Казанский Ю.А. Кинетика ядерных реакторов. Коэффициенты реактивности. Введение в динамику

Выражение (5.81) позволяет рассчитать установившийся уровень мощности w в зависимости от величины введенной реактивности ρ0 = const подкритического и критического реактора при наличии внешнего источника нейтронов (рис. 5.20).

Рис. 5.20. Зависимость мощности w(ρ0) реактора от ρ0, вычисленной по (5.81)

иw(ρβ) – от ρβ, вычисленной по (5.79) при τ0 = 0,1 с, αw = –0,01 β/% и q = 0,1 %/c

влинейном (а) и логарифмическом (б) масштабах

271

Анализ кривых, приведенных на рис. 5.20, показывает, что у подкритического реактора из-за низкого уровня мощности вклад мощностного эффекта также пренебрежительно мал. В этом случае реактивность реактора ρβ определяется внесенной реактивностью ρ0 (ρβ ≈ ρ0 < 0) и w(ρ0) хорошо описывается (5.78). Действительно, если в (5.80) подставить αw=0, то w = –τ0q/ρ0.

В свою очередь, для реактора на энергетических уровнях мощности можно пренебречь вкладом внешнего источника нейтронов q. Если q→0 в (5.81) или w→∞ в (5.80), то (5.81) принимает вид:

Таким образом, мощность w устойчивого реактора с мощностным коэффициентом αw < 0 по истечению переходного процесса, вызванного вводом реактивности ρ0, установится на уровне, определяемым (5.82).

Заметим также, что независимо от знака введенной реактивности ρ0, после переходного процесса реактор при q=0 будет находиться в точно критическом состоянии (ρβ=0), так как введенная реактивность ρ0 будет скомпенсирована реактивностью –ρ0, обусловленной мощностным эффектом.

Пусть на реактивность влияет температура топлива Тт и воды Тв. Перепишем (5.79) в виде

Обнулим производные в уравнениях теплообмена (5.4), (5.5):

где Т0 – комнатная температура (температура реактора при w ≈ 0). Будем считать, что и температура воды на входе реактора такая же,

т.е. Тв1 = Т0.

Возьмем простейшую аппроксимацию средней температуры воды в виде полусуммы температур на входе и выходе из активной зоны (5.5а), выразим Тв2 = 2Тв – Т0 и подставим в (5.85). Туда же подставим Kт(Tт – Tв) = w из (5.84) и разрешим относительно темпе-

272

Последнее выражение подставим в (5.84) и найдем температуру топлива:

После подстановки (5.86) и (5.87) в (5.83) оно принимает вид

Таким образом, если мощностной эффект образовывается только температурными эффектами топлива и воды с соответствующими коэффициентами αт и αв, формула (5.89) позволяет оценить мощностной коэффициент αw на основе температурных коэффициентов αт и αв, что, в свою очередь, дает возможность использовать простые соотношения для расчета стационарного состояния реактора, например, (5.82).

5.5.2. Влияние мощностного эффекта на переходные процессы

В гл. 3 было показано, что мощность реактора не оказывает непосредственного воздействия на его реактивность. Но так как при изменении мощности меняется ряд технологических параметров (температуры, плотности, давления и др.), оказывающих прямое воздействие на реактивность, то мощностной эффект представляет некоторую сумму других эффектов реактивности.

Кроме того, влияние мощности на реактивность протекает во времени. Например, изменение температуры воды и топлива происходят медленнее изменения мощности реактора и зависят от их массы, теплоемкости, расхода и других теплофизических параметров. Поэтому мощностной коэффициент удобно использовать в установившемся режиме и αw определяется как αw = dρ/dw при t → ∞, т.е. когда все технологические параметры достигли своих стационарных значений.

Вместе с тем мощностной эффект можно использовать также для описания не только установившихся состояний, но и переходных

273

процессов реактора. Особо удобным, как будет показано ниже, представляется использование мощностного эффекта для описания квазистационарных переходных процессов, вызванных медленными изменениями реактивности, например, в процессе выгорания топлива.

Так как любой из коэффициентов реактивности, в том числе и мощностной αw, определяется посредством производной, т.е. в виде отношения двух бесконечно малых приращений, то для описания динамики соответствующих эффектов реактивности можно использовать линеаризованные уравнения. Напомним, что линеаризованные уравнения справедливы как раз для небольших отклонений переменных от их установившихся значений.

Для временного описания мощностного эффекта, предположим ради простаты, что он обусловлен только температурными эффектами топлива и воды, и используем графическое представление линеаризованных уравнений динамики реактора посредством передаточных функций, показанного на рис. 5.15.

Так как нас интересует влияние на реактивность только мощности реактора, то все внешние возмущения обнулим, т.е. не будем рассматривать влияние изменения температуры воды на входе ак-

воды на выходе из активной зоны Тв2. Это позволяет исключить из рассмотрения звенья с ПФ kв1, kG, s/w0, и с коэфициентом пере-

дачи 2 (см. рис. 5.15).

Применим свойство последовательного соединения систем (см. табл. 5.3, строка 1) к звеньям с ПФ kf и 1/(τвs + 1) и свойство взаим- но-обратного включения (см. табл. 5.3, строка 4) к полученному

274

Tт(s)

αт τвsk+f 1

Wα(s) = Δρα(s)/ w(s)

Рис. 5.21. Графическое представление линеаризованных уравнений динамики реактора посредством ПФ кинетики Wwρ(s) и мощностного эффекта Wα(s)

Путем очевидных алгебраических преобразований приведем ПФ

где αw – мощностной коэффициент, вычисляемый по (58.9); τ =

= τвαт/(αв kf +αт), a0 = τвτт (1 – kf) и a1 = (τв + τт)(1 – kf) – коэффициен-

ты ПФ*.

Дискриминант D = a12–4a0 характеристического уравнения ПФ (5.91) D = a12–4a0 всегда положителен. В этом нетрудно убедиться. Заменим коэффициенты а0 и а1 приведенными выше выражениями. Для D > 0 достаточно, чтобы (τт+ τв)2 / (4 τт τв) > 1–kf или

С учетом положительности постоянных времени топлива и воды

(τтτв > 0), а также, что 0 < 1– kf = 2CвGв/(km+2CвGв) < 1, для вы-

полнения неравенства (5.92), достаточно, чтобы ее левая часть равнялась или была больше единицы. Если отношение τв/τт заменить некоторой переменной, например x = τв /τт > 0, то левую часть рассматриваемого неравенства можно представить функцией

* См. также (5.63)÷(5.69).

275

Кроме того, можно показать, что если хотя бы одна из постоянных τ1 и τ2 превосходит τ, то переходный процесс будет монотонным*, т.е. будет отсутствовать так называемое перерегулирование. В этом случае ПФ (5.93) по своим свойствам близка к ПФ 1-го порядка:

Выберем в качестве Wwρ(s) (см. рис. 5.21) ПФ критического реактора нулевой мощности с одной группой запаздывающих нейтронов (λ = 0,0769 с-1) в приближении мгновенного скачка (Λ = 0). Тогда в соответствии с табл. 5.4

* Производная по времени монотонно процесса сохраняет знак.

277

Если еще и пренебречь инерционностью тепловых процессов и подставить τе = 0 в (5.98), то получим некий линеаризованный аналог (5.08) – линеаризованную модель мгновенного скачка:

Пусть Δρ0(t) представляет скачек величиной Δρ0, тогда Δρ0(s) = = Δρ0/s и w(t) =L-1{ Δρ0Фwρ(s)/s} имеет вид (см. приложение 1)

Изменение мощности реактора при быстром изменении реактивности на небольшую величину. На рис. 5.23 приведены из-

менения мощности w(t) реактора, вызванные скачком реактивности Δρ0, рассчитанные разными способами.

Анализ полученных результатов (см. рис. 5.23) позволяет сформулировать выводы:

−инерционности процессов теплопередачи в реакторе могут привести к возникновению значительных отклонений мощности

(выбросов) от установившегося значения –Δρ0/αw при быстрых изменениях реактивности Δρ0(t) вплоть до возникновения затухающих колебаний или даже неустойчивости;

−мощностной эффект (отрицательная обратная связь с коэф-

фициентом |αw|) приводит к возникновению инерционности с постоянной времени (см. 5.99), равной [1+β/(w0|αw|)]/λ. Поэтому переходные процессы в реакторе не могут быть короче времени при-

близительно (3÷5)·[1+β/(w0|αw|)]/λ;

−упрощенные модели расчета без учета инерционности процессов теплопередачи, например модель мгновенного скачка (5.10) или ее линеаризованный вариант (5.100), могут дать качественно неверную картину изменения мощности на ее начальном этапе (отсутствие выбросов и колебаний);

−аппроксимация динамики мощностного эффекта хотя бы одной инерционностью (5.95) существенно улучшают точность пред-

278

ставления переходного процесса на его начальном этапе (см. кри-

вые ПФ (5.97) ÷ (5.98) на рис. 5.23);

− при небольших отклонениях от начального уровня мощности ( w = Δρ/αw < 10÷20% от w0) приемлемую точность обеспечивают линеаризованные уравнения динамики, например, (5.97) и (5.98).

Рис. 5.23. Реакция мощности реактора на скачок реактивности Δρ0

при αw= –7,3·10-5 β/Вт; = 4,7 с, τ1 = 5,1 с, τ2 = 39,4 с, τе=3,98 с. «Точное решение» получено путем численного интегрирования системы (5.1) ÷ (5.5)

в шестигрупповом приближении при Λ=10-4 с; λ=0,0769 с-1; β=6·10-3, «приближение мгновенного скачка» получено путем решения (5.10)

Изменение мощности реактора при медленном линейном изменении реактивности на конечную величину. Данная задача уже рассматривалась в п. 5.2 в приближении мгновенного скачка. Полученное выражение (5.15) позволяет рассчитывать мощность в процессе выгорания топлива. Вместе с тем для устойчивого реактора с отрицательным мощностным коэффициентом αw для стационарных состояний справедливо более простое, чем (5.15), выражение (5.82). Интуитивно ясно, что если менять реактивность ρ0(t) очень медленно, так чтобы температуры топлива и воды успевали

279

отслеживать мощность (не сильно отличались от своих стационарных (5.86) и (5.87) значений), то и мощность w(t) не должна существенно отличатся от величины –ρ0(t)/αw.

Пусть в реактор с αw<0 на стационарном уровне мощности w0 начинает вводится реактивность Δρ0(t) = kρt, где kρ – скорость ввода реактивности. При этом мощность начинает меняться. Обозначим это изменение как w(t). Введем некоторую переменную e(t) = = w(t) + kρt/αw – погрешность расчета мощности по (5.82) и оценим ее значение.

Предположим, что w(t) << w0, что дает основание использовать линеаризованные уравнения динамики в виде ПФ для анализа погрешности e(t). Тогда Δρ0 (s) = kρ/s2 и

Воспользуемся свойствами (приложение 1, свойство № 6) преобразования Лапласа и найдем установившегося значение e(t):

Δρ0(t)=kρt. Как следует из рисунка, по истечении времени (3÷5)·[1+β/(w0|αw|)]/λ ≈ 100 ÷ 160 с свободная составляющая переходного процесса затухает и мощность возрастает по линейному закону. При этом разница между мощностью реактора w(t) и ее простейшей оценкой -kρ/αw тем больше, чем выше скорость увеличения реактивности. Так для реактора с параметрами, приведенными на рис. 5.24, kρ ≈ 3·10-4 β/c (≈ 1,1 β/ч) эта разница будет приблизительно 1% начального уровня мощности.

Заметим также, что выражения, полученные в этом разделе, зависят от уравнений (5.4) и (5.5), т.е. от модели процессов теплообмена в реакторе. При использовании других моделей, например, с учетом распределения тепловыделения по активной зоне, они приобретут другой, отличающийся от (5.89) ÷ (5.102) вид. Тем не менее, качественно полученные выводы справедливы и при более точном описании тепловых процессов, а количественные оценки могут быть использованы как первоначальное приближение.

280