3-й семестр / Лекции / 13 - презентация
.pdf1 |
|
= − |
1 |
|
|
|
1 |
|
= − |
1 |
(1 + |
|
+ |
2 |
+ ) = − ∑∞=0 |
|
, | | < 3. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+1 |
|||||||||||||||||||||
−3 |
|
3 |
1− |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
1 1 |
|
|
= |
1 |
(1 − |
2 |
+ |
22 |
− ) = ∑∞=0(−1) |
2 |
, | | > 2. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+2 |
1+ |
2 |
|
|
|
2 |
+1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
( ) |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
∑∞ |
|
1 ∑∞ |
2 |
|||||||
|
= |
|
|
= |
|
( |
|
|
− |
|
) = − |
|
|
=0 |
|
− |
|
|
=0(−1) |
|
|
|
. |
2 |
− −6 |
5 |
−3 |
+2 |
5 |
+1 |
5 |
|
|
+1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
Выделим в полученном ряду главную и правильную части:
− |
1 |
∑∞=0 |
|
- правильная часть, − |
1 |
∑∞=0(−1) |
|
2 |
– главная часть. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
+1 |
5 |
|
+1 |
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
в) | | > 3.
1 |
|
= |
1 1 |
|
= |
1 |
(1 + |
3 |
+ |
32 |
− ) = ∑=0∞ |
|
3 |
, | | > 3. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
−3 |
1− |
3 |
|
|
2 |
|
+1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
1 1 |
|
= |
1 |
(1 − |
2 |
+ |
22 |
− ) = ∑=0∞ |
(−1) |
2 |
, | | > 2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+2 |
1+ |
2 |
|
|
2 |
+1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
∞ 3 |
|
1 |
∞ |
2 |
||||||
( ) = |
|
= |
|
( |
|
− |
|
) = |
|
|
∑ =0 |
|
− |
|
|
∑ =0(−1) |
|
|
= |
2− −6 |
5 |
−3 |
+2 |
5 |
+1 |
5 |
+1 |
||||||||||||
= 15 ∑∞=0 3 −(−1) ∙2 .
В полученном ряду нет правильной части.
Дополнительные примеры
1.Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки 0 = 0, выделить правильную и главную части ряда, указать область его сходимости:
1)( ) = ,
2)( ) = 2 ,
3)( ) = 4 1 .
2.Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки 0, выделить правильную и главную части ряда, указать область его сходимости:
|
( |
) |
= |
|
|
|
0 = −1, |
|
1) |
( +1)2, |
|||||||
|
|
|||||||
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
= |
−2 |
, |
|
0 = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) ( ) = 21+1 , 0 = .
Решения.
1. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки 0 = 0, выделить правильную и главную части ряда, указать область его сходимости:
1). ( ) = |
|
= |
1 |
( − |
3 |
+ |
5 |
− |
7 |
+ ) = |
1 |
∑=0∞ |
(−1) |
2 +1 |
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3! |
5! |
7! |
|
|
(2 +1)! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= ∑=0∞ |
(−1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
, ряд состоит из правильной части, область его |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(2 +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сходимости: 0 < | | = ∞.
2). ( ) = |
2 |
= |
1 |
∙ |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
||||
∙ (1 − 2 ) =
|
1 |
|
1 |
|
|
|
(2 )2 |
|
(2 )2 |
|
|
|
||||||
= |
|
∙ |
|
|
|
∙ (1 − (1 − |
|
+. . . +(−1) |
|
|
+. . . )) = |
|
|
|
||||
2 |
|
|
2! |
(2 )! |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
(2 )2 |
|
(2 )2 |
|
|
|
∞ |
22 −1 2 −1 |
||||||
= |
|
∙ |
|
|
|
∙ ( |
|
−. . . +(−1) |
|
+ ) = ∑ =1(−1) |
|
|
, |
|||||
2 |
|
|
|
(2 )! |
|
|||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 )! |
||||||
ряд состоит из правильной части, область его сходимости:
0 < | | = ∞.
( ) |
4 |
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
∙ (1 − 22! + 44! − 66! + 88! |
. . . ) = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
3). |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= 4 − |
2 |
+ |
1 |
− |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
48! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2! 4! 26! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Правильная часть: 4 − |
|
2 |
+ |
1 |
, главная часть: − |
1 |
|
+ |
1 |
|
− − |
||||||||||||||||||||
2! |
|
|
26! |
48! |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
бесконечна.
Область сходимости ряда: 0 < | | = ∞.
2. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки 0, выделить правильную и главную части ряда, указать область его сходимости:
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ( +1)2, |
0 = −1. |
|
|
||||||||||||||
1). |
|
|
|||||||||||||||
Замена: + 1 = , |
= − 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
−1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||
|
= |
|
|
|
= |
|
− |
|
= |
|
|
− |
|
, ряд состоит из главной части, |
|||
( +1)2 |
|
2 |
|
2 |
+1 |
( +1)2 |
|||||||||||
область сходимости: 0 < |
| |
+ 1 < +∞. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
||
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||
2). |
|
= |
−2 |
, |
|
|
|
0 = 2. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замена: − 2 = , |
= + 2 |
||||||||||
|
sin( +2) |
|
|
1 |
∙ ( ∙ 2 + ∙ 2) = |
||||||
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|||
−2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
∙ 2 ∙ ( − |
|
|
+ |
|
− ) + |
|
|
∙ 2 ∙ (1 − |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
−. . . ) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3! |
|
5! |
|
|
2! |
|
4! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 2 ∙ (1 − |
|
+ |
|
|
− ) + 2 ∙ ( |
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
−. . . ) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3! |
5! |
|
2! |
4! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||
= 2 ∙ |
|
|
|
+ 2 − 2 ∙ |
|
|
− 2 ∙ |
|
|
|
|
+ 2 ∙ |
|
|
|
+ 2 ∙ |
|
|
|
|
+ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2! |
3! |
4! |
5! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( −2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( −2)3 |
||||||||||||||
= 2 ∙ |
|
|
|
|
|
+ 2 − 2 ∙ |
|
|
|
− 2 ∙ |
|
|
|
|
|
|
+ 2 ∙ |
|
|
|
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
−2 |
2! |
|
3! |
|
|
|
4! |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 ∙ |
( −2)4 |
+ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( −2)2 |
|
|
|
|
|
( −2)3 |
||||||||||||
Правильная часть: 2 − 2 ∙ |
|
|
− 2 ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ∙ |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
4! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 ∙ |
( −2)4 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Главная часть: 2 ∙ −12.
Область сходимости: 0 < | − 2| < +∞.
|
|
|
( |
|
) |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2+1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= − |
|
∙ |
|
|
|
+ |
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2+1 |
|
− |
+ |
2 |
− |
2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+ |
|
|
+ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
2 = 1 |
|
= |
1 |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= − |
|
|
−2 = 1 = − |
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Замена: − = , |
|
= + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
= − |
|
|
|
∙ |
1 |
|
+ |
|
|
∙ |
|
|
1 |
= − |
|
|
∙ |
1 |
+ |
|
∙ |
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 (1+ |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
∞ |
( − ) |
|||||||||||||||||||||||||
= − |
|
|
∙ |
|
|
+ |
|
|
|
∙ |
∑=0(−1) |
|
|
= − |
|
|
∙ |
|
|
|
+ |
|
|
∙ ∑=0(−1) |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
4 |
(2) |
2 |
|
− |
4 |
(2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
( − ) |
|||||
Правильная часть: |
|
|
|
∙ ∑=0(−1) |
|
|
|
||||||
4 |
|
(2) |
|||||||||||
Главная часть: − |
|
|
∙ |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
− |
|
|
|
|
||||||
Область сходимости: | |
|
| < 1 |
0 < | − | < 2 . |
||||||||||
2 |
|||||||||||||
3.Разложить в ряд Лорана в окрестности ее особой точки функцию ( ) = −1. Найти область сходимости.
Функция ( ) имеет единственную особую точку = 1, следовательно, ее надо разложить по степеням − 1.
Замена − 1 = , |
= + 1. |
( ) = ( + 1) + .