Вынужденные колебания
1. Вынужденные механические колебания (пружинный маятник)
Fупрx kx
k коэффициент жёсткости пружины
Fсопрx rνx
r коэффициент сопротивления среды
Fвнешнx F0 cos t
F0 амплитуда внешней периодической силычастота внешней периодической силы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ma Fi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ma Fупр Fсопр Fвнешн |
|
|
|
|
|||||
Fсопрx rνx |
|
Fвнешнx |
F0 cos t |
Fупрx kx |
|||||
max |
kx rνx |
F0 cos t |
(1) |
||||||
|
νx |
|
dx |
|
ax |
d 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dt |
x |
dt2 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
mx kx rx F0 |
cos t |
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
r |
|
F0 |
|
(3) |
|
|
|
|
|||||
x |
m x m x m cos t |
|||||||
|
|
2 |
х |
F0 |
cos t |
(4) |
|
|
|||||
x |
2 x 0 |
m |
||||
|
|
|
|
|
|
|
k
m 0 циклическая частота собственных колебаний
r
2m коэффициент затухания
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
пружинного маятника:
x 2 x 02 x Fm0 cos t
k
m 0 циклическая частота собственных колебаний
r
2m коэффициент затухания
Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний пружинного маятника
x(t) Acos ( t 0 ) предполагаемый вид решения |
|||||||||
|
|
|
|
|
дифференциального уравнения |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
F0 |
cos t (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
2 x 0 x |
m |
||
|
A ? |
0 ? |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x A sin ( t 0 ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
подставим в (5) |
|
|
|||
|
2 |
cos ( t 0 ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
x A |
|
|
|
|
|
|
|||
A 2 cos( t 0 ) 2 A sin ( t 0 ) 02 Acos( t 0 )
Fm0 cos t
A( 2 |
2 )cos( t |
) 2 A sin ( t |
) |
F0 |
cos t |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
sin cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F0 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A( 0 |
)cos( t 0 ) 2 A cos t 0 |
|
|
|
|
|
cos t |
||||||||||||||
2 |
|
m |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначим: |
A A( 2 2 ) |
|
|
A 2 A |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
01 0 |
|
|
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
A cos( t |
) A |
cos |
t |
|
|
|
F0 cos t |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдём сумму двух гармонических колебаний
с амплитудами A1 и A2 и начальными фазами 01 и 02 в виде A12 cos( t 0 0 )
A |
|
|
A2 |
A2 |
2A A cos |
|
|
|
02 |
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
12 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A A( 2 |
|
2 ), A 2 A , |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
01 |
02 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (2A )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (2 )2 |
||||||||||||||
A A2 |
|
2 2 |
A 2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 0 |
|
A1 sin 01 |
A2 sin 02 |
|
|
|
|
2 |
|
|
; |
0 |
arctg |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
A1 cos 01 |
A2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos 02 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||
A |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
(2 ) |
2 |
cos t 0 0 |
|
|
|
F |
cos t |
|
|
||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
t 0 0 t |
|
|
|
||||||||||||||
|
m |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
(2 ) |
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
arctg |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний пружинного маятника
x(t) Acos( t 0 )
A |
|
|
|
|
F0 |
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
2 |
2 |
(2 ) |
2 |
||||
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
||||||
0 arctg |
2 |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
частота внешней периодической силы
Переходный режим – процесс установления колебаний, продолжительность которого ~1/β