Гурбич А.Ф. Лабораторный практикум по курсу «Общая физика», раздел «Электричество и магнетизм»

где имеющее размерность времени произведение RC, обозначенное буквой τ, называют временем релаксации. Из (3.10) видно, что τ есть промежуток времени, в течение которого заряд конденсатора уменьшается в e раз. Поскольку напряжение на конденсаторе пропорционально заряду, то его зависимость от времени будет аналогичной:

где U0 = q0/C – начальное напряжение на конденсаторе. Закон изменения тока найдем, подставляя (3.10) в (3.4):

Применяя закон Ома для неоднородного участка цепи, запишем

Учитывая, что поле в конденсаторе направлено от обкладки 2 к обкладке 1, для разности потенциалов между точками 1 и 2 получим

Тогда с учетом (3.13) и (3.15) соотношение (3.14) можно переписать, как

21

Введя обозначение ε – q/C = u и разделяя переменные, получим

где τ = RC – время релаксации.

Для определения константы заметим, что при t = 0 конденсатор не заряжен, т.е. q(0) = 0. Тогда const = ε. Окончательно для зависимости заряда на конденсаторе от времени получим

где qm = εC – предельное значение заряда на конденсаторе при t ∞.

Поскольку U = q/C, напряжение на конденсаторе при зарядке будет возрастать по тому же закону:

асимптотически приближаясь к ε, а ток со временем согласно (13) и (21) будет экспоненциально убывать:

22

наблюдаемых при помощи осциллографа, в лабораторной работе определяется время релаксации τ. При известных параметрах цепи (R и C) оно может быть получено и расчетным путем.

Рис. 3.3

Оборудование и методика

Принципиальная схема используемой в работе установки приведена на рис. 3.4. Для зарядки и разрядки конденсатора используется периодический импульсный сигнал прямоугольной формы. Конденсатор заряжается в течение длительности импульса и разряжается через выходную цепь генератора в промежутках между импульсами. Для того чтобы конденса-

тор успевал практически полностью зарядиться до амплитудного значения импульса U0, длительность импульса tимп должна быть намного больше времени релаксации τ, а для обеспечения почти полной разрядки временной интервал между импульсами (T – tимп, где T – период) должен существенно превышать τ. Сказанное проиллюстрировано на рис. 3.5, где показано изменение напряжения на конденсаторе при различных соотношениях между τ и tимп.

Для наблюдения одновременно входного сигнала прямоугольной формы и напряжения на конденсаторе в работе используется двухканальный осциллограф HM400 (см. приложение в конце по-

23

собия с описанием принципов работы и органов управления осциллографом). Сигнал прямоугольной формы (Y1 на рис. 3.4) подается на один из каналов, а напряжение на конденсаторе (Y2)– на другой. В результате на экране осциллографа наблюдается картинка, подобная показанной на рис. 3.5. Структурная схема установки приведена на рис. 3.6.

Рис. 3.6

Прямоугольные импульсы для зарядки конденсатора подаются с преобразователя ФПЭ-09, который формирует их из сигнала синусоидальной формы, поступающего на вход преобразователя от генератора ГЗ-106. Питание преобразователя осуществляется от внешнего источника. В конструкции преобразователя предусмотрена возможность грубой (клавишами) и точной (ручкой) регулировки скважности1) импульсов. Требуемые значения сопротивления и емкости устанавливаются в схеме при помощи соответствующих магазинов.

Порядок выполнения работы

Подготовительные операции.

1.Собрать схему согласно рис. 3.6.

1)Скважностью называется отношение периода следования импульсов к их длительности.

24

2.Включить в сеть генератор, осциллограф и блок питания преобразователя импульсов.

3.Установить генератор в режим синусоидальных колебаний с частотой 100 Гц и амплитудой около 1 В.

4.Нажатием клавиши «_|–|_» перевести преобразователь импульсов в режим генерации сигналов прямоугольной формы.

5.Выбрать на осциллографе режим Dual и добиться устойчивого изображения на экране прямоугольного сигнала, поступающего по первому каналу (CHI).

6.Наблюдая прямоугольный сигнал, установить его скважность ручками «Грубо» и «Плавно» преобразователя импульсов таким образом, чтобы длительность импульса (см. рис. 3.5) была максимальной.

7.Установить в схеме сопротивление 20 кОм и емкость 1 нФ.

8.Перемещая по вертикали изображения сигналов поступающих по каналам CHI и CHII, получить на экране осциллографа кар-

тинку, подобную показанной на рис. 3.5 для τ << tимп.

Упражнение 1. Определение времени релаксации из кривой разрядки конденсатора.

1.Перемещая по вертикали и горизонтали изображения сигналов, поступающих по каналам CHI и CHII и подбирая длительность развертки и величину усиления в каналах, получить на экране осциллографа картинку, подобную показанной на рис. 3.7, a.

2.Определить амплитуду напряжения U0 в делениях шкалы и вычислить значение U0/e.

Рис. 3.7

25

3.Сместить сигналы по оси времени так, чтобы кривая разрядки

конденсатора пересекала ось ординат при напряжении U0/e (рис. 3.7, б).

4.Определить время релаксации в делениях шкалы и перевести его в секунды.

5.Оценить погрешность полученного значения времени релаксации. Принять погрешность преобразования для шкалы времени равной 3 %, а погрешность измерения для шкал времени и амплитуд определить в половину деления шкалы.

6.Определить время релаксации по формуле τ = RC. Принять погрешности R и C равными 10 % и определить погрешность рас-

четного значения τ. Сравнить экспериментально полученное значение τ с величиной, полученной путем расчета.

7. Повторить упражнение для R = 10 кОм, C = 3 нФ и R = 30 кОм, C = 2 нФ.

Упражнение 2. Определение времени релаксации из кривой зарядки конденсатора.

1.Установить в схеме R = 20 кОм и C = 1 нФ. Перемещая по вертикали и горизонтали изображения сигналов, поступающих по каналам CHI и CHII и подбирая длительность развертки и величину усиления в каналах, получить на экране осциллографа картинку, подобную показанной на рис. 3.8, a.

2.Определить амплитуду напряжения U0 в делениях шкалы и вычислить значение U0/e.

Рис. 3.8

26

3.Сместить сигналы по оси времени так, чтобы кривая зарядки конденсатора пересекала вертикальную ось при напряжении U0 –

U0/e (рис. 3.8, б).

4.Определить время релаксации в делениях шкалы и перевести его в секунды.

5.Оценить погрешность измерений и сравнить полученный результат с расчетным, следуя пп. 5–6 упражнения 1.

6.Повторить упражнение для R = 10 кОм, C = 3 нФ и R = 30 кОм, C = 2 нФ.

Контрольные вопросы

1.Что такое емкость? В каких единицах она измеряется в системе СИ?

2.Получите и решите уравнения, описывающие изменение напряжения на конденсаторе при его зарядке и разрядке.

3.Что такое время релаксации?

27

Работа № 4

ИЗУЧЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА

Рассмотрим конденсатор, состоящий из двух одинаковых плоскопараллельных проводящих пластин достаточно больших размеров по сравнению с зазором между ними. Заземлим одну из пластин и сообщим другой пластине некоторый заряд q. Тогда на обращенной к зазору поверхности соседней пластины возникнет индуцированный заряд такой же величины, но противоположного знака. Зарядом конденсатора называется абсолютная величина равных по величине и противоположных по знаку зарядов каждой из пластин (обкладок) конденсатора.

Поле такого конденсатора сосредоточено между его обкладками и практически не зависит от расположения окружающих конденсатор внешних тел. Вектор напряженности поля E0 внутри конденсатора направлен от пластины, заряженной положительно, к пластине, несущей отрицательный заряд, а его модуль легко находится при помощи теоремы Гаусса:

где σ = q/S – поверхностная плотность заряда (здесь S – площадь поверхности каждой из пластин, обращенной к другой пластине).

Под емкостью C конденсатора понимают отношение заряда конденсатора q к разности потенциалов ϕ1 – ϕ2 его обкладок:

Потенциал однородного поля (а поле между пластинами практически однородно) убывает линейно вдоль направления вектора E0. Тогда разность потенциалов

где d – зазор между пластинами конденсатора. Следовательно, из (4.1)–(4.3) получается, что емкость плоского конденсатора

28

До сих пор молчаливо предполагалось, что между обкладками конденсатора – вакуум. Теперь предположим, что пространство между обкладками заполнено однородным и изотропным диэлектриком. Тогда на поверхности диэлектрика, прилегающей к пластине с положительным зарядом, появится индуцированный связанный отрицательный заряд, а на противоположной поверхности диэлектрика – индуцированный связанный положительный заряд. Этот связанный заряд σ' является источником электрического поля с напряженностью

причем σ' = Pn, где Pn – нормальная составляющая вектора поляризованности.

В результате в силу принципа суперпозиции поле внутри диэлектрика окажется векторной суммой полей, создаваемых сторонним зарядом, находящимся на обкладках конденсатора, и поверх-

причем векторы E0 и E′ коллинеарны и направлены навстречу друг другу. Поэтому модуль вектора напряженности будет равен

Так как диэлектрик предполагается однородным и изотропным, то поляризованность диэлектрика пропорциональна напряженности поля:

(4.8)

Поскольку диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями поля сторонних зарядов,

то вектор EG на границе между проводящей обкладкой конденсатора и прилегающим к ней диэлектриком перпендикулярен границе, т.е.

(4.9)

Тогда с учетом того, что σ' = Pn, из (4.7)–(4.9) получается

29

где ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Поскольку при том же заряде напряженность поля в конденсаторе с диэлектриком уменьшилась в ε раз, то во столько же раз уменьшится и разность потенциалов между его обкладками. В ре-

где S и S' – полная площадь поверхности обкладки и площадь, перекрытая диэлектриком, соответственно.

Для целей настоящей работы представим выражение (4.13) следующим образом:

Для сравнения результатов экспериментов с теорией к правой части соотношений (4.12) и (4.14) следует добавить так называемую паразитную емкость Cп, обусловленную нестрогостью предположения о том, что окружающие тела не влияют на поле между пластинами и тем, что подводящие провода и входные цепи измерительного прибора также обладают некоторой емкостью. Таким образом, для реального плоского конденсатора с диэлектриком из-

а для конденсатора с диэлектриком, перекрывающим только часть зазора между пластинами

30