18. Применим теорию обобщенного ряда Фурье и гармонических сигналов в качестве базисных функций к периодическим детерминированным сигналам.

Пусть имеется периодический сигнал с периодом Т, т.е. .

Для тригонометрического ряда Фурье набор базисных функций имеет вид:

,

где - частота первой гармоники, или частота повторения; частотыили - частоты высших гармонических составляющих.

Интервал ортогональности такого сигнала равен периоду Т. Легко показать, что тригонометрические функции кратных аргументов ортогональны друг другу. Квадрат нормы базисной функции ψ₀(t)=cos(0^.t)=1 равен ;

квадрат нормы для косинусных базисных функций равен:

;

квадрат нормы для синусных функций равен

.

Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье определяются как:

;

;

Тригонометрический ряд Фурье будет иметь вид:

=.

Пару составляющих с одинаковыми частотами можно преобразовать в косинусоидальный сигнал вида , где ,

Вещественный тригонометрический ряд в этом случае запишется так:

19. Временная интерпретация разложения по гармоникам периодического сигнала тригонометрического ряда Фурье показана на рис. 6.

20. Совокупность частот образует частотный состав сигнала, график в координатах (частота, амплитуда) называется действительным амплитудно-частотным спектром сигнала (АЧС), а в координатах (частота, фаза) действительным фазо-частотным спектром сигнала (ФЧС). Пример АЧС и ФЧС показан на рис.

Рис. АЧС и ФЧС периодического сигнала.

Каждая гармоническая составляющая отображается отрезками амплитуды и фазы на соответствующей частоте. Любая спектральная составляющая сигнала в соответствии со спектром может быть записана в тригонометрической форме.

Действительный частотный спектр (в дальнейшем будем опускать слово «частотный») позволяет наглядно оценить частотные свойства сигнала: полосу частот, занимаемую сигналом, если спектр ограничен по частоте («финитный спектр»), полосу частот, в которой сосредоточена основная энергия сигнала и др.

21. В качестве базисных функций для комплексного ряда Фурье используются комплексныефункции кратного аргумента:

,

здесь – та же частота первой гармоники или частота повторения периодического сигнала, что и при рассмотрении действительно ряда Фурье.

Квадрат нормы для комплексных базисных функций определяется по формуле:

Здесь знак минус во втором сомножителе означает его комплексную сопряженность с базисной функцией.

Коэффициенты ряда для всех базисных функций в этом разложении одинаковы и равны:

Или

=, Отсюда видно, что

В комплексном спектре (рис.8.) присутствуют как положительные частоты, так и отрицательные, так как только совокупность комплексных составляющих с положительными и отрицательными частотами может дать действительный сигнал.

Рис.8. АЧС и ФЧС комплексного ряда Фурье.

Амплитудно-частотный спектр комплексного ряда Фурье является четной функцией, а фазо-частотный спектр – нечетной функцией частоты, так как у комплексно-сопряженных чисел модули одинаковы (C_-n=C_n), а фазы отличаются знаком _-n= -_n

22. Периодические сигналы определяются средней за период мощностью сигнала:

.

Если сигнал представлен рядом Фурье, то его энергия определяется как сумма средних мощностей каждой гармоники:

Аналогично получаем для комплексного ряда: .

Равенства  и  называются равенствами Парсеваля. Синтезированные с помощью ограниченного ряда Фурье сигналы всегда имеют мощность меньшую, чем мощность самого сигнала.