Казанский Ю.А. Кинетика ядерных реакторов. Коэффициенты реактивности. Введение в динамику

Наибольшее распространение получили так называемая каноническая форма записи посредством матричных преобразований переменных состояния и запись в виде передаточных функций (ПР).

С точки зрения трудоемкости анализа устойчивости обе формы одинаковы. Однако применение ПФ дает дополнительно и наглядное графическое представление системы. Поэтому остановимся именно на ПФ.

Для получения ПФ применим преобразования Лапласа к системе линеаризованных уравнений (5.39) и получим:

Выразим Ci(s) из второго уравнения, подставим в первое урав-

Выражение (5.51) называется ПФ реактора по реактивности относительно мощности. Заметим, что данная ПФ справедлива для подкритического и критического реактора (точнее вблизи критического состояния).

Выражения (5.50) и (5.51) позволяют найти w(t) для заданного Δρ(t) без непосредственного решения дифференциальных уравнений. Для этого надо: в (5.51) подставить численные значения координат рабочей точки w0 и ρ0 и параметры нейтронов βi и λi; найти Δρ(s), применив к Δρ(t) преобразование Лапласа; по (5.50) вычислить w(s); посредством обратного преобразования найти w(t).

В общем случае ПФ по j-му входу относительно к i-му выходу wij(s) есть отношение изображений Лапласа отклика на i-ом выходе и воздействия на j-ом входе при отсутствии воздействий на всех остальных входах и нулевых начальных условиях.

251

Так как передаточная функция получается из линейных уравнений применением преобразований Лапласа, которые также являются линейными, то для самой ПФ справедливы все свойства линейных операторов, в том числе принцип суперпозиции. Отсюда следуют широкие возможности эквивалентных структурных преобразований систем с целью их анализа и синтеза, включая возможность разложения (декомпозицию) сложной системы на более простые и объединение (композицию) простых систем в сложную (табл. 5.3).

Примечание. В случае положительной обратной связи, в знаменателе эквивалентной ПФ знак «+» меняется на «–».

В качестве примера найдем ПФ реактора по реактивности относительно обратного периода. Для этого применим преобразования Лапласа к уравнению (5.43) и получим:

252

Пусть в момент времени t = 0 в подкритический реактор с реактивностью ρ0 скачкообразно вводится реактивность Δρ, т.е. Δρ(t) = = Δρ·1(t), где 1(t) – единичная ступенчатая функция, равная нулю

жении с одной группой запаздывающих нейтронов. Для этого на основе (5.54) при n = 1 и с учетом последних соотношений можно записать

где τ0=Λ/β – постоянная времени мгновенных нейтронов; ρβ0= ρβ/β, Δρβ=Δρ/β – реактивность в β.

Для получения предельных точек y(t) можно воспользоваться

т.е. сразу после скачка реактивности обратный период мгновенно достигнет величины βΔρ/Λ и далее спадает до нуля в подкритиче-

* Данная ПФ представляет идеальный дифференциатор, который не является физически возможной системой. У реального периодомера ПФ близка к выражению

Wyρ(s) = kys/[wo(τ1s + 1)(τ2s + 1)], τ1,2 ≈ 0,1–4 с.

253

ском реакторе или – до величины λΔρβ/(τ0λ + 1) в слегка надкритическом реакторе. Последнее выражение представляет линеаризованный вариант формулы обратных часов (1.18) в приближении с одной группой запаздывающих нейтронов.

Для получения y(t) найдем обратное преобразование Лапласа выражения (5.55), например, по формуле разложения:

где si – корни характеристического уравнения (5.55).

Для получения корней si необходимо приравнять к нулю знаменатель (5.55) и решить квадратное уравнение:

ния уравнений кинетики, линеаризованных уравнений с шестью группами запаздывающих нейтронов и ПФ с одной группой запаздывающих нейтронов по формулам (5.58), (559).

Рис. 5.13. Переходные процессы в подкритическом реакторе (ρ0 = –1 β), вызванные скачком реактивности Δρ = 0,1 β при Λ = 5·10-4 с, λ = 0,0769 с-1 и β = 0,0064

254

Из приведенных на рис. 5.13 кривых y(t) следует, что при малых изменениях реактивности (Δρ ~ 0,1 β) нет существенной разницы по точности между исходными уравнениями кинетики и линеаризованными (ПФ) даже в приближении с одной группой запаздывающих нейтронов. Кроме того, эти кривые указывают на низкую эффективность периодомера для контроля подкритического реактора. Несмотря на то, что сразу после скачка реактивности период мгновенно становится весьма коротким Λ/(βΔρ) (приблизительно 0,8 с в данном случае), всплеск обратного периода длится короткое время (0,1÷0,2 с). С учетом особенностей реальных периодомеров этот всплеск вероятнее всего не будет зафиксирован.

Если в выражениях (5.51) и (5.54) подставить Λ→0 или в (5.55) подставить τ0 = 0, то получим приближение мгновенного скачка.

т.е. в виде двух многочленов по отношению к s с единичными свободными членами. При такой записи, коэффициенты, стоящие возле s1, имеют размерность времени, ибо умножение на s означает операцию дифференцирования по времени функции-оригинала. Другими словами, оператор s имеет размерность с–1. Эти коэффициенты называются постоянными времени.

Для систем 1-го порядка (порядок системы определяется порядком знаменателя ее ПФ) постоянная времени знаменателя однозначно определяет длительность переходных процессов. Можно показать, что за время, равное трем постоянным времени, переменная состояния достигает величины, которая отличается от нового стационарного значения не более чем на 5 %, а за пять постоянных времени – не более 1 %.

Из (5.60) следует, что постоянная времени подкритического реактора

255

Так как 1/λ ≈ 10 с, при ρβ0 < –1 длительность переходных процессов будут определяться средним временем жизни запаздывающих нейтронов 1/λ. Однако по мере приближения к критическому состоянию (ρβ0 →0), длительность переходных процессов будет существенно увеличиваться.

Общий множитель в данном представлении ПФ, стоящий перед дробью (1/|ρβ0| в (5.60)), называется коэффициентом передачи и показывает чувствительность выхода по отношению к входу. Из (5.60) следует, что чем ближе реактор к критическому состоянию, тем сильнее одно и то же изменение реактивности влияет на его обратный период .

Приведенные в табл. 5.3 свойства линейных систем, описанных посредством ПФ, позволяет представить сложную систему в виде комбинации более простых. В качестве примера, сравним ПФ (5.51) со строками 1 и 3 табл. 5.3. Несложно увидеть, что ПФ (5.51) соответствует соединение более простых подсистем (динамических звеньев), изображенное на рис. 5.14.

Из ПФ (5.51) и ее графического представления следует, что коэффициент передачи реактора нулевой мощности пропорциален уровню его мощности w0. Так, у критического реактора (ρ0 = 0) без запаздывающих нейтронов (βi = 0 для всех i) ПФ (5.51) имеет вид

Это утверждение справедливо и по отношению к мощности.

256

Wwρ(s) = (w0/Λ)(1/s), откуда его реакция на скачок реактивности Δρ будет w(s)=(w0Δρ/Λ)(1/s2), или во временной области w(t) = = (w0Δρ/Λ)t. Это означает, что сразу после скачка реактивности мощность будет увеличиваться со скоростью w0Δρ/Λ. Действие каждой группы запаздывающих нейтронов можно представить как действие внутренней отрицательной обратной связи. Однако сколько бы ни было таких групп, наличие нулевого полюса s (интегратора w0/s, так как оператор 1/s равносилен интегрированию во временной области) в ПФ сохраняется. Поэтому запаздывающие нейтроны не меняют вид переходного процесса, а только затягивают его во времени. Критический реактор находиться на границе устойчивости независимо от наличия или отсутствия запаздывающих нейтронов.

Степень подкритичности –ρ0 также можно рассматривать как действие отрицательной обратной связи, однако в отличие от запаздывающих нейтронов – интегрирующего типа. В этом случае нулевой полюс обратной связи компенсирует такой же полюс прямой связи, в результате чего характер переходных процессов, протекающих в подкритическом реакторе, существенно отличается от процессов вблизи критического состояния, а реактор становится устойчивым. Без учета запаздывающих нейтронов ПФ (5.51) для подкритического реактора можно записать в виде

После скачка реактивности Δρ мощность реактора увеличится приблизительно на величину w = w0Δρ/|ρ0| за время (3÷5)Λ/|ρ0|.

Кроме реактивности, в качестве управляющего воздействия можно рассматривать и воздействие источника нейтронов q(t). По отношению к отклонению q(t) также возможно записать ПФ Wwq(s) и Wyq(s) (табл. 5.4). Для этого необходимо первое уравнение (5.1) дополнить членом q(t), переписать в отклонениях и применить преобразование Лапласа, так как уравнения кинетики по отношению к переменным w(t) и q(t) линейны.

257

Таблица 5.4

Сводная таблица передаточных функций реактора нулевой мощности

Представим в виде ПФ уравнение (5.46). Для этого применим преобразование Лапласа и разрешим полученное выражение по отношению к Tт(s):

258

.

Выражения (5.45), (5.48), (5.50), (5.53), (5.63)–(5.69) позволяют графически представить структуру реактора в виде соединения простых динамических звеньев (рис. 5.15).

Рис. 5.15. Графическое представление линеаризованных уравнений динамики реактора посредством ПФ

Отметим, что существуют три обратных связи. Две очевидных связи – по температуре топлива с коэффициентом αт и температуре воды с коэффициентом αв – могут быть как отрицательными, так и положительными и влияют непосредственно на реактивность.

Однако представленная структура позволяет выявить и третьею положительную единичную обратную связь по температуре воды, влияющую на температуру топлива и через нее – на реактивность. Чем больше температура воды, тем больше температура топлива. Заметим также, что любое представление динамической системы посредством ПФ не является единственным. Но каким бы не было конкретное представление, все возможные представления имеют одни и те же корни характеристического уравнения и одинаково отражают динамические свойства системы.

259

5.4.4.Критерии устойчивости

Вп. 5.4.1 отмечено, что для устойчивости линейной (линеаризованной) системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. Многочисленные критерии устойчивости позволяют проверить устойчивость системы по коэффициентам характеристического уравнения.

Существует множество способов нахождения характеристического уравнения. Покажем, как это сделать по ПФ системы. Для этого достаточно при помощи формул табл. 5.3 найти ПФ, связывающую любой выход с любым входом, и представить ее в виде отношения двух многочленов – числителя и знаменателя. Знаменатель, приравненный к нулю, и будет характеристическим уравнением.

Покажем это на примере уравнений динамики реактора (см. рис.

Тв1 = 0, а также для наглядности опустим остальные выходы (рис. 5.16, а). Оба эффекта реактивности (по топливу и воде) будем считать отрицательными.

и αв < 0 (а) и ее эквивалентное преобразование (б)

260