1. Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с функциями y=x, y=x², y=x³, y=1/xи т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функцииy=x^p, где p - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значенияхx иp имеет смысл степеньx^p. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степениp.

1. Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x²ⁿ, гдеn- натуральное число, обладает следующими

свойствами:

• область определения - все действительные числа, т. е. множество R;

• множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;

• функция y=x²ⁿ четная, так какx²ⁿ=(-x)²ⁿ

• функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x²ⁿ имеет такой же вид, как например график функцииy=x⁴.

        2. Показатель p=2n-1- нечетное натуральное число В этом случае степенная функцияy=x^2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R;

• множество значений - множество R;

• функция y=x^2n-1нечетная, так как (-x)^2n-1=x^2n-1;

• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x2n-1имеет такой же вид, как, например, график функцииy=x3.

       3.Показатель p=-2n, гдеn - натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x^-2n=1/x²ⁿ обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x=0;

• множество значений - положительные числа y>0;

• функция  y=1/x²ⁿчетная, так как1/(-x)²ⁿ=1/x²ⁿ;

• функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x²ⁿимеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x².

       4.Показатель p=-(2n-1), гдеn- натуральное число. В этом случае степенная функцияy=x^-(2n-1)обладает следующими свойствами:

• область определения - множество R, кроме x=0;

• множество значений - множество R, кроме y=0;

• функция y=x^-(2n-1)нечетная, так как (-x)^-(2n-1)=-x^-(2n-1);

• функция является убывающей на промежутках x<0иx>0.

График функции y=x^-(2n-1)имеет такой же вид, как, например, график функцииy=1/x³.

2. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

1. Функция arcsin

График функции .

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого 

Функция  непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция  является строго возрастающей.

• при 

• при 

• (область определения),

• (область значений).

1. [Править]Свойства функции arcsin

• (функция является нечётной).

• при .

• при 

• при 

• 

• 

• 

2. [Править]Получение функции arcsin

Дана функция  На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие  функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — . Так как для функции  на интервале каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция  график которой симметричен графику функции  на отрезке  относительно прямой