Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уманский государственный педагогический университет им. П. Тычины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Квантова механіка. Лекції. Модуль 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

593.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

наприклад, електронів у металі чи нуклонів у ядрі.

Оскільки частинка може рухатися тільки в області потенціальної ями, то її хвильова функція за межами цієї області дорівнює нулю. З умови неперервності випливає, що вона дорівнює 0 також в точках х=0 і х=l, тобто

ψ (0) =ψ (l) = 0 .

(2)

Умови (1) є граничними умовами для розв'язку рівняння Шредінгера в нескінчено глибокій потенціальній ямі. В області 0<x<l рівняння Шредінгера для стаціонарних станів має вигляд:

		−	2	d 2ψ	= Eψ ,	(3)

			2m dx2
розв'язок якого можна записати як
		ψ (x) = Asin kx + B cos kx ,				(4)
де k =		/ . Використовуючи граничні умови (2), знайдемо
	2mE
		ψ (0) = A sin 0 + B cos 0 = B = 0
		ψ (x) = Asin kx
		ψ (l) = 0 = Asin kl = 0
		A ≠ 0, sin kl = 0 kl = nπ ,				(5)

де n=1, 2, 3,… - довільне додатне число (при n=0 ми отримали б ψ ≡ 0 , що означало б відсутність частинки у всьому просторі). Умова (5) дозволяє знайти можливі зна- чення енергії:

		=	π 2 2
2mE l / = nπ E	n			n2 .	(6)
			2ml 2

Енергія частинки у нескінченно глибокій потенціальній ямі виявляється ква- нтованою. Дискретність енергії виникла без жодних додаткових припущень, лише з граничних умов, які були накладені на хвильову функцію на кінцях проміжку інте- грування.

Ми виявили, що при необмеженому русі мікрооб’єктів енергетичні спектри є неперервними( E = p2 / 2m для вільної частинки, де імпульс р приймає будь-які зна- чення), а при обмеженому русі – дискретними; в тих випадках, коли рух може бути і обмежений, і необмежений, частинка може мати як дискретну, так і неперервну складову спектра.

Знайдемо нормувальну сталу Аn у хвильовій функції (4), яка, з урахуванням

(5), дорівнює ψ

(x) = A sin k

π nx

. З умови нормування

1 − cos

2π nx

dx = 1 = A2

sin2 π nx dx = A 2

cos

2nπ xdx) =

dx = An

( dx −

∫

l A

Отже, нормована хвильова функція частинки у потенціальній ямі має вигляд:

ψ n (x) =	2	sin	nπ x	.	(7)
	l
			l

Виходячи із імовірнісного хвильової функції, знайдемо ймовірність перебу- вання частинки в області b < x < c потенціальної ями:

(b < x < c) = c

ψ 2

(x)dx =

c sin2

nπ x

dx =

c − b

−

sin 2π nc − sin 2π nb

(8)

∫

2π n

Найменшу енергію має рівень, що відповідає квантовому числу n = 1:

E =	π	2 2	.	(9)
	2ml 2
1

Цей рівень називається основним. Всі інші, з n > 1 і енергіями En = n2 E1 , називають-

ся збудженими рівнями. Відстань між двома сусідніми рівнями (∆n=1) зростає із збільшенням n

∆E

= E

− E

π 2 2

((n +1)2 − n2 ) =

π 2 2

(2n + 1) .

(10)

n+1

2ml

Проте, відношення

∆En

і наближається до 0 при дуже великих n, тобто дискре-

En n

тність квантових станів перестає проявлятись при дуже великих квантових числах і фактично відбувається перехід до неперервної зміни енергії.

Оцінимо ∆Е для електрона ( m 10−27 г ), що перебуває в області l~5·10-8см, знайдемо ∆Е~1еВ. Навпаки, для молекули m 10−23 г , що рухається, наприклад, в області l~10см, відстань між рівнями ∆Е~10–20 еВ. Ця відстань настільки мала, на- приклад, порівняно з середньою енергією теплового руху kT~0,05 еВ, що енергію теплового руху молекули можна вважати практично неперервно змінною величи- ною.

§ 21. Орбітальний рух частинки. Квантування моменту імпульсу частинки

Однією з важливих величин, що характеризують орбітальний рух, є момент імпульсу. В атомній фізиці він часто має певні значення разом з енергією. Опера- тор моменту імпульсу

= −i

r ×

(1)

має проекції на декартові вісі координат:

∂

M x = −i y

− z

; M y = −i z

− x

; M z

= −i x

− y

∂z

∂y

∂x

∂z

∂y

∂x

Можна показати,

що

оператори

задовольняють

комутаційним

M x , M y ,

M z

співвідношенням:

;

(2)

M x , M y

= i M z

;

M y , M z

= i M x

M z

, M x

= i M y .

Оскільки вони не комутують між собою, то не існує станів з трьома визначеними проекціями моменту імпульсу (за винятком стану з Mx=My=Mz=0). Проте, оператор

квадрату моменту імпульсу	2 2	2 2	комутує з операторами проекцій
	M = M x	+ M y + M z

, , . Це означає, що можливі стани з певним модулем моменту імпульсу (з

M x M y M z

певним значенням величини М2) і якої-небудь його проекції.

При вивченні руху частинки у центральному полі доцільно використовувати сферичні координати r,θ,φ. Перейшовши у формулах для проекцій моменту імпу- льсу до змінних r,θ,φ за допомогою перетворень:

x=rsinθcosφ, y=rsinθsinφ, z=rcosθ,

отримаємо

∂

M x = −i (sin ϕ

+ ctgθ cosϕ

)

∂θ

∂ϕ

∂

(3)

M y = −i (cosϕ

− ctgθ sin ϕ

)

∂θ

∂ϕ

∂

M z = −i

∂ϕ

1 ∂

∂

1 ∂2

M = −

∆θϕ = −

[

(sin θ

) +

] .

(4)

sin θ

∂θ

sin2 θ

∂ϕ 2

Оскільки вісь Oz вибрана в якості полярної вісі, рівноправність трьох декар- тових осей координат Ox, Oy, Oz при переході до сферичних координат втрачаєть- ся: тепер виділено деякий напрям у просторі і зручно розглядати стани з певними значеннями M z і M 2 . За третім постулатом квантової механіки ці значення отри-

						2	:
муються з рівнянь для власних значень і власних функцій операторів M z						і M	:
				2	2		(5)
		M zψ = M zψ ;		M ψ = M ψ .			(5)
	і	2	комутують, то вони мають спільну систему вла-
Оскільки оператори M z	і	M	комутують, то вони мають спільну систему вла-

сних функцій, для знаходження якої розв’яжемо друге рівняння з (5), яке згідно з

(4) приймає вигляд:

1 ∂

∂ψ

1 ∂2ψ M 2

sin θ

= −

ψ .

(6)

sin

θ ∂ϕ

sin θ ∂θ

∂θ

Це рівняння добре відоме в методах математичної фізики. Воно має однозначні, неперервні і всюди обмежені розв'язки при умові

M 2 = 2l (l + 1) , l = 0,1, 2,... ,

(7)

яка визначає власні значення квадрата моменту імпульсу. Розшукувані розв’язки рівняння (6) називаються сферичними функціями. Сферична функція індексів l і m позначається символом Ylm і має вигляд

Y (θ ,ϕ ) = N	l	m	P	m	(cosθ )eimϕ ,	(8)

lm			l

де P

(cosθ ) - приєднаний поліном Лежандра від аргументу cosθ. Він дорівнює

l +

(x) =

(1 − x2 ) 2

(x2

−1)l

l = 0,1,2,…

(9)

2l l !

dxl +

Якщо сферичні функції нормовані умовою

π 2π

∫ ∫ | Ylm |2 sin θ dθ dϕ = 1,

(10)

то нормувальний множник у (8) дорівнює

(l −

2l + 1

(l +

4π

[Добуток sinθdθdφ є елементарний тілесний кут dΩ. Отже, в (10) здійснюється інте- грування по всім можливим напрямкам в межах повного тілесного кута, який дорі- внює 4π].

Функції з неоднаковими індексами l і m ортогональні:

π 2π

∫ ∫ Yl1*m1Yl2m2 sin θ dθ dϕ = δl1l2 δm1m2 .

(11)

Для прикладу: Y

cosθ ;Y

(1 − 3cos2

θ ),....

4π

16π

Квантове число l визначає модуль моменту імпульсу. Стани з невеликими значеннями l часто позначаються буквами латинського алфавіту: l=0 - буквою s; l=1 – буквою p; l=2 - d; l=3 - f; l=4 - g; l=5 - h; l=6 - i. Наприклад, коли говорять,

що частинка перебуває в p-стані, то це означає, що l=1 і M = 2 .

Стани з заданим моментом імпульсу вироджені по квантовому числу m, тоб- то стану з певним значенням l відповідає декілька значень m. Щоб знайти фізичний

зміст квантового числа m, розв’яжемо перше з рівнянь					(5). Враховуючи, що
M z = −i	∂	, отримаємо рівняння −i	∂ψ	= M zψ , звідки ψ (ϕ )	= Ce		. Але, оскільки
	∂		∂ψ			iM zϕ /
	∂ϕ		∂ϕ

оберт навколо осі Oz на кут 2π повертає нас у початкову точку, то з умови однозна- чності ψ(φ) випливає, що ψ (ϕ + 2π ) = ψ (ϕ ), або eiM z (ϕ +2π ) / = eiM zϕ / , звідки випливає

exp (iM z 2π / ) = 1 , тобто cos (2π M z / )+ i sin (2π M z			/ ) = 1 , що можливо за умови
	2π M z	= 2π m M z = m , m = 0, ±1, ± 2,... .				(12)


						приймають вигляд
Після нормування і підстановки Mz власні функції оператора M z
		ψ (ϕ ) =	1		eimϕ .	(13)

				2π

Часто число l називають орбітальним квантовим числом, оскільки воно ви- значає величину орбітального моменту, а число m – магнітним квантовим числом, оскільки воно, як виявляється, визначає, крім Mz , також магнітний момент заря- дженої частинки, яка рухається навколо центру. Такий рух створює замкнутий струм, а той, у свою чергу, магнітний момент. Величина орбітального магнітного

моменту електрона в атомі дорівнює:									e
					µ	= −				M
					µ	= −		2m0c		M
								2m0c
(m0 – маса електрона, с – швидкість світла), а його проекція на виділену вісь
		µz = −	e	M z	= −		e		m = −µБm ,		(14)
		µz = −	2m0c	M z	= −		2m0c		m = −µБm ,		(14)
			2m0c				2m0c
де µБ =	e	називається магнетоном Бора. Відмітимо також, що при орбітальному
де µБ =
	2m0c

русі електрона відношення магнітного моменту до орбітального моменту імпульсу, яке носить назву гіромагнітного відношення, дорівнює

−

−2

µz

= −

(15)

M z

2mec

З формул (8) і (13) видно, що сферичні функції є спі-

, так і опе-

льними власними функціями як оператора M

з (9) випливає, що

≤ l , що відпо-

ратора M z . Крім того,

відає неможливості нерівності

M z

> M . Отже,

m приймає

2l+1 значення: m = 0, ±1, ± 2,..., ±l ,

тобто при заданому l про-

екція моменту імпульсу може приймати 2l+1 значення. Квантування проекції моменту імпульсу означає, що век-

тор моменту імпульсу M не може мати довільного напря- мку по відношенню до фіксованого напрямку в просторі (див. мал. для l=2). Цей факт називають просторовим ква- нтуванням.

§ 22. Спін елементарних частинок

До цього часу ми припускали, що стан окремої мікрочастинки відомий, якщо відомі 3 його координати або 3 проекції імпульсу чи взагалі 3 величини, що утво- рюють повний набір. Але виявилось, що цілий ряд експериментальних фактів вка- зує на існування у багатьох мікрочастинок, наприклад, у електронів, протонів, ней- тронів, особливого внутрішнього ступеня вільності, з яким пов'язаний деякий влас- ний момент імпульсу частинки, не залежний від її орбітального моменту. Цей вла- сний механічний момент частинки отримав назву "спін" (від англійського слова to spin - обертатися). Як виявляється, спін має чисто квантову природу, тому що при переході до класичної механіки → 0 він обертається в 0. Тому він не має ніяких класичних аналогів і не може бути класично інтерпретованим як прояв обертання частинки навколо своєї осі. Спін є такою ж незмінною характеристикою частинки, як його маса, електричний заряд тощо.

Гіпотеза про існування спіну була висунута для пояснення мультиплетної структури спектрів лужних металів. Наприклад, у Na замість однієї спектральної лінії, яка відповідає переходу 2 p → 1s , спостерігається дублет двох дуже близьких ліній, що ви- ходять з двох близьких рівнів. Якщо припустити, що орбітальний рух електронів створює внутрішнє магнітне поле, з яким взаємодіє спіновий магнітний момент електрона, то появу дублету можна

пояснити наявністю у спіна двох різних проекцій: ∆U = − H = ± Б H .

У дослідах Штерна і Герлаха безпосередньо спостерігався магнітний момент, не зв’язаний з орбітальним рухом електронів. Саме в цих дослідах було встановле- но, що якщо через неоднорідне магнітне поле пропустити пучок атомів водню у s – стані, то цей пучок розчіплюється на 2. Але в s–стані орбітальний механічний мо- мент (l=0), а отже, і орбітальний магнітний момент (m=0) відсутні, і тому пучок мав би проходити без відхилення. Двократне розщеплення можна пояснити двома можливими орієнтаціями власного магнітного моменту електрона. По величині ро- зщеплення були знайдені його проекції:

z = ± Б = ±	e	.	(1)

	2m0c

Спін електрона (власний механічний момент) має загальні властивості кван- товомеханічного моменту імпульсу. Позначають спіновий механічний момент - s ,

його проекції на вісі - sx, sy, sz. Їм відповідають оператори			ɵ	ɵ ɵ ɵ
			s	i s x , s y , s z , які повинні
мати власні значення
	2 = s (s + 1) 2	і sz = ms ,
s	2 = s (s + 1) 2	і sz = ms ,		(2)

де s позначає спінове квантове число частинки, ms – магнітне спінове число. Часто s коротко називають величиною спіна частинки (або просто її спіном).

Число можливих проекцій спіна на довільно вибрану вісь z дорівнює 2s+1. Значення спінового числа s для тієї чи іншої частинки повинно визначатись з дос- ліду. Оскільки дослід Штерна – Герлаха свідчить, що можливі тільки 2 орієнтації

спіну електрона, то з 2s+1=2 знаходимо спін електрона s = 1							2	і його проекції
							2
		1			1
sz	= ±		ms	= ±		.		(3)
sz	= ±	2	ms	= ±	2	.		(3)
		2			2

З формул (1) і (3) випливає, що відношення магнітного моменту до спінового

								36
магнітного моменту дорівнює:
	µz		e	, тобто		e
	µz	= −	e		µ = −	e	s .	(4)
		= −			µ = −		s .	(4)
	sz		mec			m0c

Це відношення виявляється вдвічі більше за відношення орбітальних моментів і пі- дтверджується дослідами Ейнштейна і Гааза.

§ 23. Оператори спіну

Значення спінів поширених елементарних частинок: у p і n s = 1 , у π-мезона

		2
s=0, у µ – мезона s =	1	, у фотона s=1. Наявність у частинок спіну означає, що їх

2

хвильова функція залежить, окрім часу і просторових координат, також і від кван- тової величини, що характеризує внутрішній стан, наприклад, від проекції спіну на довільну вісь Оz:

ψ = ψ (t, x, y, z, sz ) ,

(1)

причому sz приймає лише дискретні значення. У більшості частинок sz	= ±	, тому

	2

хвильову функцію зручно записати у вигляді стовпчика з двома стрічками:


ψ		ψ1		(t, x, y, z, +		)
ψ	1	ψ1		(t, x, y, z, +	2	)	(2)
ψ =		=				.	(2)
ψ 2
		ψ	1	(t, x, y, z, −		)
		ψ	1	(t, x, y, z, −		)
					2

Величина dw1 = ψ1 2 dV визначає ймовірність того, що частинка в даний момент зна-

ходиться в об’ємі dV і має проекцію спіна sz	= +	.

	2
Якщо ймовірність проекції спіна не залежить від координат частинки, то
хвильову функцію представляють у вигляді добутку:
ψ = ψ (t, x, y, z) u ,					(3)
де ψ (t, x, y, z) - звичайна хвильова функція, а	C1		-	спінова хвильова функція, С1
	u =
	C2

і С2 – деякі комплексні числа.

Визначивши спінові хвильові функції, приведемо спінові оператори. У відпо- відності з двома значеннями проекції спіна на вісь Оz, вони можуть бути виражені через матриці Паулі:

	1 0					0 1			0 - i				1 0
σ 0	=		,	σ x	=		,	σ y	=		,	σ z	=		.	(4)
		0 1			1 0				i	0				0 -1

Використовуючи правила множення матриць, неважко показати, що матриці Паулі задовольняють наступні комутаційні співвідношення:

σ xσ y

− σ yσ x

= 2iσ z , σ yσ z

− σ zσ y = 2iσ x ,

σ zσ x

− σ xσ z

= 2iσ y .

(5)

Спінові оператори зв’язані з матрицями (4) співвідношеннями:

3 2

sɵ

(iσ x

+ jσ y + kσ z ); sx

σ x ; sy =

σ y

; sz =

σ z ;

s 2 =

0 ;

(6)

внаслідок (5) вони задовольняють комутаційні співвідношення, аналогічні (21.2):

ɵ ɵ ɵ ɵ	ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ	ɵ ɵ ɵ ɵ	ɵ	(7)
s x s y − s x s y = i s z , s y s z − s z s y = i s x , s z s x − s xɵs z = i s y .

Дія операторів (5) на хвильову функцію u здійснюється по правилам мно-

ження матриць. Наприклад:

3 2

1 0

3 2 1 C1

+ 0 C2

3 2 C1

3 2

sɵ

u =

0 C1

u .

0 1 C2

+1 C2

Таким чином, будь-яка спінова хвильова функція є власною оператора s2 з єдиним власним значенням 3 2 , 3 2 , що відповідає емпіричному значенню модуля спіно-

вого моменту імпульсу | s |= 3 .

Рівняння sɵz u = sz u в матричній формі має вигляд

	1		0 C1			C1	C1
				=			= sz	.
				=			= sz	.
2		0	−1 C2		2	C2	C2

Звідси можливі власні функції: u1

= 1

з власним значенням sz

, і u

1 = 0 з вла-

−

сним значенням sz = −

Довільна спінова функція

= C1u1

+ C2u 1

u =

= C1

+ C2

−

не є власною функцією оператора sɵz .

дають ймовірності того, що проек-

ція спіна sz дорівнює відповідно

−

. Оскільки можливі тільки 2

орієнтації

спінів, то отримаємо умову нормування:

2 +

= 1 .

(8)

§ 24. Системи тотожних частинок

Квантова система, що складається з частинок одного сорту, наприклад, елек- тронів, протонів тощо, має деякі нові властивості, що не мають аналогу в класичній механіці. Вони зв’язані з абсолютною тотожністю частинок одного й того ж сорту. У макросвіті в принципі завжди можна відрізнити 2 тіла за їх масою, зарядом, ене- ргією тощо, тому що ці параметри змінюються, як вважається, неперервно; до того ж за однаковими частинками можна було б прослідити за траєкторіями. В мікросві- ті характеристики частинок є дискретними (q, m, s) і однаковими для всіх частинок. Якщо частинки перебувають в однакових станах, то співпадають і параметри цих станів (енергія, імпульс, проекція спіну тощо).

Абсолютне співпадання характеристик мікрочастинок одного сорту приво- дить до їх тотожності, абсолютної невідмінності. Це положення називають прин- ципом тотожності частинок і є постулатом квантової механіки.

Принцип тотожності зв’язаний з тим, що при тісному зближенні неможливо прослідкувати за кожною частинкою в просторі (див. мал.).

eiα :

			38
			?
	1
		1	2
1	2
1			Квантова
	Класична	?	Квантова
	Класична		механіка

2	механіка

Принцип тотожності призводить до висновку, що перестановка в системі будь-яких двох частинок місцями не змінює стану системи.

В квантовій механіці система N тотожних частинок описується хвильовою

функцією ψ (ξ1 ,ξ2 ,...,ξi ,...,ξk ,...,ξN , t ) де ξi - набір фізичних змінних(ri , si ,...), що харак-

теризують і-ту частинку. При перестановці і-ої і k-ої частинок хвильова функція може змінитись тільки на фізично не суттєвий фазовий множник

ψ (ξ1 ,ξ2 ,...,ξi ,...,ξk ,...,ξN , t) = eiαψ (ξ1 ,ξ2 ,...,ξk ,...,ξi ,...,ξN , t) .

Виконаємо другу перестановку цих же частинок у правій частині цієї рівності і отримаємо:

ψ (ξ1 ,ξ2 ,...,ξi ,...,ξk ,...,ξN , t) = e2iαψ (ξ1 ,ξ2 ,...,ξi ,...,ξk ,...,ξN , t) .

Звідси e2iα = 1 eiα = ±1 . Отже, при перестановці будь-яких двох частинок хвильова функція або тільки міняє знак, або не міняє його взагалі. Функція, яка не міняє знак, називається симетричною, а функція, яка міняє знак – антисиметричною.

В.Паулі у 1924-1925 рр. встановив, що частинки з напівцілим спіном опису- ються антисиметричними хвильовими функціями, а з цілим спіном – описуються симетричними хвильовими функціями. Перший тип частинок був названий фермі- онами, другий – бозонами. Це положення також входить в число аксіом квантової механіки.

§ 25. Принцип Паулі

Розглянемо систему з двох однакових частинок, що не взаємодіють між со- бою. Тоді кожну частинку можна описати хвильовою функцією ψ k (ξi ) , де k позна-

чає стан частинки, ξi - сукупність змінних, що характеризують і-ту частинку. З цих

функцій можна побудувати дві симетризовані комбінації, що відповідають одній і тій же енергії:

ψs = C1 [ψ1 (ξ1 )ψ 2 (ξ2 ) +ψ 2 (ξ1 )ψ1 (ξ2 )],

ψa = C2 [ψ1 (ξ1 )ψ 2 (ξ2 ) −ψ 2 (ξ1 )ψ1 (ξ2 )].

Перша хвильова функціяψ s є симетричною відносно перестановки частинок, а дру- га - ψ a - антисиметричною. Сталі C1 і C2 знаходяться із умови нормування. Якщо функції ψ1 і ψ2 нормовані на одиницю, то вимога нормування ψ s і ψ a на 1 (напри-

клад, ∫ψ s 2 dV1dV2 = 1 ) приводить в обох випадках до C1 = C2 = 1 . Тому нормовані і

симетризовані хвильові функції для 2–х частинок є:

ψ		=	1		ψ	(ξ )ψ		(ξ	) +ψ		(ξ )ψ		(ξ	)	,	(1)
	s						2			2
			2	[ 1		1		2			1	1	2	]

ψ		=	1		ψ	(ξ )ψ		(ξ	) −ψ		(ξ )ψ		(ξ	)	.	(2)
	a						2			2
			2	[ 1		1		2			1	1	2	]

Формули (1) і (2) легко узагальнити на випадок довільного числа взаємодію-

					39
чих частинок. Так, система бозонів описується симетричною функцією
			1
ψ s =	(n1 !n2 !,...		) 2	∑ψ k1 (ξ1 )ψ k2 (ξ2 )...ψ kN (ξN ) .	(3)
ψ s =		1		∑ψ k1 (ξ1 )ψ k2 (ξ2 )...ψ kN (ξN ) .	(3)
	(N !) 2			p
	(N !) 2

Підсумовування тут ведеться по всім можливим перестановкам частинок з індексами k1 , k2 ,..., kN . Через ni позначено число індексів, що приймають одне і те ж

значення, тобто, скільки частинок перебуває в даному ψ i стані, причому ∑ni = N .

Хвильова функція (3) нормована на 1. Аналогічно для системи N однакових фермі- онів антисиметрична хвильова функція може бути представлена у вигляді визнач- ника n-го порядку, який називають визначником Слетера::

			ψ k (ξ1 )		ψ k	(ξ2 ) ... ψ k (ξN )
				1	1	1
ψ a	=	1	ψ k2 (ξ1 )		ψ k2	(ξ2 ) ... ψ k2 (ξN )	.	(4)



		N ! ...			...	... ...
			ψ kN (ξ1 )		ψ kN (ξ2 ) ... ψ kN (ξN )

Джон Слетер показав, що така форма є єдино можливою для побудови повністю антисиметричної хвильової функції n-ферміонної системи з незалежних ортонор- мованих хвильових функцій окремих ферміонів.

Розглянемо систему ферміонів і припустимо, що 2 частинки в ній перебува- ють в одному і тому ж стані, наприклад k1=k2. Це означає, що обидві частинки ма- ють однаковий набір квантових чисел, наприклад, n, l, m, sz при русі в полі з центральною симетрією або px, py, pz, sz, при вільному русі з певним імпульсом. Тоді у визначнику (4) дві стрічки виявляються однаковими, і визначник (тобто, хвильова функція) обертається тотожньо в 0. Це означає, що ймовірність відповідного стану системи тотожних ферміонів дорівнює нулю, тобто, в системі тотожних ферміо-

нів не може бути одночасно дві і більше частинки в одному і тому ж квантово-

му стані. Це твердження називається принципом Паулі і встановлений він ще в 1924 р. до появи квантової механіки з аналізу дослідних даних. Принцип заборони Паулі справедливий і для систем взаємодіючих ферміонів, якщо взаємодія не ви- ключає можливості введення квантових станів окремих частинок.

Як було показано вище, принцип Паулі випливає з твердження, що хвильова функція системи частинок антисиметрична по відношенню до перестановки двох частинок. Тому такої заборони не існує для бозонів. Число бозонів в будь-якому квантовому стані необмежене.

Виявлені властивості відіграють суттєву роль для систем багатьох частинок: атомів, молекул, твердого тіла, ядра і т. п.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.11.2019108.03 Кб19ЗМ 1 лекція 2.doc
#
26.11.2019115.71 Кб8ЗМ1 лекція 1.doc
#
22.05.201518.13 Кб22Зміст ІНДЗ.docx
#
01.05.2025496.67 Кб0Зміст.docx
#
09.03.2015209.41 Кб40Зоопсихологыя Т.2.doc
#
07.02.2015593.24 Кб60Квантова механіка. Лекції. Модуль 1.pdf
#
07.02.20151.26 Mб27Квантова механіка_Модуль 2.pdf
#
07.02.2015658.8 Кб33Квантова механіка_Модуль 3.pdf
#
07.02.2015743.73 Кб20Квантова механіка_Модуль 4.pdf
#
20.03.2016903.26 Кб39Кенігсбергер Г. Середньовічна Європа 400 - 1500 рр..rtf
#
07.02.201516.41 Mб654Киреев Н. Г. - История Турции. XX век - 2007.pdf