3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

: z = 2x²-3y²+xy+3x+1, M₀( 1, -1, 2).

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

, z=ln(x²+(y+1)²).

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

z=2x²y – x³y – x²y²; D: x=0, y=0, x+y=6.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

a) S: , y= 10x;

б) S: , , , .

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

D: x²+y²=4, x²+y²=9, x 0, y 0, .

9. Знайти об'єм тіла V:

, z = 5, x²+y² 45

10. Знайти масу тіла V:

V: 16(x²+y²)=z², x²+y²=1, x, y, z, =5(x²+y²).

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: x=y²+z², y²+z²=1, x=0, ox.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB – частина астроїди , від (·) А до (·) В

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) - частина площини x+2y+2z=4, отримана в перетині з координатними площинами;

б) - внутрішня частина поверхні z²=x²+y² між площинами z=0, z=1.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) - частина поверхні x²+y²=z², отримана в перетині з площинами z=0, z=1;

б) - замкнена поверхня y=x², y=4x², y=1, (x³ 0), z=y, z=0.

ВАРІАНТ 4

1. Знайти область визначення функції

z=ln( 4-x²-y²).

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

, x=sint, y=cost.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

s: z=x²+2y²+4 xy-5y-10, M_o(-7, 1, 8).

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком диференціального рівняння

, z = x^y.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

z=x²+2xy+4 x-y²; , x=0, y=0.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

   1. S: y=3 , , x=9;

б) S: x²-2х+y²=0, x²-4х+y²=0, y=0, y=х.

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

D: x=0,5 ,y  , y²=2x,  =4x+9y².

9. Знайти об'єм тіла V:

, .

10. Знайти масу тіла V:

V: x²+y²+z²=16, x²+y²=9z², x , y , (z ), =5z.

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: y²=x²+z², y=2, Oy.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB частина кола від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини 2x+y+2z=1, отримана в перетині з координатними площинами;

б) , - внутрішня сторона поверхні куба: х=0, у=0, z=0, х=1, у=1, z=1, без поверхні z=1.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) , - частина поверхні x²+y²=4, отримана в перетині з площинами z=0, z=4;

б) , - замкнена поверхня .

ВАРІАНТ 5