Здоровцева Г.Г. Контролируемая самостоятельная работа студентов по курсу «Общая физика». Тема «Механика точки»

Убеждаемся в том, что размерности полученных результатов правильные: T имеет размерность силы, ax – размерность ускорения.

Полученные для a1x и a2x выражения дают возможность ответить и на вопрос: какой из грузов будет из состояния покоя опускаться, а какой подниматься?

Так как ось x направлена вниз, то тот груз, для которого проекция ускорения окажется положительной, будет опускаться. Так, m1 из состояния покоя пойдет вниз, если 2m1 > m2, выражение для a2x подтверждает тот очевидный факт, что m2 при указанном соотношении масс должен подниматься (a2x < 0) .

Задача решена.

Задача 2.7. На горизонтальной плоскости лежит клин массы M. На грань клина с углом α при вершине кладут кубик массы m. Все поверхности соприкасающихся тел гладкие. Найти ускорения обоих тел и силы, с которой кубик давит на клин и клин на плоскость.

Решение. Эта задача несколько сложнее предыдущей, так как движение кубика двумерное и уравнение связи между ускорениями кубика и клина установить будет не так просто, как в тех задачах, где тела буквально связаны одной нитью.

Будем придерживаться рекомендаций, которые даны во введе-

ция со стороны гладкой плоскости R . Заметим, что с такой же по модулю силой клин давит на плоскость (III закон Ньютона).

31

Запишем для каждого тела II закон Ньютона ma1 = mg + N1 ,

Ma2 = Mg + N2 + R .

Введем систему координат x0y. Принципиально, что оси координат должны быть жестко связаны с неподвижной плоскостью (законы Ньютона имеют силу только в инерциальной системе отсчета).

Перейдем от векторной записи уравнений к скалярной, спроектировав их почленно на оси координат.

В проекциях на ось x

a2 y = 0, так как клин остается на плоскости.

Полученные четыре уравнения содержат шесть неизвестных величин a1x, a2x , N1, N2, a1y, R2.

Систему уравнений (1)–(4) необходимо дополнить еще двумя. Используя III закон Ньютона, получаем

N1 = N2 = N. (5) Последнее недостающее уравнение получим, используя геометрическую связь между координатами движущихся тел. Действительно, как бы ни скользил кубик по клину, а клин по плоскости, как бы ни менялись их координаты, угол α остается неизменным. Вот мы и выразим tgα через координаты точки A, взятой в уголке кубика и координату x точки B, взятой на острие клина (рис. 2.9):

или

yA = (xA − xB )tgα .

32

скольку тела движутся поступательно, то любая точка кубика имеет такое же ускорение, как и точка A, а все точки клина, такое как точка B. Заменяя индексы A и В на 1 и 2 соответственно, получаем уравнение связи между ускорениями

которое и замыкает систему.

Мы получили систему из шести уравнений с шестью неизвестными. Решаем ее в следующей последовательности математических действий:

1) подставим в (6) проекции ускорений, выраженные из (1), (2), (3), учтя при этом (5):

В этом уравнении одно неизвестное N. Находим его:

Найдена сила, с которой кубик давит на клин.

Силу, с которой клин давит на плоскость, находим из уравнения (4), подставив в него (7):

Осталось получить проекции ускорений. Для этого подставим

(7) в (1), (2), (3). Находим

33

Результаты выглядят довольно громоздко. Проведем их анализ. Прежде всего, убеждаемся, что (7) и (8) действительно имеют

размерность силы, а (9), (10), (11) – размерность ускорения.

Знаки проекций уравнений говорят о том, что кубик скользит вниз и влево (a1x < 0, a1y < 0), а клин «уходит» из-под кубика вправо (a2x > 0).

Полезно так же проследить, какой результат дадут полученные формулы, если взять очень массивный клин и очень легкий кубик (m << M). Для этого в формуле (7) разделим числитель и знамена-

тель на M и учтем, что m << 1. Получим

M

Для проекций ускорений в этом допущении

Клин будет оставаться неподвижным. Проекции ускорения кубика:

Ответы такие же, как в задаче о скольжении тела по гладкому неподвижному клину.

Задача решена.

Задача 2.8. Шарик радиуса r висит на нити длиной l и касается вертикального цилиндра радиуса R (R >> r). При какой угловой скорости вращения ω этой системы («центробежной машины») шарик перестанет давить на стенку цилиндра.

34

Решение. Типичный пример задачи, где надо связать силу (давление на стенку) с кинематическим параметром ω. Поэтому использовать для решения будем II закон Ньютона. Особенность задачи в том, что задана траектория движения тела – окружность. Поэтому при переходе от векторной формы записи основного уравнения динамики к скалярной целесообразно использовать орты

естественного трехгранника (τ,n,b).

Делаем чертеж (рис. 2.10). Наносим силы, действующие на шар – силу тяжести mg ,

натяжение нити T и силу реакции N , с которой цилиндр отвечает на давление шарика.

Записываем II закон Ньютона:

Эти два уравнения содержат четыре неизвестных величины: ω, T, m, и N. Систему полученных уравнений надо дополнить.

В момент отрыва шарик перестает давить на цилиндр, исчезает

Замыкаем систему уравнением связи. Как видно из рис. 2.10, до самого момента отрыва шарика от стенки цилиндра выполняется условие

Четыре уравнения (2)–(5) содержат четыре неизвестные величины. Можно решать.

Здесь удобно переписать (2) и (3) с учетом (4) в виде

35

Таким образом, сразу исключим массу шарика, которая не задана в условии, и натяжение нити, которое находить не требуется.

Отсюда квадрат искомой угловой скорости

Тангенс угла α в (7) исключаем через отношение для прямоугольного треугольника (см. рис. 2.10) катета противолежащего углу α к катету прилежащему:

Подставляя (8) в (7), получаем окончательный ответ

Задача решена.

36

3. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Если события происходят в неинерциальных системах отсчета, то пользоваться II законом Ньютона для непосредственного описания движения тела под действием приложенных к нему сил нельзя. Однако можно сохранить логику решения двух основных задач динамики и в системах отсчета, которые движутся относительно инерциальной системы отсчета с некоторым ускорением, если пользоваться основным уравнением динамики относительного движения

i

В правую часть этого уравнения, кроме сил, которые обусловлены взаимодействием рассматриваемого тела массы m с другими

телами ( Fi ), вводятся еще и силы инерции ( Fин ). Силы инерции определяются ускорением неинерциальной системы и скоростью тела m относительно этой системы. Уравнение (3.1) позволяет определить непосредственно ускорение тела в неинерциальной системе отсчета (относительное ускорение), а затем и все остальные кинематические характеристики тела в движущейся с ускорением системе отсчета.

Приступая к решению задач необходимо:

Проработать теоретический материал по теме «Неинерциальные системы отсчета» по учебным пособиям из списка рекомендуемой литературы.

Ответить на следующие вопросы:

1.Что называется абсолютным, относительным, переносным ускорением точки? Какова связь между ними? Что такое кориолисово (поворотное) ускорение?

2.Что такое силы инерции? В чем их отличие от сил, входящих

ввыражение II Закона Ньютона? В чем их функциональное сходство с ними?

3.Как выражается сила инерции в системе, движущейся посту-

пательно с ускорением a0 относительно инерциальной системы?

37

4. Как выражаются силы инерции в системе, вращающейся с

постоянной угловой скоростью ω относительно инерциальной системы. Выделите случаи, когда тело во вращающейся системе покоится и когда тело движется относительно нее.

5. Как можно определить кинематические характеристики относительного движения (скорость, уравнение движения, траекторию в движущейся системе отсчета), не прибегая к уравнению (3.1), а пользуясь II Законом Ньютона и соотношением между абсолютным, относительным и переносным ускорениями?

Поскольку по форме и функциональной роли уравнение (3.1) аналогично II Закону Ньютона, то, решая задачи с его применением, следует придерживаться тех же практических рекомендаций, которые были даны в разделе 2.

Примеры решения задач

Задача 3.1. Вагон движется прямолинейно с постоянным ускорением a . Определить траекторию свободно падающего тела в системе координат, связанной с вагоном, если начальная относительная скорость тела равна нулю. Найти также относительное горизонтальное перемещение тела за время его падения, если начальное расстояние тела от пола вагона равно h.

Решение. Предложена типичная задача динамики точки: задана сила (здесь – сила тяжести) и начальные условия, требуется найти некоторые кинематические характеристики движения (траекторию, перемещение). Новизна задачи состоит в том, что описать движение предлагается в неинерциальной системе отсчета. Так как неинерциальная система движется поступательно, то выражение для силы инерции имеет вид

fин = −ma ,

где a – переносное ускорение, равное в этой задаче ускорению вагона относительно полотна дороги.

Сделаем чертеж (рис. 3.1). Укажем ускорение вагона относительно Земли – a . Скрепим с вагоном оси x′ и y′, взяв за начало координат точку O на полу вагона под начальным положением тела m.

38

Укажем на чертеже силы. На тело со стороны Земли действуют сила тяжести mg . Наносим на чертеж также силу инерции

Запишем уравнение динамики относительного движения для точки m:

C3 = 0, так как тело начало падать из состояния покоя (v′y (0) = 0 ).

С4 = h, так как в начальный момент времени t = 0 тело находилось на высоте h от пола вагона (y′(0) = h), поэтому

Исключим время из законов движения (4) и (5). Для этого из

(4) выразим t2 :

t2 = 2x′ a

39

и подставим в (5):

Уравнение траектории (6) найдено – это прямая с начальными координатами x′ = 0, y′ = h и углом наклона к горизонтали α′ (см. рис. 3.1):

tgα′ = dy′ = − g . dx′ a

Относительное горизонтальное перемещение – это координата x′ в момент падения тела на пол. Этот момент времени находим из (5), полагая y′ = 0:

Подставляем (8) в (4) находим горизонтальное смещение относительно системы отсчета связанной с вагоном:

xmax′ = h a . g

Задача решена.

Задача 3.2. Гладкий прямоугольный клин с углом α при основании движется прямолинейно поступательно по горизонтальной плоскости с постоянным ускорением a . На клин кладут небольшую гладкую шайбу, которая начинает скользить по клину. Полагая, что скорость шайбы в момент начала отсчета времени равна нулю, найти абсолютную траекторию шайбы и силу реакции клина на шайбу.

Решение. Задача того же типа, что и предыдущая – необходимо увязать силы, действующие на тело (небольшую шайбу) с параметрами, описывающими движение тела. Новизна в том, что начинать решение целесообразно в системе отсчета, связанной с клином (неинерциальной), а для нахождения абсолютной траектории придется переходить в неподвижную систему, связанную со столом.

Сделаем чертеж (рис. 3.2). Нанесём на него силы, действующие на шайбу – это сила тяжести mg , обусловленная взаимодействием

шайбы с Землей, и сила нормальной реакции гладкого клина на

шайбу N . Для описания движения шайбы в системе отсчета, свя-

40