лекции / Л7пересечен прям с конус и цилиндр2019 ред

Пересечение прямой с конусом

Пусть задан конус, у которого плоскость основания совпадает с плоскостью П1, и прямая общего положения n. Надо найти точки пересечения прямой с конической поверхностью.

Наиболее простое сечение конуса – треугольник – образуется при сечении конуса плоскостью, проходящей через его вершину.

1

Для решения вводим вспомогательную плоскость Γ, проходящую через прямую n и вершину конуса S. Такая плоскость дает в сечении с конусом треугольник. Для построения сечения конуса плоскостью Γ через вершину конуса S и произвольную точку A на прямой n и точку B – точку пересечения прямой n с плоскостью П1 проводим две прямые S1 и SB. Точка 1 – точка пересечения прямой SA с плоскостью П1.

3

Определяем точки пересечения плоскости Γ с основанием конуса. Для этого строим линию пересечения плоскости Γ с П1 – это прямая 1B. Она пересекает основание конуса в точках 2 и3, которые вместе с вершиной конуса S определяют 2S3 – сечения конуса плоскостью Γ. Точки пересечения прямой n с образующими конуса 2S и 3S – K и M будут общими для прямой n и для конуса.

5

Построения на эпюре:

1продлеваем n2 до пересечения с осью x ( )B2;

2( )B1 по линии связи;

3берём произвольную ( )A2 на n2; через S2 и A2 проводим прямую до пересечения с осью x ( )12;

4по линии связи на n1 находим ( )A1;

5через S1 и A1 проводим прямую до пересечения

слинией связи ( )12 ( )11;

8

6 проводим прямую B111 – это линия пересечения плоскости Γ с П1. ( )21 и ( )31 – точки пересечения плоскости Γ с основанием конуса;

10