3-й семестр / Лекции / 11
.pdfЛЕКЦИЯ 11
2.4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия
Коши-Римана.
Пусть однозначная функция = ( ) определена в некоторой области комплексного переменного . Пусть точки и + принадлежат области .
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
= ( + ) − ( ), |
= + . |
||||
Определение |
2.11. |
Функция = ( )называется дифференцируемой в |
||||
точке , |
если |
отношение |
|
имеет конечный предел при , |
||
|
|
|||||
|
||||||
|
|
|
|
|||
стремящемся к нулю. Этот предел называется производной функции ( ) в данной точке и обозначается ′( ) или ′, т.е.
′ = ′( ) = |
|
|
. |
(2.10) |
|
||||
|
→0 |
|
|
|
Обычные правила дифференцирования функций действительного переменного остаются справедливыми для функций комплексного переменного.
Определение 2.12. Однозначная функция ( ) называется аналитической в точке 0, если она дифференцируема в самой точке 0 и в некоторой окрестности этой точки.
Теорема 2.2. Для того, чтобы функция ( ) = ( , ) + ( , ) была дифференцируема в точке = + , необходимо и достаточно, чтобы функции ( , ), ( , ) были дифференцируемы в точке ( , ) и чтобы в этой точке имели место равенства
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
|
= − |
|
, |
(2.11) |
|
|
|
|
|||||
называемые условиями Коши-Римана. При этом формулы для производной функции ′( ) имеют вид:
′( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
+ |
|
= |
|
− |
|
= |
|
− |
|
. |
(2.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В следующих примерах исследовать функцию на аналитичность. Пример 2.8.
( ) = 2.
Решение: выделим действительную и мнимую части функции, подставив вместо = + :
( ) = ( + )2 = (2 − 2) + 2,
т. е.
Re ( ) = ( , ) = 2 − 2, Im ( ) = ( , ) = 2 .
Функции ( , ), ( , ) дифференцируемы во всех точках ( , ). Проверим выполнение условий Коши-Римана (2.11):
= 2 , = 2 , = −2 , = 2 .
Условия (2.11) выполнены во всех точках (x,y), т.е. выполнены условия теоремы (2.11), следовательно ( ) = 2 аналитична во всей комплексной плоскости.
Пример 2.9.
( ) = 3 + 2.
Решение: выделим действительную и мнимую части функции, подставим вместо = −
( ) = 3( − ) + 2 = (3 + 2) − 3 ,
т.е.
Re ( ) = ( , ) = 3 + 2, Im ( ) = ( , ) = −3 .
Функции ( , ), ( , ) дифференцируемы во всех точках ( , ), проверим выполнение условий Коши-Римана (2.11)
= 3, = −3, = 0, = 0,
так что ≠ , т.е. первое условие Коши-Римана не выполнено ни в одной
точке комплексной плоскости. Значит функция ( ) = 3 + 2 нигде не дифференцируема, а, следовательно, не является аналитической.
Свойства аналитических функций.
Если 1( ), 2( ) аналитические функции в области , то
1) 1( ) ± 2( ), 1( ) 2( ) – также аналитические в области , |
||||||||||||||
2) |
1( ) |
аналитична во всех точках области , где ( ) ≠ 0. |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
2( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При этом имеют место формулы |
|
|
|
|
|||||||||
|
[ ( ) |
± ( )]′ |
= ′( ) |
± ′( ), |
|
|
|
|
||||||
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
[ ( )]′ = ′( ), |
|
( ) |
|
′ |
|
′( ) ( )−′( ) ( ) |
|
||||||
|
[ |
1 |
] = |
|
1 |
2 |
2 |
1 |
, |
|||||
|
( ) |
|
|
|
2( ) |
|
||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
[ ( ) |
( )]′ = ′( ) |
|
( ) |
+ |
( ) ′( ). |
|
|
||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|||||
Справедлива также таблица производных: |
|
|
||||||||||||
|
|
( )′ = −1 |
|
|
|
|
|
( )′ = − |
||||||
|
|
( )′ = |
|
|
|
|
|
|
( )′ = |
|
||||
(Ln )′ = |
1 |
|
( )′ = |
1 |
|
|
|
2 |
|||||
( )′ = |
′ |
|
1 |
|||
( )′ = |
( ) = − |
2 |
||||
2.5. Связь аналитических и гармонических функций.
Определение 2.13. Функция ( , ) называется гармонической в области, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа
2 |
|
2 |
|
(2.13) |
|
2 |
+ |
2 = 0. |
|||
|
|||||
Теорема 2.3. Если функция ( ) = + аналитична в некоторой области, то ее действительная часть ( , ) и мнимая часть ( , ) являются гармоническими в этой области функциями, т. е. ( , ), ( , ) удовлетворяют уравнению Лапласа:
2 |
+ |
2 |
= 0, |
2 |
+ |
2 |
= 0. |
(2.14) |
||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 2.14. Две гармонические функции, связанные условиями Коши-Римана, называются сопряженными.
Пример 2.10.
Показать, что функция ( , ) = 2 − 2 + является гармонической. Восстановить аналитическую функцию ( ) по действительной части ( , ) и условию (0) = 2.
Решение: найдем частные производные функции ( , ):
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
= 2 + 1, |
|
|
|
= 2, |
|
= −2 , |
|
= −2. |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||
Сложим |
2 |
+ |
2 |
= 2 − 2 = 0, |
|
т. е. |
( , ) |
удовлетворяет уравнению |
||||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Лапласа и является гармонической. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Функция ( , ) = 2 − 2 + |
|
|
и искомая функция ( , ) должны |
|||||||||||||||||
удовлетворять условиям Коши-Римана |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 + 1, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
но из (2.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= 2 + 1. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Интегрируем последнее уравнение по (считая постоянной), получаем
( , ) = ∫(2 + 1) + ( ) = (2 + 1) + ( ). |
(2.15) |
||||
Из второго условия Коши-Римана |
|
|
|
||
|
|
= − |
|
= 2 . |
(2.16) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
Вычислим |
|
используя (2.15) и приравняем оба выражения 2 + ′( ) = 2 , |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. ′( ) = 0. Отсюда находим ( ) = с1, где 1 |
– постоянная, т.е. ( , ) = |
|||||||
(2 + 1) + 1. Следовательно, |
|
|
|
|||||
|
|
( + ) = 2 |
− 2 + + [(2 + 1) + ]. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Для того, чтобы записать |
функцию ( ), |
можно взять = 0, |
= , |
|||||
тогда ( ) = 2 + + . |
Для |
нахождения |
|
воспользуемся условием |
||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
(0) = 2, 2 = |
, т.е. |
= −2 , окончательно ( ) = 2 + + 2. |
|
|||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
Тема 3. Интегрирование функций комплексного переменного
3.1. Интеграл от функции комплексного переменного и его свойства.
Рассмотрим однозначную функцию ( ), определенную и непрерывную в области и кусочно-гладкую кривую , лежащую в . Зададим на этой кривой направление обхода: точка A – начало, точка B – конец.
Разобьем L на n частей точками: = ; |
; … = . |
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
На каждом участке [ |
; |
] выберем произвольную точку Jk, k=1,…,n |
|||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим интегральную сумму ∑ |
( ) ∙ ( |
− ). |
|
|
|
|
|||
|
|
=1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
Предел интегральной |
суммы |
при |
→ ∞ и max |
|
| |
− |
| → 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
||
называется интегралом от функции f(z) по кривой L, если он существует и не зависит от способа разбиения кривой точками zk и от выбора точек Jk.
Обозначается: ∫ ( ) = lim |
→∞ |
∑ |
|
( |
)( |
− ). |
|
|
|
|
=1 |
|
|
−1 |
|
max | −−1|→0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Теорема. Если f(z) определена и непрерывна на L, то |
( ) существует. |
||||||
Пусть = + , |
( ) = + , |
где |
( , ), |
( , ) – |
действительные |
||
функции переменных и . |
|
|
|
|
|
|
|
Можно показать, что вычисление интеграла от функции ( ) комплексного переменного сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов, а именно
∫ ( ) = ∫ ( , ) − ( , ) + |
(3.1) |
|
+ ∫ ( , ) + ( , ).
Интеграл от функции комплексного переменного обладает свойствами: 1. Свойство линейности
∫[1 1( ) ± 2 2( )] = 1 ∫1 ( ) ± 2 ∫2 ( ),
|
|
|
где 1, 2 – произвольные постоянные,
2.Свойство аддитивности
∫( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ),
1+ 2 |
1 |
2 |
где 1 + 2 – кривая, составленная из кривых 1 |
и 2, |
|
3. |
|
|
∫ ( ) = − ∫ ( ), |
||
|
− |
|
где − – кривая, совпадающая с , но проходимая в противоположном направлении,
4. Если функция ( ) аналитична в односвязной области , содержащей точки 0 и 1, то имеет место формула Ньютона-Лейбница
1
∫ ( ) = (1) − (0) = ( ) | 1, (3.2)
0
0
где ( ) – какая-либо первообразная для функции ( ), т.е. ′( ) = ( ) в области ,
5.Если кривая задана параметрическими уравнениями
= ( ), = ( )
начальная и конечная точки |
дуги |
соответствуют значениям |
параметра |
= 0, = 1, то |
|
|
|
|
1 |
|
|
∫ ( ) = ∫ |
[ ( )] ′( ), |
(3.3) |
|
|
0 |
|
|
где ( ) = ( ) + ( ). |
|
|
|
Пример 3.1.
Вычислить интеграл ∫ (2 − ) по параболе = 2, соединяющей точки
1 = 0, 2 = 1 + .
Решение: Перепишем подынтегральную функцию в виде 2 − = 2 − 2 − = 2 − (2 + 1), т.е. ( , ) = 2 , ( , ) = −(1 + 2 ). Проверим условие Коши-Римана (2.4)
= 2, = −2
– первое условие не выполняется, т.е. подынтегральная функция не аналитична. Используем для вычисления интеграла формулу (3.1)
∫(2 − ) = ∫2 + (1 + 2 ) + ∫2 − (1 + 2 ) .
|
|
|
Для параболы = 2 имеем = 2 (0 ≤ ≤ 1). Тогда
1
∫(2 − ) = ∫ [2 + (1 + 2 2)2 ] +
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ ∫ [2 2 − (1 + 2 2)] = |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
4 4 |
) |1 |
|
2 3 |
− ) |1 |
|
||
= ( |
|
|
+ |
|
+ ( |
|
= |
||
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
4 |
0 |
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21
=3 + (3 − 1) = 3 − 3 .
Пример 3.2.
Вычислить интеграл ∫2(3 2 + 1) .
Решение: Так как подынтегральная функция аналитична всюду (для проверки достаточно проверить все условия (2.11) Коши-Римана), то можно применить формулу (3.2) Ньютона-Лейбница
2
∫ (3 2 + 1) = ( 3 + ) |2 = (2 )3 + 2 − 3 − =
= −8 + 2 + − = −6 .