Добавил:
Rumpelstilzchen2018@yandex.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
3
Добавлен:
25.12.2020
Размер:
742.36 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 9

Тема 1. Комплексные числа и действия над ними

1.1. Алгебраическая форма комплексного числа

Определение 1.1. Комплексным числом называется выражение вида

= + ,

где и – действительные числа, – мнимая единица, определяемая условием 2 = −1.

Числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются = Re , = Im .

Такое представление комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.

Комплексное число = − называется сопряженным комплексному числу = + .

Определение 1.2. Комплексные числа = + и = + считаются равными тогда и только тогда, когда = , = .

Пример 1.1.

Решить уравнение (3 + 2 ) + (2 − ) = −1 + 4 .

Решение: Выделим в левой части уравнения действительную и мнимую части:

(3 + 2 ) + (2 − ) = −1 + 4 .

Из определения равенства двух комплексных чисел получаем

3 + 2 = −1 { 2 − = 4.

Решая эту систему, находим = 1, = −2.

1.2. Геометрическое представление комплексного числа

Комплексное число = + изображается на плоскости точкой с координатами ( , ), либо вектором, начало которого находится в точке

Рис. 1

(0,0), а конец в точке ( , ) (см. рис.1).

Если = 0, то = + 0 = , то есть получаем обычное вещественное, расположенное на оси , число. Если = 0, то = . Такие числа называются чисто мнимыми. Они изображаются точками на оси .

Определение 1.3. Длина вектора ( ) называется модулем

комплексного числа и обозначается

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.1)

| | = = √2 + 2.

 

 

Определение 1.4. Угол , образованный вектором

 

с

осью ,

 

называется аргументом комплексного числа и обозначается

= ;

определяется с точностью до слагаемого 2 ( = 0, ±1, . . . ):

 

 

= + 2 , ( = 0, ±1, ±2, . . . )

где есть главное значение , определяемое условиями − < ≤ .

В зависимости от положения точки на комплексной плоскости,

 

 

 

 

,

 

 

 

если z в I или IV четверти,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

,

 

если z во II четверти,

 

 

 

 

 

 

 

− +

 

,

если z в III четверти,

 

 

 

 

=

 

(1.2)

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

если x>0, y=0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

если x<0, y=0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

если x=0, y>0,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

если x=0, y<0.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.2.

Найти модуль и аргумент комплексного числа = −1 + √3 . Решение: модуль комплексного числа вычислим по формуле (1.2)

| | = = |−1 + √3 | = √(−1)2 + (√3)2 = 2

Для нахождения аргумента определим положение числа на комплексной

плоскости: = −1 + √3 лежит в II четверти. Используя формулу (1.2) найдем (см. рис. 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= +

 

= + (

√3

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

2

= − √3 = −

 

=

 

.

 

 

 

3

3

 

 

 

Рис. 2

Отметим, что = 23 + 2 ( = 0, ±1, ±2, . . . )

Пример 1.3.

Найти модуль и аргумент комплексного числа = −5 .

Решение: число = −5 находится на мнимой оси: = 0, = −5 < 0.

Модуль по формуле (1.1) | | = √02 + (−5)2 = 5.

= − 2 из (1.2), т. е. = − 2 + 2 ( = 0, ±1, ±2, . . . ).

1.3.Действия над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение и деление).

Пусть даны два комплексных числа 1 = 1 + 1, 2 = 2 + 2.

Определение 1.5. Суммой + комплексных чисел и называется комплексное число

1 + 2 = ( 1 + 2) + ( 1 + 2).

Определение 1.6. Разностью комплексных чисел и называется комплексное число

1 2 = ( 1 2) + ( 1 2).\

Определение 1.7. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число

1 2 = ( 1 2 1 2) + ( 1 2 + 2 1).

Определение 1.8. Частным от деления комплексного

числа на комплексное число называется такое комплексное число, которое удовлетворяет уравнению = .

Для частного имеет место формула

 

1

 

1

 

 

 

1 2 + 1 2

 

 

2 1 1 2

 

 

=

2

=

+

.

 

 

| |2

2

+ 2

2

+ 2

2

2

 

 

2

2

 

2

2

 

Пример 1.4. Вычислить (3 − )(2 + 5 ).

 

 

 

 

Решение: раскрывая скобки и учитывая 2 = −1, получим

(3 − )(2 + 5 ) = 6 + 15 − 2 − 5 2

= 6 + 5 + 13 = 11 + 13 .

Пример 1.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить −2−31+4 .

Решение: умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю 1 − 4 .

−2 − 3

 

1 − 4

=

−2 − 12 − 3 + 8

=

−14 + 5

= −

14

+

5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

1 + 4

1 − 4

1 + 16

17

17

17

Пример 1.6. Вычислить 27.

Решение: так как

1

= ,

5

= ,

2

= −1,

6

= −1,

3

= −,

7

= −,

 

4

= 1,

8

= 1

 

и т. д., то 27 = (4)6 3 = 1 (− ) = − .

 

1.4. Тригонометрическая форма комплексного числа.

 

Любое комплексное число = + ( ≠ 0) можно

записать в

тригонометрической форме (см. рис. 1)

 

 

 

 

= ( + ),

(1.3)

где = | |, = .

 

 

Пример 1.7.

Записать в тригонометрической форме = −√3 − . Решение: модуль найдем по формуле (1.1)

| | = = √(−√3)2 + (−1)2 = 2.

Для нахождения аргумента определим положение на комплексной плоскости: лежит в III четверти (см. рис.3), тогда по (1.2)

= − +

−1

= − +

1

 

= − +

 

= −

5

.

 

 

 

 

 

 

 

−√3

 

√3

 

6

 

6

 

 

 

 

 

 

Рис. 3

Тогда = = − 56 . Подставляя значения модуля и аргумента в формулу (1.3), получим

 

 

 

5

 

5

= −√3 − = 2 [ (−

) + (−

 

 

 

)]

6

 

6

1.5. Действия над комплексными

числами,

 

заданными в

тригонометрической форме.

Пусть комплексные числа 1 и 2 даны в тригонометрической форме

1 = 1(1 + 1), 2 = 2(2 + 2).

1. Произведение 1 2 комплексных чисел 1 и 2 находится по формуле

1 2 = 1 2[ (1 + 2) + (1 + 2)],

т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются

| 1 2| = | 1||2|, (1 2) = 1 + 2.

2. Частное двух комплексных чисел 1 и 2 ≠ 0 находится по формуле

 

1

=

1

 

[ (

 

) + (

 

)],

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

1

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

1

| =

 

| 1|

,

1

=

− .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

| 2|

 

2

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Возведение комплексного числа = ( + ) в натуральную

степень производится по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ( + ),

 

(1.4)

Часто формулу (1.4) также называют формулой Муавра.

4. Корень n-й степени из комплексного числа ≠ 0 имеет различных значений, которые находятся по формуле

 

 

 

 

 

+ 2

 

+ 2

 

(1.5)

√ = √ (

 

+

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где = , = 0,1,2, . . . , − 1.

Пример 1.8. Вычислить (2 − 2 )10.

Решение: представим число

= 2 − 2

в тригонометрической форме:

 

 

[ (−

 

) + (−

 

)].

 

 

 

 

 

2 − 2 = 2√2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

Применяя формулу (1.4), получим

 

 

 

 

 

 

(2 − 2 )10

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

10

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (2√2)

[ (−

 

) + (−

 

)] =

 

 

4

4

 

= 215 (

5

 

 

5

= −215 .

 

 

 

 

 

) −

(

 

)

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.9. Вычислить √−16.

 

 

 

 

 

Решение: представим число −16 в тригонометрической форме. Число

лежит на действительной оси: < 0, = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|−16| = √(−16)2 + 02 = 16, = .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (1.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

+ 2

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√−16 = √16 (

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

) =

 

4

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 (

+ 2

+

+ 2

) , = 0,1,2,3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагая последовательно = 0,1,2,3, выпишем все корни

 

 

 

 

 

= 0: 0 = 2 (

 

+

 

 

),

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1: 1

= 2 (

3

+

3

),

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2: 2

= 2 (

5

+

 

5

),

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3:

= 2 (

7

+

7

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

На плоскости корни располагаются на окружности радиуса 2 в вершинах правильного четырехугольника, вписанного в окружность радиуса = 2 с

центром в начале координат (см. рис. 4).

Пример 1.10.

Решить уравнение 4 − 2 2 + 4 = 0. Корни уравнения изобразить на комплексной плоскости.

Решение: обозначим = 2. Тогда уравнение примет

вид 2 − 2 + 4 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корни этого уравнения 1 = 1 + √3 ,

2 = 1 − √3 ,

откуда 1,2 =

 

,

1

3,4 =

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть = √1 + √

 

 

. Найдем модуль и аргумент:

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 = 2, (1 + √3

) =

.

 

 

 

 

|1 + √3

| = 1 + (√3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

Далее по формуле (1.5) получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

3 + 2

+

3 + 2

) , = 0,1,

 

 

= 1 + √3

= √2

 

 

 

1,2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е.

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

) , = 0,

1

= √2

 

+

 

6

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

7

) , = 1.

2

= √2 (

 

+

6

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично находим = √1 − √3 .

 

 

 

 

( (−

 

) + (−

 

)),

3

= √2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

5

) + (−

5

)).

4

= √2 ( (−

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

Все корни находятся на окружности радиуса = √2 (см. рис.5).

1.6. Показательная форма записи комплексного числа.

Используя формулу Эйлера

= +

перепишем тригонометрическую форму записи комплексного числа из формулы (1.5) в виде

= ( + ) = ,

где = | |, = , т.е. любое комплексное число ≠ 0 можно записать в показательной форме

= , = | |, = .

 

Пример 1.11. Записать комплексное число

= −3 − 3 в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тригонометрической и показательной форме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение: число находится в III четверти. Найдем модуль и аргумент

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| | = √(−3)2 + (−3)2 = 3√2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

 

3

 

= − +

 

= − +

(

 

) = − +

 

= −

 

.

 

 

−3

4

4

 

Тригонометрическая форма записи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( (−

3

) + (−

3

)),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 3√2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показательная форма записи = 3√2 34 .

1.7. Изображение множеств на комплексной плоскости.

Изобразить на комплексной плоскости линии и области, заданные уравнениями и неравенствами.

Пример 1.12. Re ≤ 3.

Решение: т.к. Re = , то неравенство можно переписать так: ≤ 3. На плоскости это определяет полуплоскость левее прямой = 3 (рис. 4).

Рис. 6

Соседние файлы в папке Лекции