1. Степени и корни
.pdf§1. СТЕПЕНИ И КОРНИ. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
Арифметический корень степени n n N , n 2 из неотрицательного числа a определяется следующим образом:
na b bn a, b 0 .
Операция извлечения корня определяется и для отрицательного подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя корня.
Если a 0 , то корнем нечетной степени n n 3,5, из числа a называется такое отрицательное число, которое будучи возведенное в степень n , дает в результате число a . Это число, как и арифметический корень, обозначают символом na .
Если a 0 , то корень нечетной степени из числа a связан с арифметическим корнем из числа a следующим образом:
2m 1 a 2m 1 a .
Корень четной степени из отрицательного числа не определен.
Свойства арифметического корня
( a 0, b 0 , n и m натуральные числа больше 1 )
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n a |
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a |
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1) n a n b n ab ; |
2) |
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n |
, b 0 ; |
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b |
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n b |
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m n |
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4) n m |
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nm |
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nm |
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am |
; |
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; |
5) n |
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am |
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a |
a |
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a |
a |
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2n |
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x |
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Для всех х R : |
x2n |
В частности, x2 |
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x |
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Если m Z , n N, n 2 , то для любого a 0 : |
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m |
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a |
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n |
am |
(степень с рациональным показателем). |
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n |
Степень ar с действительным показателем r определена
4
для всех a 0 . |
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Основные свойства степеней ( а,b 0; |
p , r R ) |
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1) a0 1; |
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2) a r |
1 |
; |
3) a p ar |
a p r ; |
4) a p r a pr ; |
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ar |
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a r |
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a p |
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p r |
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r |
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r |
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r |
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ar |
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5) |
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a |
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; |
6) ab |
a |
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b |
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; |
7) |
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ar |
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b |
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br |
Формулы сокращенного умножения
1)a b 2 a2 2ab b2 ;
2)a b 2 a2 2ab b2 ;
3)a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 ;
4)a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 ;
5)a2 b2 a b a b ;
6)a3 b3 a b a2 ab b2 ;
7)a3 b3 a b a2 ab b2 .
Пример 1. Вычислить:
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Решение. Преобразуем первое слагаемое: |
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2 6 4 9 3 6 5 6 . |
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Преобразуем теперь второе слагаемое:
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46 1 496 2 46 1 2 46 2 2 46 1 46 1 6 1
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Исходное выражение принимает вид: 5 |
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6 |
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1 6 |
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Ответ: – 6. |
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Пример 2. Вычислить: |
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6 2 |
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7 |
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Решение. Так как |
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Ответ: – 4. |
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Пример 3. Упростить и вычислить значение выражения |
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при |
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25. |
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a |
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: |
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Решение. Так как |
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Ответ: 6,2. |
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Пример 4. Упростить выражение: |
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Решение. Так как |
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, то исходное выражение принимает вид: |
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1. |
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Ответ: 1. |
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Пример 5. Упростить выражение: |
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Решение. Так как |
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27b |
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27b |
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3a |
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9b |
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a |
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a |
b |
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b |
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ab |
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a 9b 3 |
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a 9b |
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a 9b |
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, то исходное |
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a |
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выражение принимает вид:
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2 |
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9 |
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Ответ: 3. |
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Пример 6. Упростить выражение: |
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6 3 a 6 5 b |
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9a 15b 6 15ab |
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Решение. Так как |
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6 3 a 6 5 b |
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2 |
, то исходное выражение |
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3 |
3а |
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5b |
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3a |
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принимает вид: |
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5b |
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3a |
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Ответ: 3,5. |
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Пример 7. Упростить выражение |
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a2b |
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3 a 3 |
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3 b |
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Решение. Сначала упростим выражение, записанное в |
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круглых скобках: |
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: b 3 |
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a2b |
ab2 |
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а2 |
b2 |
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3 a 3 b |
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3 b |
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3 |
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3 b2 3 |
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3 |
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a |
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3 b |
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3 a2 3 b2 3 b2 |
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3 b |
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3 b2 |
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3 b |
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3 |
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1 |
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1 |
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3 |
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3 b2 |
3 b |
3 b |
3 b2 |
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Исходное выражение принимает вид: |
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4 1. |
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a |
2 |
3 |
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b |
2 |
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a |
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b |
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Ответ: 1.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Вычислить:
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17 3 |
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(Ответ: 81) |
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1. |
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4 |
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27 |
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9 |
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3 |
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5 2 |
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2. |
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43 30 |
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(Ответ: 10) |
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2 2 |
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3. |
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1 2 |
6 6 . |
(Ответ: 3) |
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2 1 |
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3 1 |
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4. |
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4 |
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4 |
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(Ответ: 1) |
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5 2 |
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3 |
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5. |
54 |
128 |
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(Ответ: 0,6) |
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3 94 |
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162 |
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6. |
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5 1 |
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(Ответ: 4) |
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3 |
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4 |
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2 |
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9 |
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2 |
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13 |
19 |
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7. |
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2 |
19 2 |
13 . |
(Ответ: –54) |
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19 4 |
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13 3 |
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Упростить выражение: |
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16 |
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2х |
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х |
3 |
20х |
2 |
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12х |
5 |
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8. |
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х 4 |
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2 |
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3 |
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х |
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4х 16 |
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х 4 |
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х |
64 |
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х 4 х 4 |
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х3 |
у |
3 |
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2 |
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2 |
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1 |
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2у |
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ху |
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9. |
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х у |
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у2 |
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х у х2 |
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х y |
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1 |
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10. |
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x |
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2 |
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1 |
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3 х2 у |
3 |
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х 6 у 6 |
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11. |
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ху 3 |
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у |
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3 |
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(Ответ: 5) (Ответ: 1)
(Ответ: 2)
(Ответ: 1)
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а |
3 |
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8а |
3 |
b |
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|
b |
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12. |
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x |
3 |
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4 |
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27 |
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20. |
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4 3x |
4 x 4 3 |
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4 x |
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. |
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(Ответ: |
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4 |
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x 4 3 |
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3 |
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