Здоровцева Г.Г. Контролируемая самостоятельная работа студентов по курсу «Общая физика». Тема «Механика точки»

Ньютона, что позволит записать соотношение между силами, приложенными к взаимодействующим телам. Следует так же учесть связи, ограничивающие возможные перемещения тел (определенная длина веревки, связывающей тела; постоянный угол наклона плоскости, по которой тела скользят и т.п.), и выразить эти связи в виде уравнений, устанавливающих соотношение между проекциями ускорений различных тел.

5. Решить систему уравнений.

Ответы получить в буквенном виде. Проверить размерность полученных результатов. Подставить численные данные задачи, выразив их предварительно в единой системе единиц; произвести вычисления с разумной точностью.

6. Провести анализ результатов.

Рассмотреть, как полученный в общем виде результат будет зависеть от соотношения данных задачи (массы тел, значения коэффициента трения, геометрических параметров, данных в условии), возможно, исследовать поведение найденной величины при различных предельных условиях. Если есть численный ответ, то его достоверность тоже следует осмыслить.

Примеры решения задач

Задача 2.1. В момент t = 0 частица массы m начинает двигаться под действием силы F = F0 cosωt , где F0 и ω – постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути? В какой момент времени она будет максимальной?

Решение. Предложен типичный пример задачи, где по заданной силе надо найти кинематические характеристики движения. Запишем основное уравнение динамики точки (II закон Ньютона):

21

Найдем проекцию скорости, решив уравнение (2)

dvx = (F0 cosωt)dt m

Постоянную интегрирования находим из условия, что точка в начальный момент покоилась.

Подставляя t = 0 и vx = 0 в (3), получаем сonst = 0. Окончательное выражение для скорости

Можем ответить на первый вопрос задачи: скорость точки будет равна 0 каждый раз, когда sin ωt = 0 . Первый раз точка остановится, когда ωt = π, т.е. в момент времени

Именно столько времени частица будет двигаться до первой остановки.

Найдем путь, который пройдет частица за это время. Поскольку до первой остановки направление движения точки не меняется (sin ωt > 0 , vx > 0), то путь растет так же, как и координата.

Получим зависимость x(t):

В начальный момент (t = 0) частица находится в начале коорди-

нат (x = 0). Подставляя в (6) t = 0 и x = 0, получаем const = F0 . mω2

Уравнение движения принимает вид

22

На рис. 2.2 приводится соответствующий график x = x(t) .

Рис. 2.2

За время до первой остановки частица пройдет путь

Максимальная скорость частицы на этом пути, как следует из (4), составит

F

(vx )макс = ω0 . (9)

m

Это значение скорости будет когда ωt = π , т.е. в момент

2

t = π .

2ω

Задача решена.

Задача 2.2. Найти силу, действующую на частицу массы m, если частица под действием этой силы движется в плоскости (x; y) по закону x = Asin ωt , y = B cosωt , где A, B и ω – постоянные.

Решение. Заметьте, что задача по своей постановке обратная той, что уже рассмотрена. Здесь заданы уравнения движения, надо найти силу.

Запишем II закон Ньютона.

Перейдем от векторной записи к скалярной, спроектировав обе части уравнения (1) на оси координат x и y:

x: max = Fx ,

23

y: may = Fy .

Проекции ускорения найдем из соответствующих уравнений движения:

Упростим полученное выражение, учитывая, что Asin ωt = x ,

где r – радиус-вектор частицы.

В задаче 1.5 мы убедились, что заданные уравнения движения соответствуют движению точки по эллипсу. Теперь мы можем заключить, что для такого движения необходимо, чтобы на частицу все время (в любой точке траекто-

Рис. 2.3

рии) действовала сила, направленная к точке О – «центральная» сила (рис. 2.3).

Задача решена.

Задача 2.3. Небольшое тело массы m брошено с башни высотой h с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти закон движения тела.

Решение. Задача относится к тому же типу, что и рассмотренная ранее задача 2.1: задана сила и начальные условия, найти кинематическое уравнение движения. Она несколько усложнена тем, что движение тела двумерное, происходит в плоскости, а не по прямой.

Востальном порядок решения тот же. Записываем основное уравнение динамики

24

где P – сила тяжести (рис. 2.4). Перейдем к скалярной записи урав-

нения (1). Задачу целесообразно решать в декартовой системе координат, поместив начало координат О у основания башни.

Запишем (1) в проекциях на оси ко-

Рис. 2.4

ординат

Решаем дифференциальное уравнение (2) с учетом начальных

dx = v0 cosα, x = (v0 cosα)t + const , dt

так как при t = 0 тело имело координату x = 0, то const = 0. Уравнение движения по оси x имеет вид

Используем начальное условие (5) для определения константы: v0 sinα = 0 + const . (9)

Окончательно, проекция скорости на ось y для любого момента времени определяется выражением

25

Используем для определения константы начальное условие (7) для координаты y: h = 0 + 0 + const.

Уравнение движения по оси y примет вид

Задача решена.

Замечание. В разделе «Кинематика» (см. задачу 1.7) мы убедились в том, что зная кинематические уравнения движения, можно найти любую кинематическую характеристику точки. Сами же эти уравнения являются решениями дифференциальных уравнений движения.

Резюме. Если известны силы, действующие на материальную точку, заданы начальные условия, то движение точки может быть полностью определено.

Задача 2.4. Лодке массой m сообщена начальная скорость v0 . При своем движении лодка испытывает сопротивление воды Fc = fv2 , где f – постоянный коэффициент. Через какой промежуток времени скорость лодки станет вдвое меньше начальной? Какой путь пройдет лодка за это время?

Решение. Предлагается еще одна задача того же типа – задана сила, определить некоторые кинематические величины. Новизна и сложность задачи только в том, что сила не является постоянной величиной, а зависит от скорости тела. Это типичный и достаточно распространенный случай движения тела в среде, когда сопротивлением среды пренебрегать нельзя.

Так как лодка движется поступательно, её движение можно описывать основным уравнением динамики точки:

Движение лодки – одномерное, происходит вдоль прямой. Направим ось x вдоль направления век-

тора начальной скорости v0 (рис. 2.5). Спроектируем (1) на это направление:

Рис. 2.5

26

Найдем зависимость скорости от времени, решая дифференциальное уравнение (2):

Постоянную определим, используя заданное начальное условие:

вмомент начала торможения (t = 0) скорость была v0, тогда

−1 = 0 + const .

чим, что скорость лодки уменьшится в два раза к моменту времени

Запишем формулу для вычисления пути при неравномерном движении точки и подставим в нее модуль скорости (3):

Выполним интегрирование правой части уравнения (5), исполь-

ную х, т.е. сведем интеграл к «табличному» − ∫dxx = ln x и вычислим его в указанных пределах. Получим

27

Задача решена.

Задача 2.5. Частица массы m описывает криволинейную траекторию. В некоторый момент частица находится в точке M на траектории и имеет скорость v . Действующая на частицу сила в этот

Решение. Задача того же типа, что и предыдущая – задана сила,

В выражение проекции ускорения на нормаль (нормальное ускорение) входит искомый радиус кривизны. Из (2) получаем

В следующей группе задач будет рассматриваться движение не одного тела, а системы двух – трех тел, перемещения которых в пространстве взаимосвязаны.

Для решения этих задач помимо применения к каждому телу II закона Ньютона является необходимым составлять уравнения, связывающие между собой ускорения тел, включенных в систему.

28

Задача 2.6. Найти ускорения грузов m1 и m2 и натяжения нитей в системе, изображенной на рис. 2.7, массой нитей и массой как подвижного, так и неподвижного блоков пренебречь.

Решение. Нанесем на рисунок силы, действующие на каждое тело системы.

На тело m1 действует сила тяжести P1 и

натяжение нити T1 .

На тело m2 – сила тяжести P2 и натяжение

T2 .

На неподвижный невесомый блок – T3 , T4

и T8 , на подвижный невесомый блок силы

натяжения нитей T5 , T6 , T7 .

Поскольку все силы действуют по вертикали, то запишем II закон Ньютона для каждого тела сразу в проекциях на ось x

каждого груза получим в результате решения системы уравнений. Составим уравнение связи между ускорениями a1x и a2x исходя

из того, что длина нити l, охватывающей оба блока, остается постоянной при любых перемещениях грузов.

Выразим длину l как сумму длин отдельных кусочков нити (см. рис. 2.7):

l = (x1 − x0 ) + πr + (x2 − x0 − l0 ) + πr + (x2 − l0 ) . Продифференцируем это выражение дважды по времени. Про-

изводные по времени от всех постоянных величин (l, x0, πr, l0) будут равны нулю, а вторые производные координат по времени – это проекции на ось x соответствующих ускорений.

Получим уравнение связи

29

Полученные три уравнения (1), (2), (3) содержат четыре неизвестных (а1х, а2х, Т1, Т2), следовательно, решать рано, надо получить еще оно уравнение, чтобы замкнуть систему уравнений. Это можно сделать, используя допущения о пренебрежимо малой массе блоков

инитей, III закон Ньютона, теорему о движении центра масс:

−в виду малой массы блоков (что следует из уравнений вращения, с которыми познакомимся позже)

−результат применения теоремы о движении центра масс к невесомому подвижному блоку

На будущее полезно запомнить, что в устройствах подобного типа, если массой блоков и массой нитей можно пренебрегать, натяжение по всей длине нити можно считать постоянным, что и отражено уравнением (7).

Мы получили четыре уравнения для определения четырех неизвестных. Можно приступать к решению системы. Ход решения может быть различным. Например, можно выразить из (1) – а1х, из

(2) – а2х и подставить их в (3):

После подстановки в (3′) соотношение (7) получим уравнение с одним неизвестным T1:

Подставляя Т1 в (1), а Т2 в (2) находим искомые проекции ускорений:

30