятичного разложения имеет вид:

Задача. Доказать, что .

Второй замечательный предел

Теорема. Справедливо равенство

. (1)

Доказательство. 4Сначала покажем, что

. (2)

Заметим, что при будет выполнено , откуда, используя монотонность показательной ( при возрастает) и степенной ( возрастает при и ) функций, получим

(3)

Положим и . Имеем

(4)

(5)

Фиксируем произвольное . Из (4) и (5) следует, что существует такое , что при будет справедливо

и (6)

Возьмем и положим . Тогда будет , и в силу (3) и (6) имеем то есть

Формула (2) доказана.

Пусть теперь . Тогда

то есть

.3

Следствие.

Доказательство. 43

Непрерывность

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что функция непрерывна в , если существует предел при , равный :

.

Запишем это определение с кванторами:

,

или в неравенствах:

.

Определение. Если функция непрерывна в любой точке , то говорят, что она непрерывна на этом интервале.

Если функция не является непрерывной в точке , то называется точкой разрыва и говорят, что разрывна в .

Задача. Докажите, что функция непрерывна на всей оси.

Утверждение. Основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.

(без доказательства)

Что касается свойств непрерывных функций, то ограниченность непрерывной функции в окрестности точки , непрерывность линейной комбинации, произведения и частного (при условии отличия от нуля знаменателя в точке ) двух непрерывных функций являются тривиальными следствиями соответствующих свойств предела функции.

Для примера докажем утверждение о непрерывности суммы непрерывных функций.

Утверждение. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда их сумма также будет непрерывной в точке .

Доказательство. Имеем и . Тогда .

Докажем вариант теоремы о предельном переходе в неравенстве для непрерывных функций.

Теорема (о сохранении знака непрерывной функцией). Пусть функция непрерывна в точке и пусть . Тогда сохраняет знак в некоторой окрестности точки .

Доказательство. 4Непрерывность функции означает, что . Тогда по лемме о сохранении функцией знака своего предела в некоторой проколотой окрестности точки функция сохраняет знак , то есть во всей этой окрестности не меняет знак.3

Упражнение. Пользуясь теоремами об арифметических действиях с пределами функций сформулируйте и докажите теорему о непрерывности линейной комбинации непрерывных функций, теоремы о непрерывности произведения и частного.

Теорема (о пределе сложной функции). Пусть функция , определенная в проколотой окрестности точки , имеет предел при :

. (1)

И пусть функция определена в некоторой окрестности точки , содержащей , и непрерывна в точке .

Тогда сложная функция определена в и существует предел

. (2)

(Другими словами, ).

Доказательство. 4Фиксируем произвольное . Из непрерывности функции в точке следует

, (3)

а из существования предела (1), что

. (4)

Объединяя (3) и (4), получим

.

Существование предела (2) доказано. 3

Следствие. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция будет непрерывной в точке .

Утверждение.

Доказательство. 4 3

Утверждение.

Доказательство. 4 .3

Примечание. Последние две формулы можно записать в следующем виде:

или

Замечание. Пусть непрерывные в нуле функции и эквивалентны при , а функция бесконечно малая при .

Тогда функция будет эквивалентна функции при .

Доказательство. ► В самом деле, эквивалентность функций и означает, что

, (5)

где - бесконечно малая функция при . Доопределим в нуле, положив . Равенство (5) не изменится, а функция будет в нуле непрерывной. Сделаем замену переменной , получим

,

где в силу теоремы о пределе сложной функции. ◄

Последнее замечание позволяет нам упрощать выкладки при вычислении пределов.

Утверждение.

Доказательство:

То есть мы можем записать:

или