Казанский Ю.А. Кинетика ядерных реакторов. Коэффициенты реактивности. Введение в динамику

Для удобства преобразуем структуру ПФ WTвρ (s) как показано

на рис. 5.16, б (см. строку 4 табл. 5.3). Теперь порядок вычислений ПФ WTвρ (s) очевиден:

1)находим W(s) по формулам 1-й и 3-й строки табл. 5.3 с учетом положительности местной обратной связи;

2)находим ПФ прямой связи в виде произведения (формула 1-й

строки табл. 5.3) W1(s) = Wwρ(s)kwW(s);

3) находим ПФ обратной связи в виде суммы (формула 2-й

строки табл. 5.3) W0(s) = αв + αm(Tвs + 1)/kf;

4) применяем еще раз формулу 3-й строки табл. 5.3 к W1(s) и W0(s) и получаем искомую WTвρ (s).

Если взять ПФ Wwρ(s) критического реактора в приближении мгновенного скачка (Λ = 0) с одной группой запаздывающих нейтронов, то (5.51) можно записать как Wwρ(s) = w0(s+λ)/(sβ) и искомую ПФ – в виде:

Соответственно, D(s) = 0 характеристическое уравнение и d0, d1, d2, d3 – его коэффициенты.

Необходимый критерий устойчивости. Для устойчивости сис-

темы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели одинаковые знаки. Для систем 1-го и 2-го порядка данный критерий является достаточным. Если знаки разные, то система заведомо неустойчива.

В ПФ (5.70) в знаменателе коэффициенты d0, d1, d3 положительны. В d2 входит коэффициент kf со знаком минус (результат положительной местной обратной связи по температуре воды). Нетрудно убедиться, что d2 > 0 выполняется при любом kf. Условие d2 > 0

261

Критерий Гурвица (достаточный). Данный критерий приво-

дится здесь как один из наиболее приспособленных критериев для компьютерного анализа устойчивости, позволяющий в определенных случаях указать на параметры, которых необходимо менять, если система неустойчива.

Пусть система имеет характеристическое уравнение в виде:

D(s) = d0 sn + d1sn−1 +... + dn−1s + dn . (5.71)

Составляется квадратная матрица Гурвица, состоящая из n строк и n столбцов:

По диагонали с левого верхнего до правого нижнего угла расположены коэффициенты d1 … dn.

Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими четными или нечетными индексами слева направо в зависимости от четности индекса, стоящего на главной диагонали. Если индекс меньше нуля или больше n, на месте данного коэффициента записывается нуль.

В соответствии с критерием Гурвица при d0 > 0 для устойчивости системы достаточно, чтобы были положительными все n диагональных определителей матрицы Гурвица (5.72):

Линейная система находится на границе устойчивости, если все

262

система находится на апериодической границе устойчивости (один из корней характеристического уравнения равен нулю), если же dn ≠ 0, а n-1 = 0, то система находится на колебательной границе устойчивости.

В качестве примера применим критерий Гурвица к ПФ (5.70).

откуда для устойчивости системы достаточно выполнения нера-

венств d1 > 0, d3 > 0 и d1d2 > d0d3.

Первые два неравенства (d1 > 0 и d3 > 0) выполняются ввиду положительности всех параметров, входящих в эти коэффициенты. Третье неравенство (d1d2 > d0d3) принимает вид:

[β(τт + τв) + αв kww0Тв] {kww0 [αт (λТв+1) + αв kf ] + β(1– kf)}>

Полученное неравенство позволяет проводить анализ влияния параметров на устойчивость реактора. Обычно результаты анализа приводят в виде так называемых областей устойчивости на плоскости двух выбранных параметров, например, αв и αт (рис. 5.17).

На рис. 5.18 приведены переходные процессы реактора, рассчитанные путем совместного решения уравнений кинетики в 6-груп- повом приближении (5.1), обратной связи (5.3) и теплообмена (5.4), (5.5) методом Рунге–Кутта 4-го порядка с отрицательными обратными связями по температуре топлива и воды для точек 1, 2 и 3 (см. рис. 5.17), соответствующие устойчивому, границе устойчивости и неустойчивому реактору. Приведенные переходные процессы не противоречат рассчитанным по критерию Гурвица областям устойчивости, а их анализ позволяют сделать следующие выводы:

−приближение с одной группой запаздывающих нейтронов дает уменьшенную область устойчивости;

−увеличение постоянных времени однозначно ведет к уменьшению области устойчивости. Например, постоянная «по воде»

τв = mвСв/(Kт + 2CвGв0) пропорциональна массе воды mв и обратно пропорциональна ее расходу Gв0. Поэтому теоретически с точки зрения устойчивости увеличение массы воды в активной зоне мо-

263

жет быть скомпенсировано соответствующим увеличением ее расхода;

Рис. 5.17. Области устойчивости (области, ограниченные кривимы и осями) на плоскости параметров αт, αв ректора с отрицательными обратными связями по температуре топлива и воды на номинальном уровне мощности 1 МВт

для массы воды 1 и 2 т, полученные в приближении одной группы и шести групп запаздывающих нейтронов (на практике, как правило, |αв| не превышает величины 50·10-5 K-1)

−увеличение коэффициентов отрицательных обратных связей (усиление соответствующих эффектов) может привести к неустойчивости;

−применительно к реактору увеличение αт не приводит к неустойчивости, ибо обратная связь по температуре топлива имеет лишь одну инерционность, связанную с нагревом самого топлива. Тепло от деления ядер выделяется в самом топливе, и отсутствуют промежуточные элементы передачи тепла, вносящие собственные

инерционности. В тоже время большие (по модулю) значения αв теоретически могут ухудшить устойчивость и внести колебательность в переходных процессах. Обусловлено это большим количеством инерционностей в замкнутом контуре: мощность реактора – температура топливо – температура оболочек топлива – температу-

264

ра воды – реактивность (см. рис. 5.16, а). В результате инерционного запаздывания вносимая «отрицательной» обратной связью по температуре воды реактивность может не уменьшать, а наоборот увеличивать возникшее возмущение, нарушавшее состояние равновесия. Достаточно всего двух инерционностей в контуре отрицательной обратной связи, чтобы итоговый фазовый сдвиг достиг величины, близкой к –180°, и отрицательная обратная связь стала, по сути, положительной;

−если коэффициенты обратных связей имеют разные знаки, то преобладание отрицательного эффекта является только необходимым условием устойчивости, которая должна быть дополнительно исследована на выполнение достаточных критериев устойчивости или непосредственным расчетом переходных процессов;

−положительный мощностной коэффициент является достаточным условием неустойчивости реактора на энергетических уровнях мощности.

Рис. 5.18. Переходные процессы в зависимости от αв = −0,5·10-3 K-1 (устойчивое состояние равновесия), αв = −1,792·103 К-1 (колебательная граница устойчивости) и αв = −2,5·10-3 К-1 (неустойчивое состояние равновесия)

в точках 1, 2 и 3 соответственно на рис. 5.17

265

5.4.5.Саморегулирование реактора

Вп. 5.4.1 на качественном уровне уже обсуждались вопросы влияния нагрузки и возмущений на работу реактора в составе энергоблока. Было также дано понятие саморегулирования как способности реактора без внешнего воздействия на органы регулирования уменьшать или увеличивать свою мощность пропорционально изменениям электрической и/или тепловой нагрузки. Возникает саморегулирование благодаря отрицательным эффектам реактивности.

Остановимся на вопросе саморегулирования более подробно. В качестве примера рассмотрим реактор номинальной мощностью

w0 = 1 МВт с отрицательными эффектами реактивности по температуре топлива (αт= –5·10-5 К-1) и температуре воды (αв = –25·10-5 К-1).

При этом температура воды на входе реактора Tв01 = 90 °С, на выходе Tв02 = 110 °С и расход Gв0 = 11,9 кг/с, т.е., тепловая нагрузка

P0 = CвG0в(T0в2 – T0в1) = 1 МВт соответствует мощности реактора w0 = 1 МВт, и реактор работает в стационарном режиме.

Пусть температура воды на входе реактора возрастет на величину Tв1, например, 10 оС ( Tв1 = 10), что соответствует изменению тепловой нагрузки на величину P = –CвG0в Tв1 = –0,5 МВт, т.е. при неизменной температуре воды на выходе из реактора и постоянном ее расходе тепловая нагрузка реактора уменьшится на 0,5 МВт. Увеличение температуры на входе повысит среднюю температуру воды и за счет отрицательного температурного эффекта приведет к снижению мощности реактора, т.е. проявится свойство саморегулирования.

Для эксплуатации энергоблока требуется, чтобы изменение мощности реактора w равнялось изменению его тепловой нагрузки P хотя бы после окончания переходного процесса, т.е. w(∞) = = P(∞). На практике изменение мощности реактора за счет саморегулирования, как правило, меньше изменения тепловой нагрузки, т.е. | w(∞)| < | P(∞)| (см. семейство кривых 1 на рис. 5.19, соответ-

ствующие αт = –5·10-5 К-1 и αв= –50·10-5 К-1).

Указанные значения |αт| и |αв| выбраны наибольшими известными по литературе. Приведенные на рис. 5.19 зависимости получены путем совместного решения уравнений кинетики в 6-групповом приближении (5.1), обратной связи (5.3) и теплообмена (5.4), (5.5) методом Рунге–Кутта 4-го порядка при mт=1500 кг, mв=100 кг.

266

Допустим, что есть возможность существенного усиления температурных эффектов и при увеличении |αт| и |αв| реактор сохраняет устойчивость. Попробуем ответить на вопрос: существуют ли такие значения αт и αв, при которых w(∞) = P(∞)?

Для этого найдем ПФ WwTв1 (s) = w(s)/ Tв1(s) на основе линеари-

зованной структуры реактора (см. рис. 5.15). Подставим в выше указанную структуру Δρy = 0, Gв = 0, а также τв = 0 и τт = 0, другими словами, будем считать обратные связи неинерционными. В этом приближении искомая ПФ может быть записана в виде:

Так как 1/Wwρ(0) = 0, то после переходного режима справедливо равенство:

= 10 °С, что полностью согласовывается с результатами численного решения системы исходных нелинеаризованных уравнений (см. кривую 1 w(t) на рис. 5.19).

Для того чтобы при изменении температуры воды на входе реактора выполнилось условие w(∞) = P(∞), требуется, чтобы правая часть (5.76) по модулю равнялось CвG0в. Если подставить соответствующие коэффициенты из формулы (5.69) в (5.76), нетрудно убедиться, что в общем случае правя часть выражения (5.76) не равняется по модулю CвG0в.

Попробуем улучшить свойство саморегулирования реактора путем увеличения |αт|. Тогда выражение (5.76) в пределе примет вид:

так как Kт<< CвG0.

Результат будет противоположным ожидаемому (см. кривые 2 на рис. 5.19), ибо увеличение температурного коэффициента |αт|

268

приведет к улучшению стабильности температуры топлива и мощности реактора и уменьшению их зависимости от изменений температуры воды. Изменение температуры воды на входе реактора вызовет почти такое же по величине и знаку изменение температуры воды на его выходе. При |αт| → ∞ будет обеспечиваться постоянство мощности реактора, который не будет реагировать как на изменение тепловой нагрузки, так и на любые изменения реактивности.

Посмотрим, какие последствия вызовет увеличение |αв|. В этом случае:

т.е. увеличением |αв| можно, в принципе, обеспечить выполнение w(∞) = P(∞). При этом будет улучшаться стабильность средней температуры воды ( Тв → 0), а изменение температуры на входе, будет компенсироваться противоположным изменением температуры воды на выходе реактора (см. кривые 3 и 4 на рис. 5.19).

Если прировнять правую часть (5.76) к CвG0в и разрешить относительно αв, то получим соотношение:

В этом случае выполняется w(∞) = P(∞), т.е. реактор за счет свойств саморегулирования будет точно подстраиваться под изменение его тепловой нагрузки (см. кривую 4 на рис. 5.19).

Однако при этом надо учитывать, что выражение получено для простейшей оценки средней температуры воды (5.5а) и для других способов усреднения будет отличаться от (5.77). Кроме того, полученное αв трудно реализовать на практике, так как αт и αв являются производными конструкции реактора, а не наоборот. Во время эксплуатации коэффициенты реактивности не остаются постоянными, а меняются во времени. На практике саморегулирование обеспечивает только приближенное изменение мощности реактора в соответствии с его тепловой нагрузки. Для обеспечения более точного равенства мощности реактора и его тепловой нагрузки применяют автоматические регуляторы мощности.

269

5.5. Статика и динамика мощностного эффекта реактивности

5.5.1. Связь мощности и реактивности в стационарном состоянии

Рассмотрим энергетический реактор с отрицательным мощностным эффектом (αw < 0) и внешним источником нейтронов в общем случае неравным нулю (q ≠ 0). Будем считать, что реактор устойчив. В этом случае после введения реактивности ρ0 = const, например, изменением положений регулирующих стержней, установится новый уровень мощности реактора w = const.

Найдем связь между стационарным уровнем мощности w и введенной реактивности ρ0 = const для устойчивого реактора с отрицательным мощностным эффектом, заданным мощностным коэффициентом αw < 0.

Как известноизп. 1.6.1, уравнения кинетики имеют стационарное решение для подкритического реактора, т.е. если в уравнения кинетики (5.1) добавить источник q ≠ 0, заменить производные нулями и решить полученные алгебраические уравнения, то получим известное соотношение (формула обратного умножения) для подкритического реактора:

где ρβ – реактивность в β и τ0 = Λ/β – постоянная времени мгновенных нейтронов.

Добавим уравнение обратной связи по мощности

Подставим (5.79) в (5.78), получим квадратное уравнение

Заметим, что его дискриминант D = ρ02 + 4αwq всегда неотрицателен, ибо αw < 0 (в противном случае нет стационарного состояния). С другой стороны w > 0, поэтому физический смысл имеет только одно решение уравнения (5.80):

270