Параметрические критерии

t-критерий Стьюдента (t-распределение).Использование формулы Гаусса—Лапласа (44) для сравнительной оценки средних величин затруднено тем, что в качестве аргументов в эту формулу входят генеральные параметры µ и σ (которые, как правило, остаются неизвестными), тогда как при обработ­ке и сравнении выборочных групп приходится пользоваться не генеральными, а выборочными характеристикамииУчи­тывая это обстоятельство, английский математик В. Госсет (печатавшийся под псевдонимом Стьюдент), в 1908 г. Нашел закон распределения величины, в которой гене­ральный параметрзаменен на его выборочную характеристи­кут. е. нашел закон распределения значений

Оказалось, что отношение разности между выборочной и генеральной средними к ошибке выборочной средней непрерыв­но распределяется согласно следующей формуле:

для гдеС — константа, зависящая только от числа степеней свобо­ды

Открытый Стьюдентом и теоретически обоснованный Р. Фи­шером закон t-распределения служит основой так называемой теории малой выборки, которая характеризует распределение выборочных средних в нормально распределяющейся совокуп­ности в зависимости от объема выборки, t-распределение зависиттолько от числа степеней свободы k = n—1, причем с уве­личением объема выборки пt-распределениебыстро приближа­ется к нормальному с параметрамиии уже при не отличается от него. Это видно из табл. 34, в которой наряду с табулированными значениями функции нормальногораспределения приведены табули­рованные значения t-распределения для разных значений t.

Рис. 20. Кривая t -распределе­ния (1) при п—3 на фоне нор­мальной кривой (2)

Более наглядное представление о характере t-распределения дает рис. 20, на котором на фоне нор­мальной кривой изображена (более пологая) кривая t-распределения при п—3.t-распределение симмет­рично и отражает специфику рас­пределения средней арифметиче­ской в случае малой выборки в за­висимости от ее объема (п). Для выборок, объем которых пре­вышает 30 единиц, величина / распределяется нормально и не зависит от числа наблюдений. Если жехарактер t-распределения находится в зависимости от числа наблюдений п.

Таблица 34

Для практического использования t-распределения составле­на специальная таблица (см. табл. V Приложений), в которой содержатся критические точки(от англ.standard — нор­ма, образец) для разных уровней значимостии чисел степе­ней свободы k. Как пользоваться этой таблицей в разных слу­чаях применения /-критерия, будет показано ниже.

Оценка разности средних. Сравнивая друг с дру­гом две независимые выборки, взятые из нормально распреде­ляющихся совокупностей с параметрамииможно пред­положить, чтоа дисперсия этой разностиЗна­чения генеральных параметров неизвестны, однако несложно найти величины выборочных средних и разность между ними Нулевая гипотеза сводится к предположению, что Критерием для проверки-гипотезы служит отно­шение

где t— переменная величина, следующая t-распределению Стьюдента с числом степеней свободы k = (п₁ —1) + (п ₂—1) = = п₁ + п₂—2, а—ошибка указанной разности, обознача­емая в дальнейшем символом

Так как, согласно -гипотезе,то /-критерий выражается в виде отношения разности выборочных средних к своей ошибке, т. е.

-гипотезу отвергают, если фактически установленная ве­личина t-критерия (обозначаемая символом) превзойдет или окажется равной критическому (стандартному) значению этой величины для принятого уровня значимостии числа сте­пеней свободы k = п₁ + п₂—2, т. е. при условии

Ошибку разности среднихопределяют по следующим формулам:

а) для равночисленных выборок, т. е. при п₁ = п₂,

б) для неравночисленных выборок, т. е. при

В этой формуле вместоможно использовать

Пример 1. Изучали влияние кобальта на массу тела кроли­ков. Опыт проводили на двух группах животных: опытной и контрольной. Были исследованы кролики в возрасте от полу­тора до двух месяцев, массой тела 500—600 г. Опыт продол­жался полтора месяца. Животных обеих групп содержали на одном и том же кормовом рационе. Однако опытные кролики в отличие от контрольных ежедневно получали добавку к раци­ону в виде водного раствора по 0,06 г хлористого кобальта на