1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції по аргументу t:

.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння:

.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

9. Знайти об'єм тіла V:

.

10. Знайти масу тіла V:

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б).

Тут AB - частина кола від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) - частина площини , отримана в перетині з координатними площинами;

б) - внутрішня сторона поверхні в перетині з циліндром .

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) - частина поверхні в перетині з площинами ;

б) - замкнена поверхня .

ВАРІАНТ 26

1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

z= arcsin , x= sint, y= cost.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

σ: x² +z²-5yz+3y=46, M₀(1,2,-3).

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

=0, z= arcsin.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

z=2x³ - ху² + y² : x=0, x=1, y=0, y=6.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

a) S: x= 5-y², x=- 4y;

б) S: x²-4x+y²=0, x²-8х+y²=0, y= , y= x.

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

D: x=2, y≥0, y²=, ρ=.

9. Знайти об'єм тіла V:

, z =3, x²+y² ≤ 33.

10. Знайти масу тіла V:

V: x²+y²=1, x²+y²=6z, x≥0, y≥0, z≥0 , ρ=90y.

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: 2z=x²+y², x²+y²=9, z=0, oz.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина евольвенти кола від точки А до точки B.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини 2x+y-z=6, отримана в перетині з координатними площинами;

б) , - зовнішня сторона поверхні в перетині з z=2.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) =(x+y)+(x-z)+(x+z), - частина поверхні y²+z²=x² в перетині з площинами x=0, x=10;

б) =-2x+z+(x+y), - замкнена поверхня x²+y²=2y, z=x²+y², z=0.

ВАРІАНТ 27

1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

z = ln(e^2x+ e^3y), x=t², y= t⁴.