14 Излучение линейного осциллятора

Лекция № 14

Излучение линейного осциллятора

Линейным осциллятором или вибратором называется диполь, момент которого изменяется по закону p p0f(t), p0 - постоянный вектор, f(t)- периодическая функция.

Простейшим излучателем электромагнитных волн является вибратор Герца, представляющий собой совокупность двух металлических шариков, соединенных проводником. Если шарикам сообщить равные по значению, но противоположные по знаку заряды и предоставить систему самой себе, то будет происходить колебательный процесс перезарядки шариков. Ток, текущий между шариками, будет периодически меняться. Колебания тока будут затухающими, однако, если сопротивление проводника мало, то в течение большого числа периодов затуханием колебаний можно пренебречь. Итак, на расстояниях, много больших размеров вибратора Герца, его электромагнитное поле можно описать как электромагнитное поле диполя, момент которого р меняется со временем.

1. Потенциалы электромагнитного поля в дипольном приближении

Общие формулы для запаздывающих потенциалов весьма сложны.

Входящие в (1) и (2) выражения для плотности заряда и плотности тока являются функциями времени запаздывания t R /c. Для вычисления значений потенциалов необходимо в соответствующих интегралах брать значения этих величин в разные моменты времени в каждой точке системы.

Если, однако, точка наблюдения находится достаточно далеко от системы движущихся зарядов, так что r>>L, где L - характерный линейный размер системы (L~|V'|1/3),

можно разложить в ряд аналогично тому, как мы это делали при вычислении векторного

запаздывания является различным для каждой точки в объеме V'. По этой причине интегралы в (3) не могут быть вычислены в общем случае.

________________________________________________________________________________

Дальнейшее упрощение возникает в том случае, когда вместо различного времени запаздывания для каждой точки системы можно ввести одно общее время запаздывания для всей системы. Запишем выражение для аргумента в виде

c

равная r/c и именуемая временем запаздывания системы, представляет время, требующееся для распространения электромагнитного поля от начала координат 0 до точки наблюдения

N. Вторая часть, равная rr' и именуемая собственным запаздыванием, также имеет простой cr

смысл: это время, которое требуется для распространения поля в пределах системы. По

порядку величины rr' ~ r' ~ L и при r>>L собственное запаздывание r'/r по абсолютной cr c c

величине мало по сравнению с r/c. Это не означает, однако, что плотность заряда можно

разложить в ряд по малому параметру rr' . Действительно, если за время, равное времени cr

собственного запаздывания rr' , конфигурация зарядов в системе успеет заметно cr

измениться, т.е. если за это время заряды успеют заметно переместиться, то плотность заряда в момент времени t-r/c будет существенно отличаться от плотности заряда в момент времени

t-r/c+rr' . Иными словами, плотность заряда будет быстро изменяющейся функцией своего cr

аргумента. Для того, чтобы плотность заряда можно было разложить в ряд по малому

распространяющееся со скоростью с прошло по системе, заряды в системе не успели заметно

сдвинуться. Если положить скорость перемещения зарядов равной v, то за время rr' они cr

перемещаются на расстояние порядка vrr' ~v L . Если этот путь мал по сравнению с cr c

размерами системы, можно считать, что за время собственного запаздывания расположение зарядов в системе не успевает измениться.

Таким образом, можно считать, что при

v L <<L, c

или при скоростях движения, удовлетворяющих неравенству v<<c,

изменение конфигурации за время собственного запаздывания мало. При этом (r', ) является медленно меняющейся функцией своего аргумента. Это значит, что малым изменениям отвечают малые изменения плотности заряда . Поэтому можно разложить по степеням малого запаздывания

________________________________________________________________________________

Подставляя (5) в (3) и ограничиваясь членами разложения, содержащими наименьшие степени 1/r, находим

где n=r/r.

В формуле (6) сделано весьма существенное упрощение по сравнению с (3), поскольку плотность заряда во всех точках системы берется в один и тот же момент времени

0 t r . c

Первое слагаемое в (6) имеет простой смысл: (r', 0 ) (r',t r) представляет плотность c

заряда в системе в момент времени . Интеграл (r', 0 )dV'дает полный заряд системы.

Для электронейтральной системы он равен нулю. В этом случае имеем

Можно показать, что r' (r', 0 )dV' jdV', тогда вместо (7) получим скалярный потенциал

где p( 0 )- производная дипольного момента по времени. При этом мы воспользовались тем,

что r' - независимая переменная интегрирования, не зависящая от 0. С помощью (11) выражения (8) и (9) можно представить в виде

________________________________________________________________________________

Итак, в случае, когда можно пренебречь собственным запаздыванием, потенциалы поля вдали от системы определяются значением производной по времени от ее дипольного момента. Поэтому такое приближение при вычислении потенциалов поля называется дипольным приближением. Условием его применимости является выполнение неравенства v<<c.

В дипольном приближении потенциалы поля вдали от электронейтральной системы убывают по закону 1/r, в то время как аналогичный электростатический потенциал заряда электронейтральной системы неподвижных зарядов, обладающей дипольным моментом, меняется как 1/r2. Таким образом, переменные поля убывают значительно медленнее статических полей. Именно с убыванием по закону 1/r полей, создаваемых переменными токами и зарядами, связано важнейшее явление - возможность излучения такими токами и зарядами электромагнитных волн.

Легко проверить, что для потенциалов, найденных в дипольном приближении,

выполнено условие Лоренца divA+ 1 0. Имеем: c2 t

как и при вычислении (6) второе слагаемое, пропорциональное 1/r2 опускаем. Мы видим, что при дифференцировании по координатам вдали от излучателя величину 1/r можно считать

постоянной. Далее, с использованием формулы diva( ) = grad da , находим

как и должно быть.

Формулы (12) и (13) могут быть представлены в другом виде. Для этого найдем производные

p p 0 p (t r/c) p и p p 0 p (t r/c) p ( 1),t 0 t 0 t 0 r 0 r 0 r t c

откуда получаем

________________________________________________________________________________

С учетом этого формулы (12) и (13) приобретают вид (преобразована только формула (12), формула (13) просто записана по-другому)

При расчете поля излучения достаточно вычислить векторы Е и В с точностью до членов, обратно пропорциональных первой степени расстояния r. При дифференцировании потенциалов и А достаточно дифференцировать фазовый аргумент (t-r/c), знаменатель r можно не дифференцировать (при этом получаются сомножители 1/r2). Это эквивалентно утверждению о том, что множитель 1/r можно считать постоянным.

На больших расстояниях от осциллятора его скалярный и векторный потенциалы однозначно определяются вектором дипольного момента. При движении зарядов в системе (изменении ее дипольного момента во времени) в окружающем пространстве возникает электромагнитное поле. Потенциалы этого поля сравнительно медленно (по закону 1/r) убывают с расстоянием и зависят от времени.

В начале развития электронной теории была предложена известная модель Томсона. Предполагалось, что электрон находится в центре сферы, образованной непрерывно распределенным положительным зарядом. Излучение атома в модели Томсона связывалось с малыми колебаниями электрона около положения равновесия в центре атома. Таким образом, атом как излучающая система сводился к излучающему осциллятору. В 1911 году опыты Резерфорда показали непригодность модели Томсона. Однако оказалось, что гармонический осциллятор как модель излучающей атомной системы приводил в ряде случаев к совершенно правильным результатам, находившим подтверждение на опыте. Важнейшим из них является существование определенных частот излучения, характерных для данного атома. Поэтому осциллятор оставался в классической физике моделью излучающей атомной системы, хотя в рамках классической физики невозможно было понять, почему такая далекая от действительности модель может правильно передавать важные особенности атомных излучателей. Ситуация была разъяснена с появлением квантовой теории излучения. Квантовая теория излучения приводит в ряде случаев к соотношениям, формально совпадающим с выражениями, полученными для классической модели излучателя. Причина такого совпадения заключается в следующем: ряд свойств атомных излучателей определяется не конкретным законом движения излучающих частиц, а фактом периодичности процесса. С другой стороны, круговому периодическому движению электрона с постоянной угловой скоростью отвечает колебание плоского осциллятора. Поэтому модель осциллятора, колеблющегося с частотой 0, передает некоторые характерные черты атомного излучателя. Поэтому классический осциллятор может применяться в качестве модели атомного излучателя. С другой стороны, классическая электродинамика непосредственно неприменима к внутриатомным процессам и приводит к соотношениям, количественно и даже качественно противоречащим опытным данным.