10)Метод ортогонализации базиса.

Ортогонализация ― процесс построения по заданному базису линейного пространства некоторого ортогонального базиса, который имеет ту же самую линейную оболочку

Для получения ортогонального базиса часто используется процесс Грама — Шмидта, в ходе которого из каждого вектора данного набора, начиная со второго, вычитается его проекция на подпространство, порождённое всеми предыдущими векторами.

Пусть и— два базиса евклидова пространства, a— матрица перехода от базисак базису. Требуется найти связь матриц Грама систем векторови.По формулевычислим скалярное произведение векторовив разных базисах:

где и— координатные столбцы векторовив соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи, получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому:

Записав это равенство для ортонормированных базисов и, получаем, так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные:. Поэтомуматрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: 

12.Многочлены Лежандра

Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)

 

9)Евклидовое пространство. Ортогональные и ортонормированные базисы.

Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре элементовэтого пространства поставлено в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности. Базис евклидова пространства называетсяортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

 при 

Базис евклидова пространства называетсяортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

11. Ортогональные преобразования (операторы)

 Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярно произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство где треугольными скобками обозначено скалярное произведение в пространстве .

Свойства:

Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный.

Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования является равенство

где  — сопряжённое, а  — обратное преобразования.

В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы является равенство (*), где — транспонированная, а — обратная матрицы.

Собственные значения ортогональных преобразований равны или , а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Определитель ортогонального преобразования равен (собственное ортогональное преобразование) или (несобственное ортогональное преобразование).

В произвольном -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.

Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).