- •Задание
- •Указания к выполнению задания
- •1. Используя теорему об изменении кинетической энергии, найдите скорость первого груза тот в момент времени, когда пройденный им путь будет равным .
- •3. Воспользовавшись принципом д’Аламбера и найденными в предыдущем пункте ускорениями найти реакции внешних и внутренних связей механической системы.
- •4. Выбрав в качестве обобщенной координаты пройденный грузом 1 путь и составив уравнение Лагранжа второго рода, найти ускорение этого груза.
1. Используя теорему об изменении кинетической энергии, найдите скорость первого груза тот в момент времени, когда пройденный им путь будет равным .
Решение. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Так как в начальный момент времени механическая система находилась в покое, . По условию задания нити, соединяющие тела механической системы предполагаются нерастяжимыми, проскальзывание между телами отсутствует, поэтому . Тогда из теоремы следует:
.
Рис. 15
Вычислим T – кинетическую энергию системы. Груз 1 совершает поступательное движение, значит:
.
Блок 2 вращается вокруг неподвижной оси, поэтому
.
Момент инерции блока 2: , а его угловая скорость . Таким образом, кинетическая энергия блока 2 принимает
вид
.
Так как каток 3 совершает плоское движение:
.
Поскольку нити предполагаются нерастяжимыми, . Точка P является мгновенным центром скоростей третьего тела, значит:
.
Откуда следует:
.
Момент инерции катка 3 определим по заданному радиусу инерции :
.
Подставляя и в выражение , получим
.
Кинетическая энергия груза 4:
.
Так как нити предполагаются нерастяжимыми, . Анализируя движение третьего тела, выразим :
.
Тогда
.
Складывая теперь кинетические энергии тел механической системы, найдем
.
Вычислим сумму работ приложенных к системе внешних сил:
:
Работа силы тяжести груза 1:
.
Аналогично определяется работа силы тяжести катка:
.
Путь, пройденный точкой С, можно определить из равенства , представив его в виде . Умножая последнее соотношение на dt и интегрируя, получим . Тогда
.
Аналогичным образом из несложно получить .
Найдем работу сил трения качения катка 3.
.
Поэтому
.
Работа силы тяжести груза 4: , где находится из выражения через путем интегрирования: .
.
Последнее слагаемое – работу сил трения скольжения груза 4
определим по формуле
.
Тогда сумма работ внешних сил равна:
.
Приравнивая выражение кинетической энергии механической системы к сумме работ внешних сил, получим равенство, из которого следует
м/с.
2. Применяя общее уравнение динамики, найдите: ускорения тел, движущихся поступательно; ускорения центров масс тел, совершающих плоское движение; угловые ускорения тел, совершающих вращательное и плоское движения.
Решение. В соответствии с общим уравнением динамики изобразим на рисунке активные силы и даламберовы силы инерции (рис. 16).
Так как груз 1 совершает поступательное движение, элементарные силы инерции всех его точек приводятся к равнодействующей, равной по модулю
.
Линия действия вектора проходит через центр масс этого тела. Блок 2 вращается вокруг неподвижной оси, поэтому силы инерции точек этого тела приводятся к паре сил с моментом, абсолютное значение которого . Момент инерции был определен ранее (см. с. 45), а угловое ускорение находится дифференцированием по времени угловой скорости : . Тогда
.
Элементарные силы инерции катка 3 приводятся в его центре масс к силе, модуль которой , и паре сил с моментом, равным по абсолютному значению . Момент инерции найден ранее, а ускорение и угловое ускорение определяются из выражений и дифференцированием их по времени: . Отсюда
, .
Груз 4 движется поступательно, значит:
,
где находится из дифференцированием по времени.
Рис. 16
Придадим центру масс груза 1 возможное перемещение . Так как наложенные на механическую систему связи являются стационарными, неосвобождающими и голономными, значения возможных перемещений других точек системы выражаются через точно так же, как скорости этих точек через :
.
Составим общее уравнение динамики:
Подставляя сюда найденные ранее момент силы трения качения, силу трения скольжения, силы и моменты сил инерции, а также выражения возможных перемещений, получим:
.
Откуда окончательно:
м/с2.
Тогда м/с2; м/с2; с-2; с-2.