36.Переходные процессы в простейшей rl-цепи

Процессы в RL-цепи с последовательным соединением элементов (рис. 15.4,а) рассчитываются аналогично.

Рис. 15.4

Дифференциальное уравнение для тока имеет вид

L di/dt + Ri = u₀(t).

Оно не требует преобразования, так как сам ток iявляется переменной состояния. Запишем общее решение уравнения в виде суммы вынужденной и свободной составляющих

Характеристическое уравнение

имеет корень = –R/L, поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид

где =L/R— постоянная времени индуктивной цепи.

Вид частного решения i' зависит от характера напряжения источника.

1. Включение к источнику постоянного напряжения(u₀(t) =U₀= const). В этом случае приtв цепи устанавливается постоянный ток, падение напряжения на индуктивности становится равным нулю, и все напряжение источника приложено к резистору. Поэтому этот ток будет равнымi' =U₀/R. Теперь для определения значений постояннойAв общем решении

используем, как и выше, закон коммутации — условие непрерывности тока в цепи в момент коммутации. Так как до замыкания i(– 0) = 0, то

и A= –U₀/R. Это приводит к окончательным выражениям для тока в цепи и напряжения на индуктивности

Характер зависимостей тока и напряжения на катушке от времени (рис. 15.4, б) аналогичен кривым дляu_C(t) иi(t) вRC-цепи.

2. Замыкание цепи RL накоротко. Процессы при коротком замыкании цепи, в которой ранее протекал токI₀(рис. 15.5,а), описываются однородным уравнением (u₀(t) = 0);

Рис. 15.5

общее решение для тока в цепи имеет лишь свободную составляющую

Из начального условия имеем i(0) =I₀=A, поэтому окончательно

а напряжение на катушке равно

Соответствующие кривые изображены на рис. 15.5, б. Ток после замыкания катушки сохраняет направление, а напряжение принимает скачком в момент коммутации значение –I₀R, после чего спадает по экспоненте. При большом значении сопротивления цепи разряда начальный скачок может вызвать перенапряжение на элементах цепи. Так, если закорачивающая ветвь сама имеет большое значение сопротивленияR₀>>R(изображено штриховой линией на рис. 15.5,а), модуль  начального напряжения возрастет до значенияI₀(R+R₀), что может привести к повреждению элементов цепи.

3. Включение к источнику синусоидального напряженияu₀(t) =U_m0sin (t+). Общее решение дифференциального уравнения для тока сохраняет форму

где постоянная времени =L/R.

Для нахождения частного решения рассмотрим установившийся режим в цепи при tпо окончании переходного процесса. Используя комплексный метод, найдем комплексную амплитуду тока

где — полное сопротивление цепи;= arctg (L/R)  — угол сдвига фаз между напряжением и током. Мгновенное значение установившегося тока равно

i'(t) =I_msin (t + –),

где I_m=U_m/z— амплитуда установившегося тока.

Для определения постоянной Aиспользуем начальное условие

i(0) = i'(0) + A =  I_m sin ( – ) + A,

откуда A= –I_msin (–). Поэтому окончательно для тока имеем

i(t) =  I_m sin (t +  –  – I_m sin ( – ) e^-t/.

Кривые тока в цепи, отвечающие этому выражению, изображены на рис. 15.6.

Рис. 15.6

Здесь, как и у рассмотренных выше зависимостей для u_C(t) в емкостной цепи (см. рис. 15.3, а), возможно отсутствие апериодической составляющей тока переходного процесса (i" = 0), если начальная фаза напряжения в момент включения=, и sin (–) = 0. Наоборот, апериодическая составляющая максимальна, если–=/2, и ее начальное значение равно амплитуде токаI_m. В этом случае максимальное значение токаi_maxотмечается через полпериода после включения. Поскольку к этому моменту апериодическая составляющая уже успевает уменьшиться, максимальное значениеi_maxI_m(1 + e^{–/}) не может превысить удвоенной амплитуды токаI_m. ОтношениеK_I=i_max /I_m— ударный коэффициент — тем ближе к двум, чем больше значение параметра=L/R— добротность контура.

37.

Рассмотрим последовательную RC-цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора и конденсатора.

Напряжение на зажимах цепи

По второму закону Кирхгофа это же напряжение можно определить как сумму падений напряжений на резисторе и конденсаторе

где

Тогда первое выражение можно переписать в следующем виде

Ток в цепи равен

Подставив в выражение выше, и выполнив интегрирование, получим

Напряжение на резисторе равно

Напряжение на конденсаторе

Как видно из последнего выражения напряжение на конденсаторе отстает от тока на угол π/2.

Реактивное (емкостное) сопротивление конденсатора равно

С уменьшением частоты емкостное сопротивление конденсатора увеличивается. При постоянном токе оно равно бесконечности, так как частота равна нулю.

Сдвиг фаз в последовательной RC – цепи можно определить по формуле

Полное сопротивление RC-цепи

Амплитудное значение тока

Рассмотрим пример решения задачи с RC-цепью

Полное сопротивление последовательной RC- цепи равно 24 Ом. Напряжение на резисторе равно 10 В, а его сопротивление 20 Ом. Найдите С, Uc, U, I, сдвиг фаз φ. Постройте векторную диаграмму.

Найдем ток, протекающий через резистор. Так как соединение последовательное, то этот ток будет общим для всей цепи.

Зная ток и сопротивление цепи, найдем напряжение

Емкостное сопротивление конденсатора

Зная сопротивление, найдем напряжение и емкость

Сдвиг фаз

Построим векторную диаграмму RC – цепи, при этом учитываем, что напряжение на конденсаторе отстает от тока (это видно по знаку сдвига фаз).

Сначала откладывается вектор тока в цепи, затем напряжение на резисторе и напряжение на конденсаторе. Затем строится вектор общего напряжения как сумма векторов напряжений на конденсаторе и на резисторе.

38.

39.