Глава 1. Решение задачи

1.1. Постановка задачи

Рассмотрим межконтинентальную баллистическую ракету Р-9 / Р-9А (8К75)SS-8/(Sasin), которая базируется на экваторе и стартует в направление вращения Земли.

1. Исследовать полет одноступенчатой ракеты, если угол атаки и масса боеголовки . Определить оптимальные параметры угла атакии мгновенной скорости сгорания топлива , при которых дальность полета будет максимальной .

2. Исследовать полет одноступенчатой ракеты, если угол атаки и масса боеголовки . Определить оптимальные параметры константы и мгновенной скорости сгорания топлива , при которых дальность полета будет максимальной .

3. Исследовать полет двухступенчатой ракеты.

4. Исследовать полет трехступенчатой ракеты.

5. Определить максимальную массу боеголовки на некотором расстоянии.

1.2. Вывод уравнения движения

Движение Земли и МБР является примером задачи двух тел. Решать эту задачу будем в не инерциальной системе отсчета.

Уравнение движения МБР будет являться уравнение Мещерского:

где – сила инерции,– реактивная сила,– сила сопротивления воздуха,– сила Кориолиса,– масса МБР,– ускорение свободного падения,– ускорение МБР.

где – угловая скорость вращения Земли.

где – скорость сгорания топлива,– относительная скорость отделяющихся частиц.

где – ускорение свободного падения на экваторе,– радиус Земли,– расстояние от центра Земли до МБР,– масса Земли,– постоянная тяготения.

где – плотность воздуха,– диаметр МБР,– скорость МБР, γ – угол раствора МБР,– на поверхности Земли,– высота над уровнем моря.

В результате получаем

Для целей численного моделирования удобно записать уравнение в декартовых координатах.

Координаты x:

Координаты y:

где

Для упрощения формулы введем коэффициенты:

Получим систему:

Система является задачей Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения задачи Коши нужно задать начальные условия:

1.3. Методика численного решения дифференциального уравнения

Меерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутты четвертого порядка, который заключается в построение вычислительных схем в тейлоровском разложении искомого решения уравнения учитывая члены до четвертого включительно. Меерсон ввел оценку погрешность на каждом шаге, и принимать решение об изменении шага. Схему Меерсона приведем к виду, удобному для программирования,

где

Схема Меерсона требует на каждом шаге вычислять правую часть ОДУ в пяти точках, но за счет только одного дополнительного коэффициента , по сравнению с классической схемой Рунге-Кутты на каждом шаге можно определить погрешность решенияпо формуле

Для автоматического выбора шага интегрирования рекомендуется следующий критерий. Если абсолютное значение величины , окажется больше допустимой заданной погрешности,

то шаг h уменьшится в два раза. При выполнении условия

шаг можно удвоить.

1.4. Использования метода линейной аппроксимации

В расчетах требуется установить функцию f(x) для всех значений x отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Одним из способов приближения функции является интерполяция.

Простейшим и часто используемым видом интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки x_i, y_i при i=0,1,2,..n соединяются прямолинейными отрезками и функцию f(x) можно приближенно представить ломанной с вершинами в данных точках.

Уравнения каждого отрезка в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (x_i-1,x_i), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнения прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интеграла можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i-1,y_i-1)и(x_i,y_i), в виде

Отсюда

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в котором попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу и найти приближенное значение функции в этой точки.