2. Расчет показателей асимметрии

Для получения приблизительного представления о формате распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). В практике статистических исследований приходится сталкиваться с различными распределениям. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинным распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородной изучаемой совокупности. В этом случае необходима перегруппировка данных с целью выделения более однородных групп. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а так же исчисление показателей асимметрии и эксцесса. Для сравнительного анализа степени асимметрии рассчитывается относительный показатель асимметрии:

.

Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина данного показателя указывает на наличие правосторонней асимметрии. Отрицательный знак показателя асимметрии говорит о наличии левосторонней асимметрии.

Есть еще один вариант определения правосторонней и левосторонней асимметрии. Если , то асимметрия левосторонняя. Проверка 137,5 169,8180,5 , следовательно, асимметрия правосторонняя, так как Мо < Me <.

Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем более степень скошенности. Принято считать, что если коэффициент асимметрии меньше 0,25, то асимметрия незначительная, если выше 0,5, то асимметрия значительная.

В данном случае можно говорить о незначительной асимметрии, так как значение данного коэффициента значительно меньше 0,25, ее наличие может быть объяснено влияние различных случайных обстоятельств. Графически интервальный вариационный ряд может быть представлен в виде гистограммы, полигона, кумуляты. Гистрограмма строиться в прямоугольной системе координат. По оси абсцисс откладываются интервалы значений вариационного признака. На отрезках (интервалах) строятся прямоугольники, высота которых соответствует частоте. На основе построенной гистограммы можно графически определить значение моды. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют прямой с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника соединяют с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения. Мо = 137,5 тыс.руб. На рис.1 эти прямые линии, соединяющие вершины прямоугольников, и перпендикуляр из точки их пересечения показаны пунктирной линией. На рис.2 представлена кумулятивная кривая (кумулята). Кумулята может быть использованна для графического определения медианы. Для этого последнюю ординату делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси Х, до пересечения ее с кумулятой. Из точки пересечения опускается перпендикуляр до оси абсцисс. Абсцисс тоски пересечения является медианой. Линии, определяющие медиану, на рис.2 показаны пунктирными линиями. Ме = 169,8 тыс.руб. Кривая линия, которая отражает закономерность изменения частот в чистом, исключающим влияние случайных факторов в виде. Называется кривой распределения.

Рис.1 Гистограмма распределения предприятий по прибыли

Рис.2 Кумулята распределения предприятий по прибыли.

В статистической практике большой интерес представляет решение вопроса о том, в какой мере можно считать полученное в результате статистического наблюдения распределение признака в исследуемой совокупности соответствующим нормальному распределению. Для ответа на этот вопрос следует рассчитать теоретические частоты нормального распределения, т.е. частоты, которые были бы, если бы данное распределение в точности следовало закону нормального распределения. Для расчета теоретических частот используется следующая формула:

где t – нормированное отклонение: ;

Следовательно, в зависимости от величины t – нормированного отклонения для каждого интервала эмпирического ряда – определяются теоретические частоты. Итак, сначала вычисляем теоретические частоты нормального распределения:

Расчет теоретических частот выполнен в таблице 8.

№	прибыль тыс. руб.	f				теоретические частоты,	Округленные теоретические частицы
1	73-116	5	94,5	-1,29	0,1736	2,801	2,8	2,2	1,7
2	116-159	6	137,5	-0,65	0,3230	5,212	5,2	0,8	0,1
3	159-202	5	180,5	0	0,3989	6,437	6,4	-1,4	0,3
4	202-245	4	223,5	0,65	0,3230	5,212	5,2	-1,2	0,3
5	245-288	3	266,5	1,29	0,1736	2,801	2,8	0,2	0,01
6	288-331	2	309,5	1,94	0,0608	0,981	1	1	1
Итого		25					23,4		3,41

При помощи критерия согласия Романовского проверяем соответствие эмпирического распределения нормальному.

Если то можно принять гипотезу о нормальном характере эмпирического распределения.

0,06 3 гипотеза о нормальном характере эмпирического распределения подтверждается.

Выводы:

1. В результате исследования совокупности было выяснено, что данная совокупность может рассматриваться как неоднородная, так как значение коэффициента вариации больше 33% и составляет 36,9%.

2. Медианное значение прибыли в 4-м квартале отчетного года составляет 169,8 тыс. руб., то есть половина предприятий имеет прибыль меньше 169,8 тыс. руб., а другая половина – больше. Наиболее часто встречающееся значение прибыли (модальное) – 137,5 тыс. руб.

3. Среднее линейное и среднее квадратическое отклонения соответственно равны 55,08 тыс. руб. и 66,61 тыс руб. Эти величины показывают, насколько индивидуальные значения признака отличаются от среднего его значения. Среднее квадратическое отклонение со свойством мажорантности средних.

4. Четверть предприятий (25%) имеет прибыль до тыс. руб., а три четверти (75%) – выше. Три четверти имеют прибыль до тыс. руб., а четверть (25%) – выше. Квартильное отклонение, которое определяют вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений, составляет тыс. руб.

5. Асимметрия левосторонняя незначительная.

6. На рисунках 1 и 2 показано, как можно графически определить моду и медиану.

7. На рисунке 3 представлено эмпирическое и теоретическое распределение числа предприятий по прибыли. Сопоставление на графике эмпирического распределения и кривой нормального распределения свидетельствует о согласованности распределения.

8. Согласно критерию Романовского гипотеза о близости эмпирического распределения нормальному подтверждается.

Задание 6. Расчеты задания связаны с определением характеристик генеральной совокупности по выборочным данным.

Предполагается, что исходные данные по 25 предприятиям являются 5-процентной выборкой из некоторой генеральной совокупности. В связи с этим возникают следующие задачи:

1. Определение характеристик выборочной совокупности: средней величины , дисперсии (, доли единиц, обладающих значением изучаемого признака (, дисперсии доли W*(1-W)/

2. Расчет ошибок выборки ( ).

3. Распространение результатов выборки на генеральную совокупность путем определения доверительных интервалов, в которых с определенной вероятностью можно гарантировать нахождение характеристик генеральной совокупности.

Для проведения расчетов используем результаты расчетов, сделанных ранее:

тыс. руб. .

Для расчета ошибок выборки следует воспользоваться формулами для бесповторного отбора, тат как по условию можно определить численность генеральной совокупности (N).

Средняя ошибка выборки для средней величины (.

где дисперсия выборочной совокупности;

n – численность единиц выборочной совокупности;

N – численность генеральной совокупности;

Так как n=25, что составляет 5% от численности генеральной совокупности, то N=500.

Предельная ошибка для средней:

где t – коэффициент доверия, принимаемый в зависимости от уровня доверительной вероятности 0,954 и числа степеней свободы (к) к = n – 1, для малой выборки определяется по таблице распределения Стьюдента.

При вероятности Р = 0,954 и к = 24 значение t = 2,0639.

Доверительный интервал:

С вероятностью 0,954 можно гарантировать, что средняя величина оборотного капитала в расчете на одно предприятие по генеральной совокупности будет находиться в пределах от 524,36 тыс. руб. до 1003,04 тыс. руб.

Число предприятий, у которых величина оборотного капитала меньше средней величины по выборочной совокупности, определим по первичным данным (таблица 2) – 13, их доля (W) в выборочной совокупности:

Средняя ошибка доли для бесповторного отбора:

Предельная ошибка При вероятности 0,954 t = 2,0639.

Доверительный интервал:

где P – доля единиц генеральной совокупности.

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно гарантировать, что доля предприятий, у которых величина оборотного капитала меньше среднего значения, будет находиться в пределах от 0,399% до 0,801 %.

Задание 7. Выполнение задания связано с проведением корреляционно-регрессивного анализа.

Корреляционной называется взаимосвязь между факторным и результативным показателем, которая проявляется только «в общем и среднем» при массовом наблюдении фактических данных.

Условием корректного использования корреляционного метода является однородность совокупности. Неоднородность возникает в результате высокой вариации признака или при наличии в совокупности резко выделяющихся, так называемых «аномальных» наблюдений. С целью выявления такого рода наблюдений используют правило трех сигм, которой состоит в том, что «аномальным» будут считаться те единицы совокупности (те предприятия), у которых значения анализируемого признака будут выходить за рамки интервала , где среднее значение факторного показателя, среднее квадратическое отклонение по факторному признаку.

Выделив и исключив «аномальные» единицы, оценку однородности проводят по коэффициенту вариации (V): , который должен быть не более 33,3%.

Для выявления «аномальных» наблюдений по первичным данным о величине оборотного капитала рассчитаем его среднюю величину и среднее квадратическое отклонение.

Таблица 9

№	Оборотный капитал, тыс. руб.			Прибыль, тыс. руб.	)		)
1	610	-153,7	23623,7	129	-51,5	2652,3	7884,8
2	536	-227,7	51847,3	86	-94,5	8930,3	21472,1
3	634	-129,7	16822,1	127	-53,5	2862,3	6913,0
4	726	-37,7	1421,3	184	3,5	12,3	-143,3
5	482	-281,7	79354,9	73	-107,5	11556,3	30226,4
6	510	-253,7	64363,7	82	-98,5	9702,3	24938,7
7	547	-216,7	46958,9	110	-70,5	4970,3	15234,0
8	495	-268,7	72199,7	81	-99,5	9900,3	26681,9
9	866	102,3	10465,3	210	29,5	870,3	3048,5
10	732	-31,7	1004,9	190	9,5	90,3	-310,7
11	807	43,3	1874,9	184	3,5	12,3	164,5
12	664	-99,7	9940,7	135	-45,5	2070,3	4516,4
13	693	-70,7	4998,5	156	-24,5	600,3	1718,0
14	751	-12,7	161,3	175	-5,5	30,3	67,3
15	708	-55,7	3102,5	157	-23,5	552,3	1297,8
16	836	72,3	5227,3	210	29,5	870,3	2154,5
17	894	130,3	16978,1	216	35,5	1260,3	4664,7
18	1230	466,3	217435,7	315	134,5	18090,3	62857,2
19	975	211,3	44647,7	269	88,5	7832,3	18763,4
20	851	87,3	7621,3	235	54,5	2970,3	4784,0
21	1186	422,3	178337,3	286	105,5	11130,3	44679,3
22	989	225,3	50760,1	259	78,5	6162,3	17753,6
23	678	-85,7	7344,5	167	-13,5	182,3	1139,8
24	748	-15,7	246,5	157	-23,5	552,3	365,8
25	944	180,3	32508,1	314	133,5	17822,3	24124,1
итого	19092		949245,7	4507			324995,8

;

764 – 3*195764+3*195

1349

Так как минимальное значение оборотного капитала (495 тыс. руб.) больше нижней границе интервала (179 тыс. руб.), а максимальное значение (1230 тыс. руб.) меньше его границы (1349 тыс. руб.), то можно считать, что в данной совокупности аномальных наблюдений нет.

Проверка однородности совокупности осуществляется по коэффициенту вариации:

Таким образом, совокупность однородна. Если рассчитанное значение коэффициента вариации будет больше 33,3%, то следует исключить крайние значения признака и снова рассчитать коэффициент вариации.

Вывод: данная совокупность однородна и аномальных наблюдений в ней нет.

При проведении корреляционного анализа решаются следующие задачи:

1. содержательный анализ исходных данных и установление факторного и результативного показателей;

2. установление факта наличия связи, определения ее направления и формы;

3. расчет параметров регрессионной модели и нахождение аналитического выражения связи (управление регрессии);

4. оценка адекватности модели, ее экономическая интерпретация.

Содержательный анализ проводился ранее, в результате установлено, что оборотный капитал – факторный признак (х), прибыли результативный (у).

Установление факта наличия связи осуществляется на основе группировочной таблицы (таблица 10) и графическим способом путем изображения поля корреляции и графика эмпирической линии регрессии (рис. 4).

Таблица 10

№	Оборотный капитал, тыс. руб.	Число предприятий	Середина интервала (Xi)	Прибыль в среднем на одно предприятие
1	482-632	6	557	93,5
2	632-782	9	707	160,88
3	782-932	5	857	211
4	932-1082	3	1007	280,66
5	1082-1232	2	1157	300,5

Анализ таблицы 10 свидетельствует о прямой связи между оборотнымкапиталом и прибылью предприятий.

Эмпирическую линию регрессии (рис. 4) строим по данным таблицы 9, принимая за Хi середину интервала, за Yi прибыль в среднем на одно предприятие по каждой группе.

Поле корреляции, имеющее форму вытянутого эллипса, и направление эмпирической линии регрессии свидетельствует также о наличии прямой зависимости между прибылью и величиной оборотного капитала.

Предполагая, что зависимость между оборотным капиталом и прибылью имеет линейную форму, определим тесноту связи на основе линейного коэффициента корреляции. Для этого используем расчеты из таблицы 9.

,

Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь.

Значение свидетельствует о тесной связи между величиной оборотного капитала и прибылью предприятия.

Однако, чтобы это утверждать, необходимо дать оценку существенности линейного коэффициента корреляции, что можно сделать на основе расчета t-критерия Стьюдента.

t_табл. находим по таблицам Стьюдента. Для числа степеней свободы К=n – 2 = 23 и уровня значимости 1% t_табл. = 2,797.

25,52,797.

Следовательно, с вероятностью 0,99 можно утверждать существенность коэффициента корреляции, т.е. в генеральной совокупности существует тесная зависимость между величиной оборотного капитала и прибылью предприятия.

В случае линейной связи параметры уравнения регрессии могут быть найдены решением системы уравнений:

или

Y = - 48,9 + 0,3х – уравнение регрессии.

Коэффициент регрессии b = 0,3 говорит о том, при увеличении оборотного капитала на 1 тыс. руб. прибыль в среднем возрастает на 0,3 тыс. руб., или на 300 рублей.

По коэффициенту регрессии можно рассчитать коэффициент эластичности (Э_i) и -коэффициент.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов увеличится результативный показатель при увеличении факторного признака на 1%.

-коэффициент говорит о том, на сколько среднеквадратических отклонений изменится результативный показатель при изменении факторного признака на одно свое среднеквадратическое отклонение.

= 1,27, следовательно, при увеличении оборотного капитала на 1% прибыль в среднем увеличится на 1,27%.

= 0,88, при увеличении оборотного капитала на одно среднеквадратическое отклонение прибыль увеличится на 0,88% своих среднеквадратических отклонений.

Задание 8. Изучение множественной корелляционной зависимости начинают с построения матрицы парных коэффициентов корреляции. В модель множественной зависимости могут быть включены те факторы, у которых степень тесноты связи с результативным показателем выше, однако при этом необходимо соблюдать требование по возможности меньшей коррелированности включенных в модель признаков-факторов.