Квантова механіка. Лекції. Модуль 1

можуть бути одночасно точно виміряні.

Причиною того, що дві фізичні величини не можуть бути одночасно точно виміряні, є те, що процес вимірювання впливає на стан системи. Вимірюючи вели- чину L, прилад переводить систему у стан ψL . Вимірюючи потім у цьому стані М,

ми отримаємо деякий новий стан ψ M , який може не співпадати з початковим ста- ном ψL . Другими словами, вимірювання однієї з таких величин змінює стан систе-

ми таким чином, що значення другої величини стає невизначеним. В цьому прояв- ляється вплив вимірювального приладу на стан системи. В квантовій механіці про- вести вимірювання - це змінити стан системи, тому любий прилад, який використо- вується в квантовій області для вимірювання фізичних величин, що відносяться до мікрочастинок, повинен бути проаналізований з точки зору аналізу значень, отри- муваних з його допомогою результатів вимірювання і тих змін в стані системи, до яких він може приводити.

де - самоспряжений оператор, і – уявна одиниця. Згідно з попередніми виснов-

K

ками це означає, що величини L i M не можуть мати одночасно певних значень, і при їх вимірюванні в будь-якому стані вони визначаються з похибками.

З’ясуємо співвідношення між невизначеностями вимірювання даних величин. В якості міри, що характеризує відхилення окремих результатів вимірювання вели- чин L і M від середніх значень L i M , виберемо середньоквадратичні відхилення

(дисперсії) ∆L2 i ∆M 2 , де ∆L = L − L, ∆M = M − M . Для середньоквадратичних відхи- лень маємо:

(∆L)2 = (L − L )2 = L2 − 2LL + L2 = L2 − 2L2 + L2 = L2 − L2 , (∆M )2 = M 2 − M 2 .

Не обмежуючи загальності розгляду, помістимо початок відліку цих величин в по- ложення середнього значення. Отримаємо

L = 0, M = 0 (∆L)2 = (L − L )2 = L2 , (∆M )2 = M 2 .

Розглянемо інтеграл

Умовою того, що цей квадратний тричлен по α є невід’ємним, є від’ємний

Нерівність (9) називають співвідношенням невизначеностей Гейзенберга для двох довільних фізичних величин L i M, оператори яких не комутують. Воно встановлює мінімальне можливе значення добутку похибок їх вимірювань.

Застосуємо ці співвідношення до операторів координати ɵx = x і відповідної

ня невизначеностей Гейзенберга для координати і імпульсу:

Аналогічні співвідношення отримуються для інших проекцій:

Нерівності (11) є співвідношеннями невизначеностей Гейзенберга для коор- динат і проекцій імпульсів. Їх фізичний зміст полягає в тому, що вони вказують на обмеження застосування класичних уявлень про мікрочастинки як матеріальні точ- ки, що рухаються по певним траєкторіям і мають в кожен момент часу певні зна- чення координат, певні величину і напрямок вектора імпульсу (або швидкості). Не- рівності (11) вказують, що в природі немає станів, у яких мікрооб’єкти мали б од- ночасно певні значення координат і імпульсів. Це є проявом наявності хвильових властивостей матерії. Чим точніше визначене положення частинки, тим більша не- визначеність її імпульсу: при ∆x → 0 ∆px → ∞ . І навпаки, якщо точно визначено ім-

пульс ( ∆px = 0 ), то повністю відсутня інформація про місце знаходження частинки

( ∆x = ∞ ). Можливі стани, в яких обидві ці величини не визначенні, і тоді їх невизна- ченості будуть зв’язані нерівностями (11).

Ці висновки свідчать про принципову неможливість точно вказати траєкто- рію руху частинки і складають суть принципу невизначеності Гейзенберга.

Можна відмітити, що якби стала Планка була б досить велика, то квантова невизначеність поширювалася б і на макроскопічні явища. Наприклад, ми не могли б з впевненістю сказати, попаде чи ні снайпер в мішень, навіть точно прицілив- шись.

23

§ 17. Наслідки співвідношення невизначеностей. Роль вимірювального

пристрою

Розглянемо спочатку для прикладу вимірювання координати частинки за до- помогою щілини. Початковий стан описуватимемо плоскою хвилею де Бройля ψ p .

Хай хвиля поширюється по напрямку осі ОХ. Цей стан володіє тією особли- вістю, що імпульс частинки має цілком певне значення, а саме,

Таким чином ми маємо справу з ансамблем частинок із заданим імпульсом. Положення частинок (їх координати) в цьому ансамблі, навпаки, зовсім неви-

значене: ψ p 2 = const і, отже, всі положення частинок рівноймовірні. Спробуємо

зафіксувати хоча б одну з координат частинок, наприклад у. Для цього поставимо екран з щілиною, розташував- ши його площину перпендикулярно до напряму поширення

хвиль так, як це показано на малюнку. Хай напівширина щілини є d. Якщо частинка пройде через цю щілину, то у момент проходження її координата фіксується положенням щілини з точністю до напівширини щілини d. Оскільки ім- пульс уздовж осі OY відомий (ру = 0), то на перший погляд здається, що ми визначили і імпульс ру, і координату у. Проте це зовсім не так. У приведеному міркуванні пропу- щена та обставина, що біля щілини матиме місце дифрак-

ція: хвилі відхилятимуться від первинного напряму поширення. Разом з тим ім- пульс частинок при внесенні екрану з щілиною зміниться і не буде таким, яким він був до внесення екрану.

Середнє значення імпульсу ру по осі ОY залишиться незмінним: ру = 0, оскі- льки дифракція біля щілини відбувається симетричним чином. Оцінимо по порядку величини можливе відхилення імпульсу ∆ру від середнього значення. Якщо ми від- хилятимемо промінь від осі ОХ, то скоро він займе положення, яке відповідає пер- шому дифракційному мінімуму (далі піде дифракційний максимум і т. д.). Позна- чимо кут, утворений віссю ОХ і вказаним променем, через α. Тоді найбільша інтен- сивність хвиль припадатиме на область від -α до +α. Кут α визначається з умови, щоб промені, які виходять з двох половин щілини під цим кутом, гасили один од- ного (різниця фаз π). Якщо довжину хвилі позначимо через λ, то для кута, що ціка- вить нас, отримаємо відоме співвідношення

Напівширина щілини d є не що інше, як неточність ∆у, що допускається при вимі- рюванні координати у.

Далі, рsinа є проекція імпульсу на вісь OY. Оскільки основна інтенсивність хвиль де Бройля попадає в область кутів від -α до +α, то при вимірюванні імпульсу біль- шість результатів вимірювання лежатимуть в інтервалі від –рsin а до +рsin а, тобто розкиданість вимірюваних значень біля середнього значення ру = 0 дорівнює ∆ру= =p sinα. Оскільки за співвідношенням де Бройля р= 2πћ/λ, то, підставляючи в (2) ∆ру замість2πћ sin а/λ і ∆у, ми отримаємо

24

Це співвідношення показує, що чим точніше визначається положення частинок (чим менше ∆у, тобто чим вужча щілина), тим більше стає невизначеним їх імпульс (тим

більше ∆ру ), і навпаки).

Завдяки дифракції на щілині вимірювання координати робить невизначеним ім- пульс ру, тобто після проходження щілини частинка виявляється такою, що належить до нового ансамблю, в якому ∆ру вже не дорівнює нулю.

Іншим прикладом може служити фотопластина. Розглянемо ідеалізовану фотоп- ластину. Суть ідеалізації полягає в тому, що ми ототожнюватимемо фотопластину з системою закріплених атомів, а іонізацію такого атома – з утворенням зображення на фотопластині. Насправді, іонізація одного з активних атомів породжує ланцюгову хімічну реакцію, що приводить врешті-решт до утворення на фотопластині активно- го зерна. Після проявлення це зерно виявляється у вигляді чорної «плямочки», яку і спостерігають на досліді.

Атом можна вважати закріпленим або повільно рухомим біля деякої позиції тільки в тому випадку, якщо він достатньо важкий. Хороша «ідеальна» пластинка повинна складатися з нескінченно важких атомів, що мають до того ж достатньо малі розміри а, оскільки розміри атома а визначають область, в якій відбулася іонізація.

Величина а дорівнює, по порядку величини, невизначеності положення електро- на в атомі. Отже, цей електрон матиме невизначеність імпульсу ∆р≈ћ/а. У цьому до- сліді ми не можемо встановити, в якій точці відбулася іонізація атома, а знаємо тільки те, що область, в якій відбулося зіткнення, має розміри, що дорівнюють приб- лизно а. Тому координата падаючого на фотопластину електрона х визначається в кращому разі з точністю ∆х≈а. З іншого боку, оскільки зіткнення відбувається з елек- троном атома, який має невизначеність в імпульсі порядку ∆р≈ћ/а, то після зіткнен- ня таку ж невизначеність в імпульсі ∆рх матиме і той електрон, координату якого ми визначаємо. Множачи ∆х≈а на ∆рх≈ћ/а, отримаємо

∆рх·∆х≈ћ. (4) Вимірювання координат частинок завжди пов'язане з істотною дією на частинки ви-

мірювального апарату. У даному випадку фотографування положення частинки умовою можливості спостереження координати є іонізація атома. Для цієї іонізації необхідна енергія І, яка тут черпається з енергії самої частинки. Якщо початковий імпульс частинок є р0, то повинно бути

p02 > I = 2 / 2 a2 = 2 / 2 (∆x)2. (16.5) 2m

У протилежному випадку фотографування неможливе.

Спостереження сліду частинки в камері Вільсона повністю підходить під цю схе- му фотографування, оскільки такий слід виникає в результаті послідовних іонізації атомів газу, що наповнює камеру, тобто є рядом послідовних «фотографій» у викла- деному вище розумінні (хоча насправді у камері Вільсона ми спостерігаємо слід ча- стинки не по іонах, а по крапельках пари, що конденсується на іонах, але це не є принциповим: практична точність визначення положення частинки методом камери Вільсона незрівняно грубіше, ніж теоретична точність, визначувана розмірами атома; насправді вона визначається розміром крапельок і їх зсувом за час фотографування). На підставі (5) ми можемо вважати, що для отримання сліду в камері Вільсона необ-

хідно, щоб імпульс фотографованої частинки р0 задовольняв нерівності р0 > 2 I .

Співвідношення невизначеностей Гейзенберга підтверджується також при розг- ляді і інших методів вимірювання координат і імпульсів мікрочастинок, наприклад,

25

за допомогою мікроскопу, дифракційної гратки тощо. Ці приклади служать ілюст- рацією відсутності суперечностей між твердженням про існування співвідношення невизначеностей як наслідку загальних принципів квантової механіки і можливостя- ми вимірювальних приладів. Кожен прилад, як і будь-яке тіло, складається з атомів, молекул і тому подібних мікрооб'єктів, що здійснюють якісь рухи, тобто з погляду квантової механіки однозначно належать до деякої квантової системи, що на перший погляд створює ускладнення. З цього ускладнення квантова механіка знаходить ефективності вихід: вимірювальний прилад повинен бути влаштований так, що для

здійснення його дії в кінці кінців використовуються тільки його класичні властивості, тобто такі властивості, в яких стала Планка ћ не грає ролі. Такий прилад ми на-

зиваємо «класичним» або «макроскопічним», і він максимально звільнений від статис- тичних квантових властивостей.

Будь-який з розглянутих вище прикладів визначення рх і х може служити ілюст- рацією «класичності» приладів. Як такі служили нерухомі екрани з щілинами, важ- кий атом ідеальної фотопластини, до них відносяться дифракційні гратки з жорстко фіксованими штрихами або будь-який спектроскоп для визначення довжини хвилі розсіяного світла. Всі ці прилади ми розглядали як об'єкти класичної фізики, тобто розглядаючи їх дію, ми ігнорували сталу Планка ћ. Таким чином прилади вимірюють класичні корпускулярні величини.

В процесі вимірювання деякої характеристики стан частинки змінюється, і тому процес вимірювання у мікросвіті, взагалі кажучи, не може бути відтвореним. Щоб виявити на досліді статистичні закономірності квантової механіки, необхідно ви- конати вимірювання над багатьма однаковими частинками, що перебувають в од- ному і тому ж стані.

Якщо в квантовій області явищ вимірювальний прилад неминуче втручається в стан досліджуваної частинки, то і мікрочастинка зі свого боку теж втручається в стан вимірювального приладу і змінює його деяким певним чином, інакше прилад слід було б вважати нечутливим. Зрозуміло, що мікрочастинка не володіє ні енергією, ні імпульсом, достатніми, щоб змінити стан стійкої макроскопічної системи. Проте вона може змінити стан макроскопічної системи, якщо ця система знаходиться в нестій- кому стані.

Легко відмітити, що всі пристрої, які детектують мікрочастинки, нестійкі або електрично, або термодинамічно, або механічно. Так, в лічильнику Гейгера пер- винна іонізація газу, викликана зарядженою частинкою, приводить до лавиноподі- бного виникнення вторинних електронів і, як наслідок цього, до макроскопічного явища – до електричного розряду. У камері Вільсона іонізація приводить до утво- рення вздовж сліду частинки краплин рідини в термодинамічно нестійкій атмосфе- рі переохолодженої пари; у бульбашковій камері вздовж сліду частинки виникають бульбашки пари в перегрітій рідині, центрами утворення яких служать первинні іо- ни. У фотопластині виникають в чутливому зерні ланцюгові хімічні реакції, що при- водять до почорніння всього зерна. Отже, вимірювання в квантовій області почи- нається з квантового мікроявища і закінчується явищем макроскопічним. Можна ска- зати, що дія частинки на вимірювальний прилад носить характер дії спускового ме- ханізму, що викликає вибух.

Таким чином, аналіз показує, що при вимірюваннях необхідно ставити коре- ктні питання і не намагатися отримати більш детальні відомості про рух мікрочас- тинок, ніж це закладено природою. Так, в досліді з проходженням пучка частинок

27

Хоча формою співвідношення (3) співпадає з нерівностями Гейзенберга (16.10), фізичний зміст його інший. У формулах (16.10) мова йде про невизначено- сті в значеннях двох фізичних величин, виміряних в один і той же момент часу. Але таке тлумачення нерівності (3) неможливе. Як випливає з виведення, ∆E і ∆t не можна сприймати як невизначеність в енергії, виміряній в деякий момент часу, співвіднесену з невизначеністю в значенні самого моменту часу. Згідно визначен- ню ∆t – це час перебування частинки в деякій області простору, тобто в деякому стані.

Вкажемо на два можливі застосування формули (3). Величина ∆t може бути прийнята за середній час життя, а ∆E – за ширину рівня енергії нестабільних сис- тем: радіоактивних ядер, здатних до розпаду елементарних час- тинок, атомів і молекул в збуджених станах і так далі. Якщо вони мають дискретні рівні енергії, то ці рівні не задані точно. Якщо час життя деякої системи не перевищує τ, то енергія цього стану

не може бути визначена точніше, ніж δ E ≈ . Навпаки, якщо не-

τ

визначеність енергії деякого стану системи складає δ E , то можна

говорити про середній час життя цього стану τ ≈ .

δ E

Невизначеність в енергії обумовлює скінчену ширину рівня. Відомі, напри- клад, скінчена ширина спектральних ліній випромінювання атомів, невизначеність в енергії продуктів радіоактивного розпаду і так далі (малюнок). Зокрема, частота, характерна для короткочасних явищ тривалістю δ t , має широку смугу частот δω :

оскільки E = ω , то з (3) випливає δω ≈ δ E ≈ 1 .

δ t

Інше застосування нерівності (3) відноситься до самого процесу вимірювання енергії. Як вже говорилося раніше, всяке вимірювання пов'язане з деякою дією при- ладу на об'єкт вимірювання. У момент вимірювання частинка (або система) в ре- зультаті взаємодії з приладом знаходиться в нестаціонарному стані. Взаємодія при- водить до невизначеності ∆E в енергії частинки. Під ∆t розуміється час вимірю- вання – час дії приладу на частинку. Щоб зменшити ∆E , необхідно збільшити ∆t ; при цьому можна зробити скільки завгодно малим збурення, що вноситься до поча- ткового стану. Для визначення енергії системи з точністю δ E потрібен час вимірю-

вання не менше δτ ≈ .

δ E

Точно задану енергію можуть мати системи, що «живуть» як завгодно довго в одному квантовому стані. Це стаціонарні стани. Точність, з якою закон збе- реження енергії може бути перевірений на досліді, залежить від часу спостережен- ня. Фактично перевірка може бути проведена тільки для стаціонарних станів.

У квантовій теорії вводиться уявлення про віртуальні частинки, які випуска- ються і поглинаються реальними частинками і є переносниками взаємодії між ни- ми, – квантами відповідних полів. Віртуальна частинка виникає і негайно зникає. Вона існує лише протягом малого проміжку часу ∆t , якому відповідає невизначе- ність енергії ∆E / ∆t , що цілком приписується самій віртуальній частинці. Безпо- середнє спостереження таких частинок неможливе, але за наслідками модель взає- модії через віртуальні частинки підтверджується і є загальноприйнятою. Таким чи- ном, неусувний вплив вимірювального приладу на мікрочастинку можна зрозуміти, якщо врахувати, що взаємодія передається віртуальними квантами.

29

§ 19. Необмежений рух мікрочастинок

Рух мікрочастинки називається вільним, якщо на неї не діють ніякі зовнішні сили: F = 0 , або U = const = 0 . Таке поле є стаціонарним, а відповідне стаціонарне рі- вняння Шредінгера має вигляд:

– так зване хвильове число.

Для розв’язання рівняння (2) у відповідності з методом розділення змінних представимо хвильову функцію у вигляді:

(штрихи означають похідні по аргументу відповідної ψ-функції). Остання рівність має місце тільки в тому випадку, якщо кожен з дробів дорівнює деякій від’ємній сталій. Отже, отримуємо три рівняння для кожної з ψ-функцій:

ψ ( x) e±ikx x ; ψ ( y) e±ik y y ; ψ ( z) e±ikz z . Враховуючи, що залежність хвильової функ-

i

ції від часу стаціонарного стану закладена в множнику e− Et , загальний вигляд пов- ної хвильової функції стаціонарного стану вільної частинки є:

пульсу частинки. Отже, ми отримуємо остаточно вираз для хвильової функції час- тинки з імпульсом p :

Коефіцієнт А має визначатись з умови нормування хвильової функції. Але умова нормування

−∞

для вільної частинки, рух якої необмежений, не може бути виконаною, оскільки

і інтеграл в (9) розходиться (дорівнює ∞). Тому для необмежених рухів приймаєть-

при необмеженому русі може приймати будь-які значення, тобто її енергетичний спектр є неперервним.

§ 20. Обмежений рух мікрочастинки: потенціальна яма

Розглянемо одновимірний рух частинки у по- U тенціальному полі нескінченно глибокої потенціа- льної ями, для якої потенціальна енергія представ-

ляється у вигляді:

вийти назовні. Така модель часто використовується для грубого опису ряду систем,