12. Для квантованных (цифровых) сигналов функции X(t), принимающих одно из m возможных значений отсчетов

дом интервале i∆, используется векторное представление в пространстве Хемминга. На отрезке длительностью Т функция x(t) будет полностью определена n=T/∆ значениями отсчетов, или, что то же, совокупностью коэффициентов называемой n-набором.

Пример. Пусть m=2. Коэффициент ( )может принимать два значения : 0 или 1. В этом случае n-набор представляет собой просто кодовую комбинацию n-значного двоичного кода некоторого символа передаваемого сообщения. Такие двоичные векторы отображаются векторами (точками) в пространстве Хемминга 2 n . Норма двоичного вектора просто равна количеству содержащихся в нем единиц.

Базисными функциями этого пространства являются единичные дельта-функции δ(t-i∆)

Эту норму называют весом вектора кодовой комбинации.

Расстояние между векторами в пространстве Хемминга определяют следующим образом:

где знак Θ означает операцию суммирования по модулю 2:

Суммирование по модулю 2 и вычитание по модулю эквивалентны.

Действительно, при суммировании и вычитании двух векторов x и y , задан-ных 7-значным кодом x=1001011; y= 0101101, имеем

сложение x+y=1111000

сложение по модулю 2 xΘy=1100110

вычитание |х-у| 1100110.

9. Задача разложения сигнала сложной формы на простейшие составляющие сходна с разложением обычного вектора x трехмерного пространства на его составляющие по координатному базису единичных ортогональных векторов i, j, k (рис.1). Такое представление можно записать как x=x1 i + x2 j +x3 k.

Представление вектора в трехмерной ортогональной системе координат

Координаты этого вектора x1, x2, x3 представляют собой проекции вектора x на координатные оси i, j, k . В данном пространстве вектор х определяется совокупностью его координат : x=(x1, x2, x3).

Для обобщения понятия сигнального вектора в n-мерном пространстве рассмотрим пример отображения произвольного сигнала x(t) последова-тельностью прямоугольных импульсов с длительностью ∆ и амплитудой x(i∆) на интервале i∆ (рис.2).

Рис.2. Отображение непрерывной функции последовательностью прямоугольных импульсов.

Если начальный прямоугольный импульс записать в виде:

то каждый прямоугольный импульс, входящий в состав разложения, можно представить как

а сама функция x(t) записывается в виде суммы

Набор ортогональных функций Ф_i(t ) образует ортогональный координатный базис (орты) в n – мерном пространстве сигналов.

Вектор x, соответствующий функции x(t) , в n-мерном пространстве единичных ортов Ф_i будет полностью определяться его координатами

Вектор, образованный суммированием n линейно независимых (базисных) векторов Ф_i со скалярными коэффициентами x_i называется их линейной комбинацией:

11. При n →∞ евклидово пространство переходит в пространство Гильберта, обозначаемое L2 . К гильбертову пространству относится также пространство всех непрерывных комплексных функций аргумента t, заданных на интервале (-Т/2;Т/2) , в котором скалярное произведение определено соотношением

а квадрат нормы

Для электрических сигналов квадрат нормы определяет энергию электрического тока в единичном сопротивлении 1 Ом. В гильбертовом пространстве эта энергия ограничена. В этом случае гильбертово пространство обозначается как L2(Т) . При Т →∞ (непериодический сигнал) гильбертово пространство обозначается как L2(∞).

Если условие (1) не выполняется, то выполняется условие ограниченности мощности

Пространство L2 представляет собой естественное обобщение евклидова пространства R n , получаемое путем перехода от дискретизированной функции к функции непрерывного аргумента. В курсе ОТС пространство L2 имеет особое значение, поскольку оно позволяет применить общие геометрические представления к сообщениям, сигналам и помехам, определенные как функции непрерывного аргумента. Устремляя n→∞, получаем представление непрерывной функции в пространстве Гильберта

Использование скалярного произведения позволяет сравнивать сигналы более полно. Из определения скалярного произведения следует так называемое неравенство Шварца |(х,у )|²≤ (х,х)(у,у) или по-другому, (|(х,у)|/|х||у|)≤1 . Смысл этого неравенства состоит в том, что скалярное произведение двух сигналов не может превзойти по модулю произведения их норм.

14. В каждой практической задаче, связанной с получением, передачей, приемом и обработкой сигналов, рассматриваются сигналы из определенного множества, некоторыми общими свойствами. Так что множество можно рассматривать как целое.

Над сигналами выполняются такие действия как сложение (суммирование) в специальных устройствах или непреднамеренно путем распространения сигнала в общем канале связи (см.рис.3). Тогда один из сигналов является помехой другому. Такие сигналы образуют замкнутое относительно сложения множество.

Рис.3. Сигнал (а) , помеха (б) и сумма сигнала и помехи (в)

Вторая операция, часто применяемая на практике – умножение на некоторый постоянный коэффициент. Если его величина больше 1, то это свидетельствует об усилении сигнала, если меньше единицы – об ослаблении. Если знак коэффициента отрицательный, то соответственно меняется полярность сигнала. Операция называется инвертированием.

Сходство указанных операций над сигналами позволяет использовать линейное пространство в качестве модели для множества сигналов, которое в таком случае становится пространством сигналов.

15. Важным понятием в пространствах сигналов Евклида, Гильберта Хэмминга является ортогональность векторов. Два вектора ортогональны, если скалярное произведение векторов равно нулю:

(х,у)=0.

Если векторы ψ_i и ψ_y взаимно ортогональны, то они линейно-независимы. Поэтому любая совокупность ортогональных векторов можно использовать в качестве базиса линейного пространства сигналов.

Представим непрерывную по времени функцию s(t) , заданную на интервале -Т/2…Т/2 , через произвольную ортогональную систему функций {ψ_i(t)} , с конечной энергией (квадратом нормы), для которых

Тогда можно записать

где Ci - коэффициенты (координаты) разложения в ортогональном базисе {ψ_i(t)}

16. На рис.4 отображено векторное пространство из ортонормированной си-стемы базисных функций vi(t) , которая образует координатную систему в n-мерном евклидовом пространстве. Функции vi(t) представляют единичные векторы (орты), коэффициенты Cn – проекции вектора сигнала u(t) на оси координат. Координаты вектора определяются скалярным произведением

17. , (*) где C_i - коэффициенты (координаты) разложения в ортогональном базисе

Представление (*) называют обобщенным рядом Фурье. Координаты векторов в пространстве данного базиса (коэффициенты ряда) C_i определяются с помощью выражения

,)= . (**)

Таким образом, коэффициенты обобщенного ряда Фурье C_iявляются проекциями вектора sна ортогональные оси (орты) . Выражения (*) и (**) называют парой преобразований Фурье. При этом определение коэффициентов ряда по (**) обозначают в виде оператораF(s(t)) и называют прямым преобразованием Фурье(ППФ), aопределение функции с помощью выражения (*) обозначают в виде оператора F^-1(s(t)) и называют обратным преобразованием Фурье (ОПФ). Обобщенный ряд Фурье содержит в общем случае бесконечно много слагаемых. Часто на практике приходится рассматривать усеченный ряд, сумма которого дает приближенную аппроксимацию сигнала s(t):

В этом случае ряд не совсем точно отображает исходную функцию. Ошибка аппроксимации при этом определяется по формуле