Лекция 12. Алгебра логики. Приоритет логических операций. Таблица истинности. Законы алгебры логики. Логические связи. Синтез логических схем.

Алгебра логики (булева алгебра) – это раздел математики, возникший в XIX веке благодаря усилиям английского математика Дж. Буля(поэтому она также известна как булева алгебра). Поначалу булева алгебра не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. В текущий момент она используется конкретно в описании различных операций, особенно в контроле по управлению различными электротехническими устройствами. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор).

• Основными понятиями алгебры логики являются понятие логической переменной и логической функции

• Логической переменной (аргументом) называется величина которая может принимать одно из двух значений («0» или «1»). Отмечают, что также есть нечёткая логика, там есть и средние значения/промежуточные значения. В случае с классической Булевой алгебры именно аргумент может принимать одно из двух значений («0» или «1»).

• Логической функцией называется функция двоичных переменных которая также может принимать одно из двух возможных состояний («0» или «1»)

Алгебра логики предусматривает множество логических операций. Однако три из них заслуживают особого внимания, т.к. с их помощью можно описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных устройств при конструировании схем

Такими операциями являются:

• Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, ∧,*

• Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, ||, v,+

• Отрицание (НЕ) – not, ¬

Приоритет логических операций и таблицы истинности:

1. Операция Инверсия (отрицания)

2. Операция Конъюнкция (логического умножения)

3. Операция Дизъюнкция (логического сложения)

Конъюнкция
A	B	A&B
0	0	0
1	0	0
0	1	0
1	1	1

Дизъюнкция
A	B	A||B
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

Отрицание
A	¬A
0	1
1	0

Конъюнкция(т. е логическое умножение), когда у нас в одном из входов есть хотя бы 1 ноль, то у нас на выходе всегда будет 0. Если на обоих входах Конъюнкции 1, то и на выходе будет 1(см таблицу)

Дизъюнкция(Логическое сложение) см таблицу входы и выходы. Если на одном из входов присутствует единица, то и на выходе будет единица. Если на обоих 0, то и на выходе 0

Отрицание. На входе 0 -> на выходе единица и наоборот. Пример: берем классические логические элементы, напряжение питания составляет 5В, то логическая единица соответствует 5 Вольтам, а логический ноль 0 вольтам

Законы алгебры логики

Данные законы будут необходимы для того, чтобы мы могли упростить итоговые выражения при описании различных логических схем и операций. Тем самым снизить число компонентов, используемых при построении конкретной схемы.

Основные законы (являются логическим следствием из простой алгебры):

• Законы рефлексивности

a ∨ a = a

a ∧ a = a

• Законы коммутативности

a ∨ b = b ∨ a

a ∧ b = b ∧ a

• Законы ассоциативности

(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c)

(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

• Законы дистрибутивности

a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)

a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Эти законы являются непривычными для классической алгебры. Существуют и справедливы они только для булевой алгебры:

• Закон отрицания-отрицания

¬ (¬ a) = a (пример никого нет дома, двойное отрицание, значит дома есть все)

• Законы де Моргана

¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b

¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b

• Законы поглощения

a ∨ (a ∧ b) = a

a ∧ (a ∨ b) = a

Рассмотрим условно графические обозначения граф. Блоков: