Dz3
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашняя работа №3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Элементы векторной алгебры |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
a = 2i + 5j 4k |
, |
→−b = i + 2j + 5k |
, |
c = 4i j 2k |
. Найти: |
|||||||||||||||||||||
(1) Даны векторы: →− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
→− |
|
− − |
|||||||||||
(a) |
2 a + 4→−b |
− |
2 c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
||||||||
→− |
→− ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→−b |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(b) скалярное произведение векторов |
|
|
→− ; |
|
c |
2→−b |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(c) скалярное произведение векторов |
3 a |
|
4 c |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
→− − |
|
→− и |
→− − |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(d) угол между векторами →− и |
→− ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
→−b |
|
2 a + →−b |
|
|
c |
− |
→−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→− |
|
и →− |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(e) угол между векторами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(f) длину вектора →− |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
→−b |
|
|
− |
3k |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(2) При каком значении |
m |
− |
|
|
|
a = i+j+mk |
|
→−b = mi+2j |
|
|
будут перпендикулярны? |
|||||||||||||||||
|
|
векторы →− |
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Можно ли подобрать |
|
|
так, чтобы векторы →− и |
|
были коллинеарны? |
(3) Дан треугольник ABC с вершинами A(0; −3; 1), B(−2; 2; 1) и C(5; 0; 7). Точки M и N –
середины сторон BC и AC соответственно. Найти
−−→ −−→ −−→
(a) координаты векторов AM, MC и MN;
(b) координаты точки O пересечения медиан треугольника ABC;
(c) угол A треугольника ABC;
(d) угол AOC. |
|
|
k |
|
−→b = i |
2j + 3k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a = 4i + j |
− |
и |
. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(4) Даны векторы →− |
|
|
|
−a |
−→b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(a) векторное произведение векторов →− |
и |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
→−b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b) векторное произведение векторов |
и →− ; |
|
|
a |
→−b |
. |
|
|
|
|
|||||||||
(c) площадь треугольника, построенного на векторах →− |
и |
|
|
− |
|
|
|||||||||||||
|
2 a |
|
→−b |
a + 2→−b |
|
|
a |
→−b |
равно |
i |
− |
j |
k |
. Найти векторное |
|||||
(5) Известно, что векторное произведение векторов →− и |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
произведение векторов →− − |
|
и →− |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6)Найти площадь параллелограмма, если координаты трех его последовательных вершин
(−1; 3; 0), (2; −2; 1) и (0; −3; −2).
(7)Найти длину высоты AH треугольника ABC, если A(2; 1; 1), B(−2; 0; 1) и C(0; −1; −2).
(8) Даны |
точки |
M(0; −2; 1), N(2; 0; 1), K(1; −3; 9) и L(1; −1; −1). Найти смешанное |
|
произведение векторов |
|||
(a) |
−−→, −−→ и −−→; |
||
(b) |
MN NK |
KL |
|
−−→, −−→ |
и |
−−→; |
|
(c) |
LN LK |
и |
ML |
−−→, −−→ |
−−→; |
||
(d) |
LN LM |
и |
MN |
−−→, −−→ |
−−→. |
||
|
LN NL |
|
MN |
(9) |
|
|
|
|
|
|
a = i + j |
− |
k |
→−b = i |
− |
2j + k |
и |
|
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах →− |
|
|
|
, |
|
|
||||||||
|
→−b = 3i − 2j + k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
Найти объем тетраэдра DABC, если A(1; 0; −2), B(0; 1; −1), C(0; 2; 0) и D(−5; −5; 1). |
|
||||||||||||
|
|
− |
− |
1) |
→−b = (1; 0; 3) |
|
− |
− |
7) |
|
|
|
|
|
(11) |
a = (2; 4; |
|
и |
→−b = (0; 4; |
|
компланарны. |
|
|||||||
Доказать, что векторы →− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
(12)Объем тетраэдра EFGH равен 15, F(−1; 0; 0), G(0; 1; 2), H(1; 1; 0). Найти координаты точки E, если известно, что она лежит на оси Oy.
Плоскость и прямая в пространстве
(13)Определить взаимное расположение плоскостей:
(a)3x − 4y + 5z − 1 = 0 и 4x − 5y − 7 = 0;
(b)x − 2y − 2z − 1 = 0 и 3x − 6y − 6z − 2 = 0;
(c)x − 2y − 2z − 1 = 0 и 3x − 6y − 6z − 3 = 0;
(d)3x − 4y + 5z − 1 = 0 и 3x − 4y + 4z − 1 = 0.
(14)Доказать, что плоскости 3x + 4y + z + 5 = 0 и −2x + y + 2z − 2 = 0 перпендикулярны.
(15) |
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(0; −1; −2) |
и параллельной |
||||||||||
|
a = (2; |
− |
1; 1) |
→−b = (3; |
− |
1; 0) |
. |
|
||||
|
векторам →− |
|
− |
и |
|
|
|
|
K(2; −3; −1) и |
|||
(16) |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей через точку |
||||||||
|
|
|
|
|
a = ( |
− |
2; 3; 9) |
. |
|
|||
|
перпендикулярной вектору →− |
|
|
|
|
(17) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(−3; 1; 1), B(3; −4; 4) и
C(0; 0; 2).
(18)Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости α : 5x − 2y − z − 2 = 0 и проходящей через точку F(1; 1; 1).
(19)Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей α :
x − 2y + z + 2 = 0 и β : 4x − 5y − 2z − 4 = 0 и начало координат.
1
(20)Составить уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости x + y − 3z − 2 = 0 и проходящей через точки C(8; 9; 1) и D(12; 13; 0).
(21)Найти угол между плоскостями 2x − 4z + 1 = 0 и y + 3z − 9 = 0.
(22)Найти угол между плоскостью xOz и плоскостью x + 2y − 3z − 5 = 0.
(23)Найти расстояние от точки D(4; −1; 0) до плоскости 3x + y − 3z − 3 = 0.
(24)Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях Ox, Oy и Oz отрезки 8, 2 и -3 соответственно.
(25)Плоскость пересекает координатные оси в точках A(2; 0; 0), B(0; −3; 0) и C(0; 0; −4), точка O - начало координат. Найти
(a)высоту OH тетраэдра OABC;
(b)высоту AK тетраэдра OABC.
(26)Прямая задана как пересечение плоскостей 3x − 2y + z − 9 = 0 и x + y − 4 = 0. Написать
|
канонические и параметрические уравнения данной прямой. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x = t |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(27) |
Прямая задана параметрически: |
y = 2t−+ 2; |
Написать канонические уравнения данной |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z = 4t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
прямой. |
|
x |
|
3 |
|
y |
|
z |
2 |
|
x+1 |
|
y+4 |
|
z |
||||
(28) |
Найти точку пересечения прямых |
|
−2 |
|
= |
|
= |
|
−5 |
и |
|
= |
|
= |
|
. |
||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
−3 |
||||||||||||||
(29) |
Составить уравнения прямой, проходящей через точку N(2; −3; 1) параллельно вектору |
|||||||||||||||||||
|
a = ( |
− |
3; 1; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→− |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(30) |
Составить уравнения прямой, проходящей через точки A(1; 3; 5) и B(9 : −11; 3). |
|||||||||||||||||||
(31) |
Можно ли составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки A(1; 3; 5) |
|||||||||||||||||||
|
и B(4 : 3; −1)? В случае отрицательного ответа составить параметрические уравнения |
|||||||||||||||||||
|
данной прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(32)Прямая перпендикулярна плоскости 3x − 9z + 2 = 0 и проходит через точку D(3; 8; −2). Составить уравнения данной прямой.
(33)Определить взаимное расположение следующих пар прямых:
(a)x−−22 = y+13 = z4 и x2 = y+43 = z4 ;
(b)x+13 = y1 = z−−11 и x−−61 = y−−21 = z+12 ;
(c)x4 = y+13 = z−+11 и x−8 8 = y−6 5 = z1 ;
(c)x−2 3 = y−+44 = z−−31 и x1 = y−−12 = z+32 .
(34)Найти угол между прямыми −x2 = y−+12 = z−3 1 и x−−12 = y2 = z−+22 .
(35)Написать уравнения прямой, перпендикулярной двум пересекающимся прямым x−−11 =
y2 = z3 и x−−12 = y+44 = z+22 и проходящей через точку пересечения данных прямых.
(36)Написать уравнения прямой, перпендикулярной плоскости xOz и проходящей через точку
B(1; 7; 9).
(37)Определить взаимное расположение прямой и плоскости:
(a)x−1 4 = y5 = −z7 и 5x − 7z + y − 20 = 0;
(b)x−2 2 = y+31 = z−1 7 и 6x − 3z − 9y − 2 = 0;
(c)x+12 = y−3 3 = z4 и 4x − 7z + 3y + 25 = 0.
(38)Написать уравнение плоскости, параллельной двум прямым x1 = y−2 3 = z+64 и x−−12 = y4 = z2
ипроходящей через точку D(2; 0; −3).
(39) |
Написать уравнение плоскости, перепендикулярноу прямой |
x+3 |
= |
y−1 |
= |
z+7 |
и |
|
проходящей через точку M(2; −1; 0). |
3 |
|
2 |
|
−8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(40) |
Найти угол между прямой и плоскостью: |
|
|
|
|
|
|
(a) 3x − y + 5 = 0 и x+24 |
= y2 = |
z−5 |
3 |
; |
|
|
|||
(b) 5x − 2y + 3z − 2 = 0 |
и x−2 |
1 |
= |
y+11 |
= z−3 |
7 . |
|||
|
1 |
(41)Написать уравнения прямой, составляющей с плоскостью x − 2y + z + 6 = 0 угол 450 и проходящей через начало координат.
(42)Дан тетраэдр DABC с вершинами D(2; −2; 1), A(4; 0; 0), B(−2; 0; 1), C(0; 3; −1).
(a)Написать уравнение плоскости, содержащей грань DBC данного тетраэдра.
(b)Найти высоту CH.
(с) Найти площадь грани ABD.
(d) Найти объем тетраэдра FABC, где F - середина ребра DB.
(43) Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Его вершины A, A1, B и D имеют координаты
(1; 2; 0), (−1; 3; 1), (0; 0; −3) и (−3; 4; 0) соответственно.
(a) Найти координаты других вершин параллелепипеда.
(b) Найти точку пересечения диагоналей параллелепипеда.
(с) Найти площадь параллелограмма AB1C1D.
2