2012 Билеты по численным методам

Билет № 1.

1.Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Общая постановка задачи. Привести примеры задач, приводящих к необходимости решения систем дифференциальных уравнений. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Погрешности методов. Использование метода двойного пересчета шага вычислений. Технология решения систем дифференциальных уравнений.

2.Задача. Провести интерполирование функции y=cos(0,1x) на отрезке [0,2] параболами второй и третьей степеней. Провести оценку относительной погрешности такого интерполирования в первом и втором случаях. Нанести все три функции на график (Excel) и сделать выводы по результатам решения задачи. Программу интерполирования необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 2.

1.Методы вычисления определенных интегралов. Общая постановка задачи. Привести примеры. Методы Симпсона и Монте-Карло. Использование процедуры двойного пересчета.

2.Задача. Провести интерполирование следующей таблицы методом парабол. Сделать прогноз значений функции при x=1.5 и x=6. Нанести интерполирующую функцию и данные на график (Excel) и сделать выводы по результатам решения задачи. Программу метода парабол необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 3.

1.Методы решения уравнения с одной переменной. Общая постановка задачи. Примеры задач, приводящих к необходимости решения уравнения с одной переменной из естественных наук. Этапы решения - отделение и уточнение корней. Методы уточнения корней: метод половинного деления и метод хорд. Условия остановки методов.

2.Задача. Провести интерполирование следующей таблицы методом Лагранжа. Сделать прогноз значений функции при x=3,9 и x=0,3. Нанести интерполирующую функцию и данные на график (Excel) и сделать выводы по результатам решения задачи. Программу метода Лагранжа необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 4.

1. Методы решения уравнения с одной переменной. Общая постановка задачи. Примеры задач, приводящих к необходимости решения уравнения с одной переменной из естественных наук. Этапы решения - отделение и уточнение корней. Методы уточнения корней: касательных, простой итерации, комбинированный метод. Условия остановки методов.

1

2. Задача. Вычислить ∫ sin(x) cos(2x)dx по методу Симпсона. Для достижения

0

относительной погрешности (ε=0,001) использовать метод двойного пересчета. Сделать анализ решения задачи. Программу необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 5.

1. Методы решения систем линейных уравнений. Общая постановка задачи. Примеры задач, приводящих к необходимости решения систем линейных уравнений. Алгоритм метода Гаусса.

условием y0=0,4; x0=1 по методу Рунге-Кутта. Решение получить на отрезке x [1;2]. Для достижения относительной погрешности (ε=0,001) использовать метод двойного пересчета. Построить график y(x) в программе Excel и провести анализ задачи. Программу решения дифференциального уравнения необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 6.

1.Методы вычисления определенных интегралов. Общая постановка задачи. Привести примеры. Методы прямоугольников и трапеций. Использование процедуры двойного пересчета.

2.Задача. Провести аппроксимацию таблицы квадратичной зависимостью по методу наименьших квадратов. Найти коэффициент корреляции для этой зависимости. Построить графики в программе Excel. Программу аппроксимации необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 7.

1.Методы интерполирования. Общая постановка задачи. Привести примеры. Методы интерполирования функций одной и нескольких переменных: параболическое интерполирование, определитель Вандермонда, использование метода парабол для интерполирования функций двух переменных. Достоинства и недостатки интерполирования, как метода построения математических моделей.

2.Задача. Решить дифференциальное уравнение dydx = 0,2 y 0,5 x с начальным

условием y0=0,3; x0=1 по методу Эйлера. Решение получить на отрезке x [1;2]. Для достижения относительной погрешности (ε=0,001) использовать метод двойного пересчета. Построить график y(x) в программе Excel и провести анализ задачи. Программу решения дифференциального уравнения необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 8.

1.Методы интерполирования. Общая постановка задачи. Привести примеры. Методы интерполирования функций одной переменной: интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона. Достоинства и недостатки интерполирования, как метода построения математических моделей.

2.Задача. Решить дифференциальное уравнение dydx = 0,1 yx с начальным ус-

ловием y0=0,25; x0=1 по методу Рунге-Кутта. Решение получить на отрезке x [1;2]. Для достижения относительной погрешности (ε=0,001) использовать метод двойного пересчета. Построить график y(x) в программе Excel и провести анализ задачи. Программу решения дифференциального уравнения необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 9.

1.Методы вычисления определенных интегралов. Общая постановка задачи. Привести примеры. Методы Симпсона и Монте-Карло. Использование процедуры двойного пересчета.

2.Задача. Решить дифференциальное уравнение dydx = 0,1 sin( yx) с начальным

условием y0=0,2; x0=1 по методу Эйлера с предикцией. Решение получить на отрезке x [1;2]. Для достижения относительной погрешности (ε=0,001) использовать метод двойного пересчета. Построить график y(x) в программе Excel и провести анализ задачи. Программу решения дифференциального уравнения необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 10.

1.Решение дифференциальных уравнений и их систем. Общая постановка задачи. Привести примеры задач, приводящих к необходимости решения систем дифференциальных уравнений. Методы Эйлера и Эйлера с предикцией. Погрешности методов. Использование метода двойного пересчета шага вычислений. Технология решения систем дифференциальных уравнений.

2.Задача. Провести аппроксимацию таблицы линейной зависимостью по методу наименьших квадратов. Найти коэффициент корреляции для этой зависимости. Построить графики в программе Excel. Программу аппроксимации необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 11.

1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Общая постановка задачи. Привести примеры задач, приводящих к необходимости решения систем дифференциальных уравнений. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Погрешности методов. Использование метода двойного пересчета шага вычислений. Технология решения систем дифференциальных уравнений.

2. Задача. Вычислить ∫1 cos3 (x)dx по методу прямоугольников. Для достижения

0

относительной погрешности (ε=0,001) использовать метод двойного пересчета. Сделать анализ решения задачи. Программу необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 12.

1.Методы корреляционного и регрессионного анализа. Общая постановка задачи. Привести примеры. Метод наименьших квадратов в случае линейной

инелинейной зависимостей. Приведение нелинейных зависимостей к линейному виду. Сравнение аппроксимации и интерполирования, как способов построения математически моделей на основе экспериментальных данных. Подсчет коэффициента корреляции.

2.Задача. Вычислить ∫1 sin 3 (x)dx по методу трапеций. Для достижения относи-

0

тельной погрешности (ε=0,001) использовать метод двойного пересчета. Сделать анализ решения задачи. Программу необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 13.

1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Общая постановка задачи. Привести примеры задач, приводящих к необходимости решения систем дифференциальных уравнений. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Погрешности методов. Использование метода двойного пересчета шага вычислений. Технология решения систем дифференциальных уравнений.

2. Задача. Вычислить ∫1 cos2 (x)dx по методу Симпсона. Для достижения отно-

0

сительной погрешности (ε=0,001) использовать метод двойного пересчета. Сделать анализ решения задачи. Программу необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 14.

1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Общая постановка задачи. Привести примеры задач, приводящих к необходимости решения систем дифференциальных уравнений. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Погрешности методов. Использование метода двойного пересчета шага вычислений. Технология решения систем дифференциальных уравнений.

2. Задача. Вычислить ∫1 sin(x)dx по методу Симпсона. Для достижения отно-

0

сительной погрешности (ε=0,001) использовать метод двойного пересчета. Сделать анализ решения задачи. Программу необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 15.

1.Методы интерполирования. Общая постановка задачи. Привести примеры. Методы интерполирования функций одной переменной: интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона. Достоинства и недостатки интерполирования, как метода построения математических моделей.

2.Задача. Вычислить 10∫47dxx по методу Монте-Карло. Для достижения относи-

0,1

тельной погрешности (ε=0,001) использовать метод двойного пересчета. Сделать анализ решения задачи. Программу необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 16.

1.Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Общая постановка задачи. Привести примеры задач, приводящих к необходимости решения систем дифференциальных уравнений. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Погрешности методов. Использование метода двойного пересчета шага вычислений. Технология решения систем дифференциальных уравнений.

2.Задача. Провести интерполирование функции двух переменных, представленной следующей таблицей. Сделать прогноз значения функции в точке x1=2,3; x2=1,4. Программу необходимо написать самостоятельно.

x1

Зав. кафедрой КММ

Билет № 17.

1.Методы интерполирования. Общая постановка задачи. Привести примеры. Методы интерполирования функций одной переменной: интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона. Достоинства и недостатки интерполирования, как метода построения математических моделей.

2.Задача. Провести интерполирование функции y=sin(x) на отрезке [0,1] параболами второй и третьей степеней. Провести оценку относительной погрешности такого интерполирования в первом и втором случаях. Нанести все три функции на график (Excel) и сделать выводы по результатам решения задачи. Программу необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 18.

1.Решение дифференциальных уравнений и их систем. Общая постановка задачи. Привести примеры задач, приводящих к необходимости решения систем дифференциальных уравнений. Методы Эйлера и Эйлера с предикцией. Погрешности методов. Использование метода двойного пересчета шага вычислений. Технология решения систем дифференциальных уравнений.

2.Задача. Провести интерполирование следующей таблицы методом Ньютона. Сделать прогноз значения функции при x=3,1 и x=5,6. Нанести интерполирующую функцию и данные на график (Excel) и сделать выводы по результатам решения задачи. Программу метода Ньютона необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 19.

1.Методы вычисления определенных интегралов. Общая постановка задачи. Привести примеры. Методы Симпсона и Монте-Карло. Использование процедуры двойного пересчета.

2.Задача. Провести интерполирование следующей таблицы методом Лагранжа. Сделать прогноз значения функции при x=2,4 и x=5,3. Нанести интерполирующую функцию и данные на график (Excel) и сделать выводы по результатам решения задачи. Программу метода Лагранжа необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ

Билет № 20.

1.Методы решения уравнения с одной переменной. Общая постановка задачи. Примеры задач, приводящих к необходимости решения уравнения с одной переменной из естественных наук. Этапы решения - отделение и уточнение корней. Методы уточнения корней: метод половинного деления и метод хорд. Условия остановки методов.

2.Задача. Провести интерполирование следующей таблицы методом парабол. Сделать прогноз значения функции при x=1.3 и x=5.6. Нанести интерполирующую функцию и данные на график (Excel) и сделать выводы по результатам решения задачи. Программу метода парабол необходимо написать самостоятельно.

Зав. кафедрой КММ