3-й семестр / Лекции / 12 - презентация

4. Ряды с комплексными членами. Ряды Тейлора и Лорана

Определение 2. Числовой ряд с комплексными членами называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е. lim→∞ = . Число называется суммой ряда.

Числовой ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм равен бесконечности или не существует.

Исследование ряда с комплексными членами сводится к исследованию двух вещественных рядов на основании следующего

утверждения.

соответственно к суммам и .

Определение 3. Ряд с комплексными членами называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей

∑∞=1| | = ∑∞=1| + | = ∑∞=1 √ 2 + 2.

Теорема 1. Если сходится ряд из модулей членов данного ряда, то сходится и сам ряд с комплексными членами.

4.2. Ряд Тейлора. Коэффициенты ряда. Разложение функции, аналитической в круге, в степенной ряд

Пусть дана последовательность функций комплексной переменной

1( ), 2( ), … , ( ), …, определенных на некотором множестве комплексной плоскости: .

называется функциональным рядом с комплексными членами.

Определение 4. Множество значений переменной z, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Определение 5. Ряд вида

0 + 1( − 0) + 2( − 0)2+. . . + ( − 0) +. . . =

∑∞=0 ( − 0) , где и 0 – комплексные постоянные, а – комплексная переменная, называется степенным рядом в

комплексной области.

При 0 = 0 степенной ряд имеет вид

∑∞=0 = 0 + 1 + 2 2 + .

Теорема 2 (теорема Абеля). Пусть степенной ряд

∞

∑ ( − 0) =

=0

= 0 + 1( − 0) + 2( − 0)2+. . . + ( − 0) +. ..

сходится в некоторой точке 1 ≠ 0. Тогда этот ряд абсолютно сходится в круге | − 0| < | 1 − 0| = .

Следствие 1. Если степенной ряд ∑∞=0 ( − 0) расходится в некоторой точке 1 ≠ 0, то этот ряд расходится в области

| − 0| > | 1 − 0| = , т.е. вне круга | − 0| ≤ | 1 − 0| = .

Следствие 2. Для степенного ряда ∑∞=0 ( − 0) существует число , 0 ≤ ≤ +∞ , называемое радиусом сходимости степенного ряда, такое, что внутри круга | − 0| < ряд сходится,

а вне этого круга, т.е. в области | − 0| > , ряд расходится.

Если – радиус сходимости, то область | − 0| < называется кругом сходимости степенного ряда. В точках границы | − 0| = ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае требуется дополнительное исследование.

Предполагается, что окружность проходится в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки.

Справедливы следующие разложения в ряд Тейлора в окрестности точки 0 = 0.

при = −1 1+1 = 1 − + 2−. . . +(−1) +. . . = ∑∞=0(−1) , сх = 1

1−1 = 1 + + 2+. . . + +. . . = ∑∞=0 , сх = 1.

Разложим полученную функцию в точке = 3 ( = 0). Воспользуемся стандартным разложением, подставляя вместо

= ∑∞ (−1) +1 3 ( − 3)

=0 4+1

Этот ряд сходится при условии |34 ( − 3)| < 1, или | − 3| < 43, т.е.

радиус сходимости ряда = 43.

Дополнительные примеры

Разложить по степеням ( − 0) функцию: 1). ( ) = ( − 1) 4 , 0 = 1.

2). ( ) = ln(2 + 3), 0 = 5.

3). ( ) = ln( 2 + 5 + 6), 0 = −1. 4). ( ) = √4+1 2, 0 = 0.

1

5). ( ) = 2+3 +2, 0 = −4. 6). ( ) = ( +1)+2 2 0 = −2.