Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»
Предмет:
Добыча нефти и газа
Файл:

Математическое моделирование в процессах разработки и нефте-газодобычи

.pdf
Скачиваний:
54
Добавлен:
02.01.2021
Размер:
1.29 Mб
Скачать
☆

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Итак, в результате применения метода преобразования Лапласа, уравнение 2-го порядка в частных производных перешло в обыкновенное дифференциальное уравнение.

Заметим, что уравнение пьезопроводности приняло в пространстве Лапласа вид модифицированного уравнения Бесселя. При этом начальные условия исходного уравнения пьезопроводности были использованы при переходе в пространство Лапласа.

Теперь вернемся к целесообразности замены (3.15): именно благодаря замене – уравнение в пространстве Лапласа является однородным, что облегчает его решение.

Общие для разных пластов граничные условия на скважине в пространстве Лапласа примут следующий вид:

 

 

 

~

 

 

~

 

 

 

p

02

p

01

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

r r

 

 

2

r r

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w1

 

 

 

w 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

p03

p02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

r r

p3

r r

 

 

 

s

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.21)

 

 

 

 

 

 

w 2

 

 

w3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

p

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 N

0( N 1 )

 

 

 

 

 

p

N

1 r r

 

 

p

N

r r

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w( N 1 )

 

 

 

wN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

~

 

 

 

~

 

qs

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qs1

qs 2 ... qsN

 

s

 

(3.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

~

и

~

 

-

образы дебитов в

 

пространстве Лапласа с разных пластов в

qs1

qs 2

 

 

поверхностных условиях;

~

 

 

и

~

 

 

 

- образы забойных давлений разных пластов

 

 

 

 

 

p1

 

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w1

 

 

 

 

w 2

 

 

 

 

 

 

 

(после замены переменных) в пространстве Лапласа.

Решением уравнений (18) и (19) в пространстве в общем виде является [2], [5], [22]:

~

 

 

 

i

 

 

 

s

 

 

 

i

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

pi

( r,s ) C1 I

0

 

 

 

 

r

C2 K0

 

 

r

(3.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где I0 z и K0 z - модифицированные функции Бесселя нулевого порядка 1-го и 2-

го рода. Постоянные C1

и C2

 

-

 

 

зависят

от

соответствующих

граничных условий

уравнений (3.19) и (3.20), а также от величины поверхностного дебита.

Запишем выражения для

постоянных

C1

и C2

для различных типов граничных

условий пласта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае уравнения (3.19), поддержание постоянного давления на границе пласта,

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B q

si

 

 

 

C

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1i

 

i o

 

 

 

i

 

 

 

 

pwf 0 p0i Mi K0 xei ,

(3.24)

 

 

 

2 k h r

 

 

2 k h r s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i i wi

 

 

i i

 

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

B q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

p

 

 

 

p

 

 

 

 

 

x

 

,

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

o

 

 

si

 

 

 

 

 

 

 

i

 

s

 

 

 

 

M I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2 k h r

 

s

 

 

2 k h r

 

 

 

wf 0

 

 

 

0i

 

 

 

i

0

 

ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где приняты следующие обозначения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I0 xei

zi K1 xwi i K0 xwi

K0 xei zi I1 xwi i I0 xwi

 

 

 

 

 

 

 

C

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

s

 

 

 

,

 

zi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

xwi

 

zirwi

 

,

xei

 

zirei

,

 

xi zi r .

 

 

2 k

h r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i i w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Все параметры уравнений (3.24), (3.25) известны, за исключением

эти уравнения для удобства в следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

 

 

 

A1 qsi

B1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

A2qsi

B2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B M K

 

x

 

 

 

,

B

 

 

 

 

 

C M K

x

 

 

p

 

 

p

 

,

 

 

 

A

 

i

 

o

 

 

i

 

0

 

 

ei

 

 

i

 

 

i

s

 

 

i

 

0

 

ei

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2 k

h r

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2 k h r

 

 

 

 

 

wf 0

 

 

0i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ai

 

 

 

B M

 

I

x

 

,

 

 

 

 

 

 

iCs Mi I0

xei

 

pwf 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

o

 

 

i

 

0

 

 

 

ei

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2 k

h r

 

 

s

 

 

 

 

 

B2

 

 

 

2 k

h r

 

 

 

p0i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае уравнения (3.20), непереток на границе пласта, имеем:

C

 

 

 

 

B q

 

 

 

 

 

C

 

 

 

p

 

 

p

 

 

 

x

 

,

i

 

 

 

i o

si

 

 

i

 

 

s

 

 

 

 

M K

 

 

1

 

 

2 k h r

 

s

 

2 k

 

h r

 

wf 0

0i

 

i 1

ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i i wi

 

 

 

i

 

i

 

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

B q

 

 

 

 

C

 

 

p

 

p

 

 

x

.

i

 

i o

 

si

 

 

i

 

s

 

 

M I

 

2

 

2 k h r

 

s

 

2 k h r

 

 

wf 0

0i

 

i 1

 

ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i i

wi

 

 

 

 

i

i

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

si

 

(3.25)

(3.26)

(3.27)

. Перепишем

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.33)

Или в более удобной форме – запишем в виде (3.28), (3.29) –для общности, только коэффициенты в этом случае вычисляются по формулам:

 

B M K

x

 

A

i

 

o

i

1

 

 

ei

 

i

 

 

 

 

 

1

 

2 k

h r

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i wi

 

 

 

A

 

B M I

x

 

 

 

i

o

 

 

i 1

 

 

ei

 

i

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 k

h r

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i wi

 

 

  

  

,

,

B

i

 

1

B

i

 

2

 

 

C M K

x

 

 

 

 

i

s

 

i

 

1

ei

p

 

 

 

 

 

 

 

2 k

h r

 

 

 

 

wf

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

wi

 

 

 

 

C M

 

I

x

 

 

 

i

s

 

i 1

 

ei

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 k

h r

 

 

 

wf 0

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

wi

 

 

 

 

0

p

0

p

 

0i

 

 

;

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

(3.34)

(3.35)

Итак, образ перепада давления в пространстве Лапласа имеет решение (3.23), где

коэффициенты

C i

и

Ci

1

2 определяются из уравнений (3.24)-(3.29) для пласта с

поддержанием постоянного давления на границе и из уравнений (3.28)-(3.35) для пласта с непертоком на границе.

Решение для давления в любой части пласта, с учетом вышеупомянутых замен, есть:

~

i

i

I0 xi

i

i

K0 xi

.

(3.36)

pi

( r,s ) A1qsi

B1

A2qsi

B2

Забойное давление определяется соответственно:

44

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

~

 

 

i

i

,

 

p ( r,s )

 

A q B

(3.37)

 

 

i

r r

si

 

 

 

 

 

 

wi

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

xwi

i

xwi

,

(3.38)

A

 

A1 I0

A2 K0

B

i

 

i

xwi

i

xwi

.

(3.39)

 

B1 I0

B2 K0

Нахождение решения задачи построения модели работы многопластовой системы

сводится к нахождению вектора параметров qsi .

Используем общие для всех пластов

граничные условия на скважине (3.21), (3.22). Заметим, что число уравнений (3.21), (3.22)

равно N – числу неизвестных дебитов

q

si

.

 

 

 

 

С учетом равенства (3.37), условия (3.21), (3.22) перепишутся в виде:

 

A q

 

B

1

A q

 

 

B

2

 

 

p

 

p

 

 

 

 

 

1~

 

 

 

 

 

 

2

~

 

 

 

 

 

 

 

02

 

01

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

p

 

 

 

 

A

 

q

 

B

2

A q

 

B

3

 

 

 

 

 

 

 

 

03

 

02

 

 

 

 

2 ~

 

 

 

 

 

 

3~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

p

A

 

 

 

q

 

 

 

 

B

 

 

 

A

 

 

 

q

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 1

N

 

N

 

0 N

0( N 1 )

 

 

 

N 1~

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

qs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

s1

q

s 2

............ q

sN

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(3.40)

С учетом замены:

C

i

 

p

p

B

i 1

B

i

i 1

i

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

выражение (3.40) перепишется в виде:

 

1~

 

2 ~

C

1

 

 

 

 

A q

A q

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ~

 

3~

C

2

 

 

 

 

A

q2

A q3

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

N 1~

 

 

N ~

 

 

C

N 1

 

qN 1 A

qN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

~

 

 

 

~

 

 

qs

qs1 qs 2

..... qsN

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.41)

(3.42)

Выражение (3.42) – есть система N линейных уравнений с N переменными. Согласно

[23] данная система имеет единственное решение. Введем следующие обозначения:

45

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

 

 

1

A

2

0

 

...

0

 

A

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

0

A

 

A

...

0

 

 

 

 

L

 

... ...

 

... ... ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 1

 

 

0

0

 

0

 

...

A

 

 

 

 

 

 

1

1

 

1

 

...

1

 

 

 

 

0 0 ...

AN

1

      

,

 

C

1

 

 

 

 

 

 

C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

N

1

 

C

 

 

 

 

 

q

s

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

,

 

 

 

~

 

 

 

q

s1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

qs 2

~

 

 

...

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

~

 

 

 

 

qsN

 

(3.43)

Систему уравнений с учетом введенных замен можно переписать в следующем виде:

 

 

 

 

~

b .

 

 

 

 

 

(3.44)

 

 

 

Lq

 

 

 

 

 

Согласно [23], найдем вектор неизвестных параметров:

 

 

 

~

 

1

 

 

 

 

 

(3.45)

 

 

 

q

L b .

 

 

 

 

 

В результате решения (3.45) получим вектор

qsi

:

~

~

~

...

...

~

 

T

 

q

q

s1

q

s 2

q

sN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив, найденные значения qsi

в зависимости от граничных условий пласта в

уравнения (3.24), (3.25) – в случае пласта с поддержанием постоянного давления, или

(3.32), (3.33)

–

в случае пласта с отсутствием перетока на границе, найдем значения

констант

i

и

i

, подставив затем эти значения в уравнение (3.23), найдем давление в

C1

C2

каждой точке в любой момент времени в пространстве Лапласа.

Дебиты с каждого из пластов в пластовых условиях найдем из закона Дарси для радиального притока:

 

 

 

2 k h r

~

 

 

2 k h r

 

s

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

s

 

 

 

 

s

 

 

 

~

 

p

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

i wi

i

 

 

i

i wi

 

 

 

I

 

 

 

r

 

 

 

 

 

K

 

 

r

 

 

q

sfi

 

 

 

 

 

 

 

 

C

1

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

i

 

r

 

 

i

 

 

i

 

1

 

i

wi

 

i

 

2

1

i

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скорость фильтрации в любой точке i-го пласта:

(3.46)

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

s

 

 

 

 

s

 

 

 

s

 

 

 

 

s

 

 

 

u

r

k p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

i

 

 

 

C1 I1

 

 

r

 

 

 

C2 K1

 

 

r

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

(3.47)

 

 

i

r

 

 

 

 

i

 

 

i

 

i

 

 

i

 

 

 

 

r

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Профиль давления в i-ом пласте определяется зависимостью (3.23) при фиксированном параметре преобразования.

Переход к обычным координатам произведем с помощью численного обратного преобразования Лапласа посредством алгоритма [13]. Таким образом, мы определили зависимость давления и скорость фильтрации в любой точке каждого из пластов от времени.

3.5.2. Модель постоянного давления

Как уже говорилось ранее при условии поддержания постоянного давления на забое скважины пласты не «чувствуют» друг друга, то есть работают независимо друг от друга

46

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

(поясним это ниже при построении модели). Задача состоит в отыскании динамик дебитов с каждого из пластов в пластовых условиях.

Аналогично пункту 3.5.1 произведем замену (3.15) и запишем уравнения (3.13), (3.14) с учетом замены в пространстве Лапласа:

s

~

1

 

~

 

 

2

~

p

 

 

p

 

 

 

p

 

 

i

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

r

r

 

r

2

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

pwf

 

p0i

pi

( r ,t )

r r

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

w

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

0,

t 0

p ( r ,t )

 

 

 

i

 

 

ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

~

 

 

 

~

 

 

 

2

~

 

1 p

 

 

 

p

 

 

 

pi

 

 

i

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

 

r

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

pwf

 

p0i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pi

( r ,t )

r r

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

w

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p ( r ,t )

 

 

0,

t

0

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

 

 

 

 

 

 

, t

, t

0

0

,

.

(3.48)

(3.49)

В пространстве Лапласа уравнения (3.48), (3.49) имеют следующие решения:

~

 

p

wf

p

0i

 

K

0

x

ei

I

0

x

I

0

x

ei

K

0

x

i

 

 

 

( r,s )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

pi

 

 

s

 

I

 

x

 

 

K

 

 

x

 

I

 

x

 

K

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

wi

0

ei

0

ei

0

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

p

wf

p

0i

 

K

x

ei

I

0

x

I

1

x

ei

K

0

x

i

 

 

 

 

( r,s )

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

,

pi

 

 

s

 

K

x

 

I

 

 

x

 

 

I

 

x

 

 

K

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

0

wi

1

ei

0

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где использованы обозначения (3.27).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы нашли зависимость распределения давления в i-ом

что если посмотреть динамику забойного давления, то есть

 

~

 

pi

(3.50)

(3.51)

пласте от времени. Заметим, ( rwi ,s ) , то получим:

 

 

~

 

 

p

wf

p

 

 

 

 

 

 

 

 

0i

,

 

 

pi ( rwi ,s )

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Что в обычных координатах даст :

 

 

 

 

 

p ( r

,t ) p

wf

p

или

p

wf

const .

i

wi

 

0i

 

 

 

 

 

То есть забойное давление постоянно, что и должно быть.

Найдем динамики дебитов по закону Дарси:

 

 

 

2 k h r

~

 

q

 

 

p

 

~

 

i

i wi

i

 

 

sfi

 

 

 

r

 

 

 

 

i

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wi

.

Вслучае пласта с поддержанием давления на границе дебит имеет следующий образ

впространстве Лапласа:

47

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

~

 

2 k h r

p

wf

p

K

0

x

 

I

 

x

wi

I

0

x

K

1

x

wi

 

 

( r,s )

i

i wi

 

 

0i

 

 

 

ei

1

 

 

 

ei

 

 

 

.

qsfi

 

 

 

 

s

 

I

 

x

 

K

 

 

x

I

 

x

K

 

x

 

 

 

 

i

 

 

i

0

wi

0

0

0

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

 

ei

 

 

 

 

 

В случае пласта с неперетоком на границе:

~

 

2 k h r

p

wf

p

0i

K

x

ei

I

x

wi

I

x

ei

K

1

x

wi

 

 

( r,s )

i

i wi

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

.

qsfi

 

 

 

 

s

 

 

K

x

 

 

I

 

x

 

I

x

 

K

 

x

 

 

 

 

i

 

 

i

 

ei

0

wi

ei

0

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Общий дебит со всех пластов вычисляется по следующей формуле:

 

 

1

N

qs

 

qsfi .

B

 

 

i 1

 

 

o

(3.52)

(3.53)

(3.54)

Скорость фильтрации в точке r для пластов с поддержанием постоянного давления на границе и с неперетоком на границе соответственно находим по формуле:

~

( r,s )

ki

pwf

p0i

K0 xei I1 xwi

I0 xei

K1

xwi

 

.

ui

 

 

 

 

s

 

 

I

 

x

 

K

 

x

 

I

 

x

 

K

 

x

 

 

 

 

i

 

 

i

0

wi

0

ei

0

ei

0

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

k

i

p

wf

p

K

x

 

I

x

wi

I

x

K

 

x

wi

 

 

( r,s )

 

 

 

 

0i

 

 

1

 

ei

 

1

 

 

1

 

ei

1

 

 

.

ui

 

 

 

 

s

 

K

x

 

I

 

x

 

I

x

K

 

x

 

 

 

 

i

 

 

i

 

0

wi

0

wi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ei

 

 

 

1

 

ei

 

 

 

 

 

3.6.Результаты

(3.55)

(3.56)

Рассмотрим модель постоянного дебита. Пусть скважина вскрывает два пласта: один большой с радиусом 250 м с поддержанием постоянного давления на границе, и второй,

меньший по размеру, с радиусом – 50 м, с условием неперетока на границе. Параметры пластов и скважины даны в Таблице 1. Заметим, что множители в первом столбце таблицы подобраны так, что численные значения в таблице равны соответствующим в промысловых единицах.

Рассмотрим вариант, когда пласты не возмущены. Забойное давление в скважине равно начальному пластовому давлению. Начальные давления 1-го и 2-го пластов равны.

Таблица 1

 

1 пласт

 

2 пласт

Тип границы

Поддержание

 

Непереток

 

давления

 

 

Начальное пластовое давление, Па/101325

250

 

250

Радиус пласта, м

250

 

50

Скин

0

 

0

Пористость

0,2

 

0,2

Проницаемость, (м2)/10-15

10

 

10

Сжимаемость, (1/Па)/(9,87*10-6)

5*10-5

 

5*10-5

Вязкость, (Па*с)/10-3

1,5

 

1,5

Давление в стволе скважины на начало работы,

250

 

Па/101325

 

 

 

Коэффициент послепритока, (м3/Па)*(9,87*10-6)

0,01

Дебит скважины на поверхности, (м3/сек)*86400

100

 

48

 

 

 

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Радиус скважины, м

 

0,1

На (Рисунок. 3.2) показана динамика дебитов с разных пластов и из скважины.

 

Дебит с разных пластов

Дебит, м3/сут

120.0 100.0 80.0 60.0 40.0 20.0

0.0

 

 

 

 

 

0.01

0.1

1

10

100

1000

t, часы

Время начала влияния границ 1-го пласта Время конца влияния объема ствола скважины Дебит с 1-го пласта Дебит с 2-го пласта Суммарный дебит с двух пластов Дебит скважины на поверхности Время начала влияния границ 2-го пласта

Рисунок. 3.2 Динамика дебитов с разных пластов и дебит скважины в модели постоянного дебита

В начальный момент времени дебиты с разных пластов – нулевые, так как скважина сначала работает на откачку жидкости из затруба. Затем дебиты пластов растут.

Вследствие одинаковых фильтрационно-емкостных свойств динамика дебитов одинакова,

но до момента, когда «волна» изменения давления дошла до границ 2-го пласта. С этого момента дебит из этого пласта начинает спадать, так как пласт непроницаем – он истощается. Соответственно дебит со второго пласта растет, так как задано условие постоянного дебита на поверхности. На момент 130 часов – со второго пласта перестает поступать жидкость. Скважина переходит в режим добычи с первого пласта.

Рассмотрим, как ведет себя при этом забойное давление. На (Рисунок. 3.3) показана динамика изменения забойного давления.

49

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Забойное давление, атм

Динамика забойного давления

300.0

250.0

200.0

150.0

100.0

50.0

0.0

 

 

 

 

 

0.01

0.1

1

10

100

1000

 

 

 

t, часы

 

 

 

Динамика забойного давления

 

 

 

Начальное пластовое давление 1 и 2 пластов

 

 

Время начала влияния границ 1-го пласта

 

 

 

Время конца влияния объема ствола скважины

 

 

Время начала влияния границ 2-го пласта

 

 

Рисунок. 3.3. Динамика забойного давления скважины в модели постоянного дебита

Рассмотрим динамику логарифмической производной изменения давления, чтобы лучше выявить характерные отличия динамики забойного давления двухпластовой системы от соответствующей динамики однопластовой.

50

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

dp/dlog(t)

Динамика изменения логарифмической производной забойного давления

100

10

1

 

 

 

 

 

0.1

 

 

 

 

 

0.01

 

 

 

 

 

0.01

0.1

1

10

100

1000

 

 

 

t, часы

 

 

 

 

d(p)/d(log(t))

 

 

 

 

 

Время влияния границ 1-го пласта

 

 

 

 

Время влияния объема ствола скважины

 

 

 

Время влияния границ 2-го пласта

 

 

Рисунок. 3.4. Динамика логарифмической производной изменения забойного давления скважины в модели постоянного дебита

Заметим, что в динамике производной наблюдается характерный максимум, который свидетельствует о наличии замкнутого пласта в двухпластовой системе. Это связано с наличием восходящего участка в динамике логарифмической производной изменения забойного давления скважины, вскрывающей пласт с замкнутыми границами (когда

«волна» возмущения давления доходит до границ данного пласта), а также с наличием нисходящего участка в динамике логарифмической производной изменения забойного давления скважины, вскрывающей пласт с поддержанием постоянного давления на границе. Так как пласты имеют одинаковые фильтрационно-емкостные свойства, то

«волна» давления доходит до границ 1-го и 2-го пласта в разное время – сначала до границ

2-го пласта (он меньше), а затем до границ 1-го, поэтому мы видим характерный максимум. Если бы непроницаемый пласт был больше проницаемого, то логарифмическая производная имела бы характерный минимум (сначала падение, затем рост).

На (Рисунок. 3.5)рис. 5 показаны профили давления в 1-ом и 2-ом на момент времени

300 часов. Видно, что замкнутый пласт истощился – среднее пластовое давление в нем равно забойному (см. Рисунок 3.1).

51

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

Распределение давления в пластах

Давление, атм

300

 

 

 

 

 

250

 

 

 

 

 

200

 

 

 

 

 

150

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

50

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

50

100

150

200

250

 

 

r, м

 

 

 

 

 

Давление на границе 1-го пласта

 

 

 

 

Граница 1 пласта

 

 

 

 

 

Профиль давления в 1 пласте

 

 

 

 

Профиль давления во 2 пласте

 

 

 

 

Граница 2 пласта

 

 

 

Рисунок. 3.5. Профили давления пластов на момент времени 300 часов в модели постоянного дебита

Рассмотрим модель постоянного давления для двухпластовой системы с такими же параметрами. Пусть величина забойного давления равна забойному давлению в модели постоянного дебита на установившемся режиме, а именно – 36,5 атм. Ниже, на (Рисунок.

3.6) даны зависимости дебита с разных пластов от времени.

52

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

Соседние файлы в предмете Добыча нефти и газа
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности