Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уманский государственный педагогический университет им. П. Тычины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Квантова механіка. Лекції. Модуль 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2015

Размер:

593.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

ного змісту хвильової функції, квадрат модуля якої визначає густину ймовірностей знаходження частинки в певній точці простору. Ці вимоги приводять до того, що розв’язки рівнянь Шредінгера, які задовольняють перерахованим умовам, існують не при будь-яких, а тільки при деяких значеннях енергій Е1, Е2, Е3,…, Еn,…, які є власними значеннями енергій і утворюють енергетичний спектр. Виявляється, що якщо рух частинки необмежений в просторі, то її енергетичний спектр буде непе- рервним, а якщо обмежений, то спектр буде дискретним.

Хвильові функції - розв’язки рівняння Шредінгера - які відповідають можли- вим значенням енергії Е1, Е2, Е3,…, тобто ψ1, ψ 2, ψ 3,…, ψ n,…, називають власними функціями. Вони повинні задовольняти умову ортонормування

∫ψ mψ n dV = δmn ,
де	δmn	0, m ≠ n	(5)
де	δmn	=	− символ Кронекера.
		1, m = n

Стаціонарне рівняння Шредінгера має місце для ізольованих систем, енергія яких не змінюється з часом. Стан таких систем не залежить від часу, і хвильова фу- нкція стаціонарного стану має бути такою, щоб ймовірність цього стану в будь- який момент часу була однаковою. Оскільки ймовірність визначається квадратом модуля хвильової функції, то для незалежності ймовірності від часу хвильова фун-

кція стаціонарного стану повинна мати таку залежність від часу

ψ n (r,t )= e−iEt / ψ n (r );

цей розв’язок відповідає монохроматичній хвилі. Дійсно,

ψ n (r, t )

= ψ n (r

, t )ψ n* (r, t )= e−iEt / ψ n (r )eiEt / ψ n* (r )=ψ n (r )ψ n* (r )=

ψ n (r )

≠ f (t ).

§ 9. Нестаціонарне рівняння Шредінгера. Закон збереження числа частинок

Хвильова функція ψ повністю визначає стан фізичної системи в квантовій механіці. Це означає, що задання цієї функції в деякий момент часу не лише описує всі властивості системи в даний момент, але й визначає її поведінку також і у всі майбутні моменти – звичайно, лише з тим ступенем повноти, яка взагалі допуска- ється квантовою механікою. Математично це означає, що значення похідної хви-

льової функції ∂ψ в кожен момент часу повинно визначати значення самої функції

∂t

ψ в той же момент часу:

ψ (t + ∆t) ≈ψ (t) +	∂ψ (t)	∆t	∂ψ (t)	ψ (t) .	(1)

	∂t		∂t

Для того, щоб цей висновок узгоджувався зі стаціонарним рівнянням Шредінгера, відповідне рівняння повинне мати вигляд

				2
	∂ψ (r , t)
i		= −			∆ψ (r , t) + U (r, t )ψ (r, t ).	(2)
	∂t		2m


Стаціонарне рівняння Шредінгера випливає з умови, що потенціал U (r,t )						не

залежить явно від часу. Тоді хвильову функцію стану з енергією Е можна предста- вити як монохроматичну хвилю з частотою де Бройля ω = E / :


ψ (r	, t )= e−iEt / ψ (r )	(3)

(див. § 8), що приводить до стаціонарного рівняння Шредінгера (8.2).

З нестаціонарного рівняння Шредінгера (2) випливає закон збереження числа частинок, електричного заряду маси. Запишемо нестаціонарне рівняння Шредінге-

ра і його комплексно спряжене рівняння:

	∂ψ				2			2
i			= −				ψ + Uψ ,
i	∂t		= −				ψ + Uψ ,
	∂t				2m
		∂ψ				2		2
−i				= −				ψ	+ Uψ
−i		∂t		= −		2m		ψ	+ Uψ
		∂t				2m

( - комплексне спряження). Помноживши перше рівняння на ψ*, а друге - на ψ, і віднявши їх одне від одного, отримаємо:

i (ψ ∂ψ ∂t

або

∂ψ

+ψ

= −

(ψ

ψ −ψ ψ

) = −

∂t

∂

(ψψ ) =

div(ψ ψ −ψ ψ ) .

∂t

(ψ * ψ −ψ ψ * )

(4)

Величина w = ψψ має фізичний зміст густини ймовірності. Якщо ввести вектор

		i
j	=		(ψ ψ −ψ ψ ) ,			(5)
j	=	2m	(ψ ψ −ψ ψ ) ,			(5)
		2m
то рівняння (4) перепишеться у вигляді:
				∂w
				∂w	= −divj .	(6)
					= −divj .	(6)

∂t

Дане рівняння аналогічне рівнянню неперервності у гідродинаміці, яке виражає за- кон збереження кількості речовини, або закону збереження електричного заряду в електродинаміці у диференціальній формі. Відповідно, вектор j є вектором густи- ни потоку ймовірності. Рівняння (6) має більш наочне трактування, якщо w = ψ *ψ розглядати як середню густину частинок. Тоді j - середній потік частинок через одиничну площину за одиницю часу. Отже, рівняння (6) виражає закон збереження числа частинок. Зокрема, інтегруючи (6) по деякому скінченому об’єму V і застосо- вуючи теорему Гауса, отримаємо:

∂
	∫wdV = −∫div jdV = − ∫ jn dS ,		(7)
∂t
	V	S

що відповідає закону збереження числа частинок в інтегральній формі.

Якщо помножити w i j на заряд частинки е, отримаємо середню густину електричного заряду і середню густину електричного струму:

					ie
ρe = ew = e	ψ	2	, je	=		(ψ ψ * −ψ * ψ ),	(8)
		2
					2m
					2m

для яких з (6) випливає рівняння неперервності:

∂ρe / ∂t = −div je ,

(9)

що виражає закон збереження електричного заряду в квантовій механіці.

§ 10. Зміна з часом середнього значення фізичної величини

Середні значення фізичних величин в стаціонарних станах не залежить від часу. Визначимо, як змінюється середні значення в довільних станах. Згідно з пос- тулатом 2

L = ∫ψ

(1)

Lψ dV .

Повна похідна по часу від виразу (1):

d L

∂ψ

* ∂ L

* ɵ

∂ψ

= ∫

Lψ +ψ

ψ +ψ

dV .

(2)

∂t

Похідні

∂ψ

∂ψ *

визначимо з нестаціонарного рівняння Шредінгера і його

∂t

комплексного спряження:

∂ψ

Hψ ,

∂t

(3)

∂ψ

= −

Hψ

∂t

Тут враховано, що оператор Гамільтона є дійсним ( * = ). Використовуючи само-

H H

спряженість оператора Гамільтона , перетворимо рівняння (2):

* 1

d L

ɵ ɵ

* ∂ L

∂ L

= ∫ ψ

ψ +ψ

(LH − H L)ψ dV = ∫ψ

+ {H , L} ψ dV ,

(4)

∂t

де введене позначення

ɵ	1	ɵ	ɵ	i	ɵ ɵ	i ɵ
{H L}=		(LH	− H L)=		(H L − LH )=		H , L
	i

називається квантовою дужкою Пуассона.

Таким чином, похідна по часу від середнього значення L

ньому значенню деякої величини, яка зображується оператором

		ɵ		dL
цей оператор слід прийняти за оператор		d L	похідної по часу
		dt		dt

зображуваної оператором	ɵ
	L :

(5)

дорівнює серед-

∂ Lɵ + { , ɵ}. Тому

H L

∂t

від величини L ,

d L

∂L

+ {H ,L}.

(6)

∂t

Звідси випливає, що

(

)= ∫ψ *

d L

ψ dV =

(7)

тобто похідна по часу від середнього значення фізичної величини дорівнює серед- ньому значенню похідної цієї величини по часу.

З(6) і (7) випливає, що якщо оператор Lɵ явно не залежить від часу і комутує

зоператором Гамільтона, то середнє значення фізичної величини L не змінюється з часом в будь-якому стані. Така величина називається інтегралом квантових рівнянь руху:

L = const .

(9)

§11. Закони збереження фізичних величин у квантовій механіці

Уквантовій механіці ми маємо ті ж інтеграли руху, що й в класичній. Вели- чина L буде інтегралом руху, якщо

	ɵ			ɵ
	d L			∂L	ɵ
		=			+ {H , L} = 0 .	(1)
	dt	=		∂t	+ {H , L} = 0 .	(1)
	dt			∂t
Якщо величина L , не залежить явно від часу, тоді замість (1) маємо:
	ɵ
	d L			ɵ
		=	{H		, L} = 0 ,	(2)
		=	{H		, L} = 0 ,	(2)

тобто для інтегралів руху, не залежних явно від часу, квантова дужка Пуассона до-

рівнює 0. Оскільки { , ɵ} визначається комутатором операторів ɵ і , то будь-яка

H L L H

величина L , що не залежить від часу, буде інтегралом руху, якщо її оператор кому-

тує з оператором Гамільтона. З (1) і (2) випливає, що середнє значення інтегралів руху не залежить від часу:

d L
d L	= 0, L = const .	(3)
	= 0, L = const .	(3)
dt

Покажемо, що за певних умов у квантовій механіці, як і в класичній механіці, виконуються закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу.

1. Закон збереження енергії. Нехай мікрочастинка знаходиться у стаціонарному силовому полі. Тоді оператор енергії (оператор Гамільтона) дорівнює:

			2
						∂ H		] = 0 .
H	= −			∆ + U (r ) ≠ H	(t),		= 0, [H , H
H	= −	2m		∆ + U (r ) ≠ H	(t),	∂t	= 0, [H , H
		2m				∂t

Отже, в квантовій механіці енергія зберігається (E = const). Енергія замкненої сис- теми також зберігається, тому що потенціальна енергія їх взаємодії залежить від відстані між частинками і не залежить від часу.

2. Закон збереження імпульсу. Оператор імпульсу вільної частинки p						не
					= −i	не
			2
	∂ p			p
залежить явно від часу (		= 0 ) і комутує з оператором Гамільтона ( H	=		,U = 0 ).
залежить явно від часу (	∂t	= 0 ) і комутує з оператором Гамільтона ( H	=	2m	,U = 0 ).
	∂t			2m

Умови (3) для оператора p виконуються і тому імпульс мікрочастинки зберігаєть- ся.

Для замкнутої системи частинок, незважаючи на наявність взаємодії між ни- ми, можна показати, що оператор повного імпульсу комутує з оператором Гаміль- тона, і тому повний імпульс замкнутої системи мікрочастинок також зберігається.

3. Закон збереження моменту імпульсу. Оператор моменту імпульсу

комутує з оператором Гамільтона вільної частинки

= r

× p = −i r

= −

Тому момент імпульсу вільної частинки зберігається. Можна довести, що і повний момент імпульсу замкненої системи також зберігається, проте в зовнішньому сило- вому полі момент імпульсу не зберігається, за винятком моменту імпульсу системи у центральному силовому полі.

§ 12. Дзеркальна симетрія. Закон збереження парності.

Збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу пов’язані із такими власти- востями простору і часу, як однорідність часу та однорідність і ізотропність прос- тору. Але у просторі є ще одна властивість симетрії – дзеркальна, яка полягає в то- му, що будь-який процес, який відбувається у природі, може протікати так, як він виглядає у дзеркалі. Цій симетрії у квантовій теорії відповідає закон збереження парності.

Стан квантово-механічної системи називається парним, якщо хвильова функ- z ція системи не змінюється при зміні знаків координат

всіх частинок:

ψ (−r1 , −r2 ,..., −rN , t) =ψ (r1 , r2 ,..., rN , t) . (1)

-x

-y

A' A''

Стан називається непарним, якщо хвильова фу- нкція при цьому змінить свій знак:

y ψ (−r1 , −r2 ,..., −rN , t) = −ψ (r1 , r2 ,..., rN , t) . (2)

Операцію зміни знаку координат називають інверсі- єю:

-z

′

= −x, y

′

= − y, z

′

= −z

′

(3)

= −r ) .

Зв'язок цього визначення парності із дзеркальною симетрією випливає з того, що перетворення інверсії (А→А′′) складається із дзеркального відбиття відносно площини, яка проходить через початок координат: А→А′, і наступного повороту на 180˚ навколо вісі, перпендикулярної до цієї площини. На малюнку т. А при відби- ванні в дзеркалі, поверхня якого співпадає з площиною хОу, переходить в т. A'. Якщо здійснити ще й поворот навколо осі Оz, то т. A' суміститься з т. A'', коорди- нати якої зв’язані з координатами т. А перетвореннями інверсії. Тому симетрія сис- тем відносно інверсії безпосередньо пов’язана з симетрією відносно відбивання в дзеркалі з симетрією «правого» і «лівого».

Введемо оператор інверсії , який змінює у хвильовій функції знаки всіх ко-

ординат:

			(4)
Pψ (r ) = ψ (−r ) .

Якщо оператор інверсії комутує з оператором Гамільтона, то існує величина, яка зберігається. Ця величина і називається парністю. Для вказаної комутації опе- ратор Гамільтона системи повинен бути інваріантним відносно інверсії координат, а ця його властивість випливає з припущення, що стан фізичної системи не зміню- ється при інверсії. Для визначення допустимих значень парності скористаємось третім постулатом квантової механіки. Власне значення оператора інверсії визна-

чається з рівняння				(5)
		Pψ (r ) = Pψ (r ) .
Власне значення оператора інверсії, яке задовольняє рівняння (5), називаєть-
ся парністю Р. Застосувавши оператор		до обох частин (5),		отримаємо
	P
2			2	(6)
P ψ (r) = P ψ (r) .

Але згідно визначення оператора інверсії (4) послідовне застосування його до фун- кції двічі дасть початкову функцію:

			(7)
P(Pψ (r )) = P(ψ (−r )) =ψ		(r ) .
Порівнюючи (6) і (7), знайдемо: ψ (r ) = P2ψ (r ) P2	= 1, P = ±1.		(8)

Отже, - власні значення оператора інверсії дорівнюють P = ±1. Ці два числа і прий- маються за значення нової фізичної величини - парності стану мікрочастинки або системи мікрочастинок. Якщо функція стану не змінюється при інверсії, то стан парний, а парність дорівнює +1; якщо змінює знак - непарний, а парність -1.

Згідно із законом збереження парності, парність стану не змінюється при еволюції системи. На відміну від енергії, імпульсу і моменту імпульсу, парність є не адитивною, а мультиплікативною величиною, тобто такою величиною, значення якої для системи частинок дорівнює добутку парностей кожної частинки:

P = P P ... P .

(7)

Доказ: ψ (r

, r

,..., r

(r ) ψ

(r ) ... ψ

) =ψ

) ;

... ψ N

Pψ (r1 , r2 ,..., rN )

= Pψ (r1

, r2 ,..., rN ) = P(ψ1 (r1 ) ψ 2

(r2 )

(rN )) =

= Pψ

(r ) Pψ

(r ) ... P

(r ) = P

P ... P ψ (r

, r

,..., r ).

1 1

2 2

N N

1 2

Елементарні частинки, як показав експеримент, мають також певну внутріш- ню парність, не пов’язану з рухом частинок у просторі. Так, електрони, нейтрони, протони мають внутрішню парність +1, π-мезони і позитрони мають парність -1, фотони можуть мати як +1, так і -1. Численні досліди підтвердили закон збережен- ня парності, проте у 1956 р. були виявлені деякі процеси розпаду ядер і елементар- них частинок з порушенням збереження парності. Це явище і досі не має остаточ- ного пояснення.

§13. Рівняння руху в квантовій механіці. Теореми Еренфеста (НСО)

Знайдемо закони зміни імпульсів і координат з часом. Враховуючи, що вони

не залежать явно від часу,

пульсів , , в рівняння

Px Py Pz

підставимо оператори координат , , та проекції ім-

X Y Z

d L

∂L

(10.7)

+ {H ,L} і отримаємо:

∂t

d X

d Z

= {H

, X

};

= {H ,Y}

;

= {H , Z};

(1)

d P

d Py

d P

(2)

= {H

, Px

= {H , Py

= {H , Pz

Ці операторні рівняння аналогічні класичним рівнянням Гамільтона і тому називається квантовими рівняннями Гамільтона. Оскільки в них фігурують опера-

•

тори, для переходу до вимірювання середніх значень, наприклад

, усередни-

мо (1) і (2) по деякій хвильовій функції ψ (x, y, z, t )

з урахуванням явного виду опе-

∂

раторів: X = x, Px = −i

,... і явного виду оператора Гамільтона мікрочастинки в по-

∂x

тенціальному полі:

∂2

+ U (x, y, z ).

(3)

= −

∂x

∂y

∂z

Тоді

∂2ψ

∂2

, X }ψ =

(X H − H X )ψ

= −

−

xψ

∂x

2mi

∂

∂ψ

i ∂

−

+ x

∂ ψ

− 2

− x

∂ ψ

= −

ψ =

Pxψ

∂x

m ∂x

∂x

або {H , X } =

Згідно з (1) маємо:

d X

(4)

тобто оператор швидкості дорівнює оператору імпульсу, поділеному на масу час- тинки. Другими словами, зв’язок між ними такий же, як і зв’язок між відповідними величинами в класичній механіці.


Для розкриття рівняння	d Px		представимо оператор Гамільтона у ви-
		= {H , P x }
	dt	= {H , P x }
	dt
гляді:

(

)

+ Py

+ Pz

+ U (x, y, z ).

H =

Оператор

комутує з першим доданком - оператором кінетичної енергії, і

не комутує з другим доданком - оператором потенціальної енергії:

−i2

∂ψ

∂

∂U

{U , Px }ψ =

(U Px

− Px U )ψ =

−

Uψ = −

ψ .

∂x

∂U

d Px

Тому {H , Px

} = −

і у відповідності з (2) отримаємо

= −

(5)

∂x

а в тривимірному випадку

		17


d p	= −U ,	(6)
	= −U ,	(6)

що відповідає другому закону Ньютона в операторній формі.

Отже, квантові рівняння руху для координат і імпульсу привели нас до опера- торної форми основного рівняння динаміки. Це є один з проявів принципу відпові- дності: зв’язок між операторами фізичних величин у квантовій механіки такий же, як між відповідними величинами у класичній механіці.

Згідно з висновком §10, похідна по часу від середнього значення дорівнює се- редньому значенню похідної по часу, тому його застосування до формул (4-5) дає:


dx	=		Px	,			(7)

dt			m

dPx		= −			∂U	.	(8)

dt					∂x

Співвідношення (7) і (8) носять назву теорем Еренфеста. З них випливає квантове рівняння Ньютона для мікрочастинок

••
••	∂U
m x = −	∂U	= F ,		(9)
m x = −		= F ,		(9)
	∂x		x
	∂x

де Fx - проекція сили, що діє на частинку.

§14. Граничний перехід до класичної механіки (НСО)

Впроцесі створення квантової теорії в 1923 році Н. Бор висунув принцип від- повідності, згідно з яким квантова механіка для явищ, що цілком описуються кла- сичною механікою, повинна давати однаковий з останньою результат. Це закладе- но у вимозі переходу співвідношень квантової механіки в формули класичної ме- ханіки при → 0 . Але при підстановці = 0 безпосередньо в рівняння Шредінгера

	∂ψ		2		(1)
i		= −		∆ψ + Uψ
	∂t
			2m

воно втрачає зміст. Тому для виконання вказаного переходу представимо хвильову функцію у вигляді

i
ψ = e S .	(2)

Підставимо (2) в (1) і отримаємо рівняння для функції S :

	∂S		1		i
−		=		( S )2 −		∆S + U .	(3)
−	∂t	=	2m	( S )2 −	2m	∆S + U .	(3)
	∂t		2m		2m

Відповідно до того, що система припускається майже класичною за своїми власти- востями, будемо шукати S у вигляді ряду по степеням / i :

∂S

S = S0

S2 + ... −

−

+ ... =

( S0 +

S1 + ...)2 −

∆ S0

+ ...

+ U . (4)

∂t

i ∂t

Підставимо (4) в (3) і прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях . В результаті отримаємо рівняння:

∂S

2 + U ,

−

( S

)

∂t

∂S

−

2 S

,... .

∂t

(5)

(6)

Отже, в нульовому наближенні рівняння Шредінгера при → 0 зводиться до рів- няння Гамільтона-Якобі класичної механіки (5). При цьому, враховуючи зв'язок

узагальненого імпульсу з дією pi = ∂S , маємо

∂qi


p = S0 .		(7)

Рівняння (6), виявляється, еквівалентно рівнянню неперервності. Дійсно, гус- тина ймовірності знайти частинку в даному місці простору дорівнює

			S		S*
w =	ψ	2 =ψ ψ = ei		e−i
w =	ψ	2 =ψ ψ = ei		e−i

∂w = e2 S1 2 ∂S1 = w 2 ∂S1 , ∂t ∂t ∂t

( S

+...)

−

( S

−

+...)

= e

i 1

w = e2 S1 = e2 S1 2 S1

i S0 −i S0

e eS1 e eS1 = e2 S1 ;

= w 2 S1.

Помножимо (6) на 2w і отримаємо:

−2w

= 1 m

∂w

∂t

	∂S		1
	1	=		S			2w S
		=		S		0	2w S
	∂t		m			0			1
	∂t		m
					1
(w S ) =					1		S =
(w S ) =							S =
			0					0
			0		m			0
					m

= −div(wυ ) .

∂w

2 S

;

−

w + w

2 S

∂t

= υ

= (w υ ) = div(wυ );

(8)

(8) формально співпадає з рівнянням неперервності ∂ρ = −div(ρυ ) і показує, що гус-

∂t									p
	1								p
тина ймовірності w переміщується у просторі з такою ж швидкістю υ =			S		0	=				і
			S			=				і
		m							m
		m							m
по тій же траєкторії, по якій переміщається частинка в класичній механіці.
Вияснимо тепер область застосування отриманого наближеного розв’язку рі-
вняння Шредінгера. При переході від (3) до (5) ми відкинули доданок		i						. Це
		i		2 S
				2 S			0
	2m						0
	2m

можна зробити, якщо

1 S

2 >>

2 S0

або

divp

(9)

(9) – це та умова, якій повинен задовольняти рух частинки, щоб його розглядати в рамках класичної механіки (при одновимірному русі умова (9) має вигляд

p2 >> dp ). Вона означає, що кінетична енергія має бути великою, а швидкість змі-

ни імпульсу – малою.

§ 15. Квазікласичне наближення. Метод Вентцеля-Крамерса-Бріллюена (НСО)

Знайдений у § 14 зв'язок між класичною і квантовою механікою дозволяє ро- звинути наближений метод розв’язування рівняння Шредінгера при виконанні умови (14.9), яку називають умовою квазікласичності. Описаний нижче метод розв’язання задач квантової механіки, який використовує квазікласичне наближен- ня, був розвинутий в працях Вентцеля, Крамерса і Бріллюена (ВКБ-метод).

Для конкретності розглянемо одновимірний рух у стаціонарних станах, за- вдяки чому

ψ =ψ (x, t) =ψ (x)e−i		Et		i
			= e		S .	(1)
			= e		S .	(1)
У зв’язку з цим у формулах (14.2) і (14.4) покладемо
S	( x, t) = S ' (x) − Et ,					(2)
0	0

тоді як функції S1, S2, …можна вважати незалежними від t. З рівняння (14.5) отри- маємо

dS0'

)2 + U ( x),

dS0'

E =

(

= 2m(E − U ( x)) ,

S0' = ±∫

2m(E − U (x))

dx = ±∫ p( x)dx ,

(3)

де p(x) = 2m(E − U (x)) - імпульс частинки. Це є розв’язок рівняння (14.5). Як і слід

було очікувати, ми отримали звичайні формули класичної механіки. Підставимо (2) і (3) в (14.6), щоб знайти S1. Маємо:

∂S

dS '

d 2 S '

= 0,

dx 2

∂t

d 2 S0'

dp( x)

dS1

= −

dx 2

= −

ln p( x) =

( x) = ln

;

2 dS0'

2 p( x)

2 dx

p ( x)

p( x)

S = S0 +

S1 + ... = −Et ± ∫ p(x)d x +

p(x),

∫ p ( x) d x

−i

∫ p ( x ) d x

−

p ( x)

ψ (x, t) = e

= e

e i

=ψ (x)e .

p(x)

Отже, просторову частину хвильової функції стаціонарного стану у квазікла-

сичному наближенні можна представити у вигляді:

∫ p ( x )dx

−

∫ p ( x) dx

ψ (x) =

(4)

p(x)

Сталі с1, с2 та а повинні визначатись із граничних умов для хвильової функції

ψ(х). З цих 3-х констант незалежні лише 2.

Відмітимо,

що

. При х = а, U(а) = Е цей імпульс оберта-

p(x) =

2m(E − U (x))

ється в нуль і (4) розходиться. Це означає, що поблизу точки х=а квазікласичне на- ближення стає несправедливим. В класичній механіці точка а називається точкою повороту, тому що в ній змінюється знак швидкості і частинка не може перейти в

область потенціального бар’єру, де U(х) > Е, ( E = p2 + U ≥ U ). Але з квантової точки

зору рух в області потенціального бар’єру цілком допустимий, хоч імпульс при цьому стає уявним:

p(x) = 2m(−1)(U − E) = ±i 2m

E −U

= ±i

p(x)

(5)

Уявний імпульс не має фізичного змісту, але розв’язок (4) при цьому залиша- ється цілком прийнятним:

i ∫

p ( x)

−

i ∫

p ( x )

−

∫

p ( x)

∫

p ( x)

ψ (x) =

p(x)

Але другий доданок необмежено зростатиме при зростанні х, тому його слід відки- нути. Отже, в області потенціального бар’єру хвильова функція має вигляд:

−

∫

p ( x )

ψ (x) =

(6)

p(x)

Для подальшого розгляду точок повороту зручно вибрати сталу а

рівною

значенню х в точці повороту: х = а, U(а) = Е, р(а)=0.

Як видно із (4) і (6), знайдені наближені розв’язки стають нескінченними як-

раз у точці повороту х = а, тому в околі цієї точки необхідний більш точний розв’язок рівняння Шредінгера. Це досягається тим, що в околі точки х=а потенці- ал U(x) представляється у вигляді:

U (x) = U (a) +	dU (x)	(x − a) + ...
	dx
		x=a

і розв’язується для цього лінійного потенціалу рівняння Шредінгера. Приведемо

тільки результати цих розв’язків.

Припустимо, що область руху частинки

обмежена потенціальним бар’єром і він здійсню-

ється між двома точками повороту b < x < a. Ін-

акше кажучи, будемо вважати, що в областях

x< b і x>a U > E, а в області b < x < a U < E.

Тоді розв’язки у відповідних областях мають ви-

гляд:

x > b: ψ (x) =

sin(

∫ p(x)dx +

)

p(x)

x < а: ψ (x) =

sin(

∫ p(x)dx +

)

p(x)

Ці розв’язки в області b < x < a повинні співпадати. Це можливо, якщо аргументи синусів відрізняються на ціле число π:

∫ p(x)dx +

= (n + 1)π ,

∫ p(x)dx +

= (n + 1)π .

Поширюючи інтеграл по всьому шляху частинки від a до b і назад, отримаємо

)2π , або ∫ p(x)dx = (n +

∫ p(x)dx =

∫ p(x)dx + π = 2(n +1)π ,

∫ p(x)dx = (n +

)h . (7)

Формула (7) представляє правило квантування Бора-Зоммерфельда, яке ви- значає стаціонарні рівні частинки.

§16. Умови одночасного вимірювання фізичних величин. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга

Розглянемо дві фізичні величини L i M, яким відповідають оператори ɵ i .

L M

Якщо система перебуває у стані з певними значеннями величин L i M, то у кванто- вій механіці це означає, що стан системи є власним як по відношенню до величини L, так і до M, а хвильова функція стану є власною одночасно для обох операторів

, ψ =ψ =ψ , тобто, згідно з третім постулатом квантової механіки, задоволь-

L i M L M

няє рівнянням:

ɵ	(1)
Lψ = Lψ ,
	(2)
Mψ = Mψ .

З’ясуємо зв'язок між операторами в цьому випадку. Діючи на обидві частини рів-

		(2) - оператором	ɵ	, отримаємо:
ності (1) оператором M , а на		(2) - оператором	L	, отримаємо:
ɵ		ɵ		ɵ	ɵ
M Lψ = M Lψ , LMψ = LMψ ,				(M L	− LM )ψ = 0 .
ɵ	ɵ	, тобто оператори			ɵ
Звідси випливає, що M L	= LM	, тобто оператори		M і	L комутують.

Отже, умовою того, що дві фізичні величини L i M мають одночасно певні

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.201618.84 Кб71звіт.docx
#
26.11.2019108.03 Кб17ЗМ 1 лекція 2.doc
#
26.11.2019115.71 Кб6ЗМ1 лекція 1.doc
#
22.05.201518.13 Кб21Зміст ІНДЗ.docx
#
09.03.2015209.41 Кб38Зоопсихологыя Т.2.doc
#
07.02.2015593.24 Кб58Квантова механіка. Лекції. Модуль 1.pdf
#
07.02.20151.26 Mб27Квантова механіка_Модуль 2.pdf
#
07.02.2015658.8 Кб30Квантова механіка_Модуль 3.pdf
#
07.02.2015743.73 Кб20Квантова механіка_Модуль 4.pdf
#
20.03.2016903.26 Кб32Кенігсбергер Г. Середньовічна Європа 400 - 1500 рр..rtf
#
07.02.201516.41 Mб641Киреев Н. Г. - История Турции. XX век - 2007.pdf