2) Межфазный перенос

2.3.6 Понятие о сопряженном физическом и математическом моделировании

Этот метод разработан в КГТУ профессором С.Г. Дьяконовым.

Сопряженное физическое и математическое моделирование базируется на принципе иерархичности (многоуровневости) пространственно-временных масштабов явлений , протекающих в промышленном аппарате, и как следствие этого, на «слабости» взаимодействия явлений различных масштабов. «Слабость» заключается в отсутствии влияния взаимодействия их на структуру математического описания явления, влияние может учитываться лишь через изменение некоторых параметров.

В этом методе аппарат представляется в виде системы, состояний из характерных зон (областей). Математическое описание каждой зоны устанавливается при ее физическом моделировании на лабораторном макете. При это оно содержит параметры, учитывающие взаимодействие между зонами. Предполагается , что структура математического описания каждой из зон при изменении масштаба не меняется , меняются лишь значения параметров.

Задача отыскания полей w,T,p,ci в аппарате заменяется определением параметров при известной структуре математического описания.

Основные этапы нового метода моделирования: -выделение характерных зон аппарата;

-экспериментальное изучение отдельных зон на физических моделях; -составление математических моделей зон, их идентификация по данным

физического эксперимента; -синтез математической модели аппарата в целом, ее идентификация на

основе удовлетворения исчерпывающему описанию; -проверка адекватности модели, при необходимости - коррекция;

-использование модели для проектирования и оптимизации промышленного аппарата.

Основное достоинство предлагаемого метода: переход к одноуровневой схеме проектирования промышленных аппаратов – лабораторная модель – промышленный аппарат.

2.4Гидродинамическая структура потоков

2.4.1Характеристика структуры потока

Наибольший вклад в проблему масштабного перехода вносит изменение гидродинамической структуры потоков при увеличении размеров аппарата. Отыскание поля скоростей по дифференциальным уравнениям вызывает большие математические трудности. Поэтому, в инженерной практике используют метод моделирования гидродинамической структуры потоков в аппаратах.

Структура потока - характер движения элементов потока в аппарате. Траектории движения этих элементов могут быть чрезвычайно сложными, что приводит к различному времени их пребывания в аппарате. Одни элементы быстро проходят через аппарат (байпас), другие, наоборот, задерживаются в аппарате больше среднего времени (застойные зоны), могут быть также возвратные потоки

(рис. 2.9).

0

Наиболее вероятное время пребывания элемента в аппарате tВ соответствует максимальному значению f(t).

На практике удобнее использовать безразмерное время пребывания и безразмерную функцию распределения f*( ) :

2.4.2 Математическое моделирование структуры потоков

Наиболее корректной математической моделью структуры потоков в аппарате является исчерпывающее описание. Однако решение уравнений Навье – Стокса с условиями однозначности для большинства случаев невозможно. Поэтому на практике идут по пути упрощения модели, используя для характеристики структуры потока функцию распределения времени пребывания элементов потока в аппарате. Разумеется, f*( ) является далеко не полной характеристикой движения, хотя и достаточной для интегральной оценки работы аппарата.

Можно выделить две идеализированные модели, характеризующие предельные ситуации: идеальное вытеснение и идеальное смешение, а также более реалистичные модели промежуточного типа - ячеечная и диффузионная модели.

2.4.2.1Модель идеального вытеснения (МИВ)

Ваппарате частицы потока движутся параллельно друг другу с одинаковой

скоростью wX . Время пребывания в аппарате всех элементов потока одинаково. Введем понятие концентрации меченых элементов потока в аппарате. Средняя концентрация меченых элементов потока в аппарате определяется как:

где NM - количество помеченных элементов, Va – объем аппарата.

wx

Рис. 2.11 Модель идеального вытеснения

Исходное уравнение для МИВ получено из уравнения нестационарной

Результаты решения уравнения (2.148) представлены в безразмерной форме на рис. 2.12.

f*(Θ)

Рис. 2.12 Вид функции распределения f*( ) для МИВ

Поскольку все элементы движутся с одинаковой скоростью wX , то у них одинаковое время пребывания в аппарате, совпадающее с t Lwx . Поэтому

tt 1 .

Наиболее близка к МИВ структура турбулентного потока, движущегося по трубе при l/d>>1, цилиндрические аппараты небольшого диаметра, но значительной высоты, заполненные зернистым материалом.

2.4.2.2 Модель идеального смешения (МИС)

Предполагается, что любая порция входящего в аппарат меченых элементов потока мгновенно и равномерно перемешивается во всем объеме. Таким образом, концентрация меченых элементов потока одинакова во всех точках аппарата. По аналогии с (2.31) (источника нет) можно записать:

аппарат и выходящих из него за единицу времени.

При любых значениях t>0 , входа меченых элементов в аппарат не будет, т.е. M& Nвх 0 . Тогда

Имея, в виду V&Va 1t получим:

dCdt Ct и разделяя переменные:

Интегрируя уравнение (2.151) с начальными условиями С( )=С0 получим:

Переходя, к безразмерной функции распределения имеем:

На рис. 2.14 изображена зависимость f*( ) от по формуле (2.153).

f*(Θ)

1.0

Рис. 2.14 Вид функции распределения f*( ) для МИС

К аппаратам идеального смешения близки аппараты с интенсивным перемешиванием и аппараты с псевдоожиженным слоем.

Структуры потоков в промышленных аппаратах не соответствует ни МИВ, ни МИС. Реальные аппараты промежуточного типа.

2.4.2.3 Ячеечная модель (МЯ)

Более реалистичной моделью является ячеечная модель, в соответствии с которой предполагается последовательное прохождение потоком ряда ячеек идеального смешения. Параметром модели служит число таких ячеек m .

. . . .

Рис. 2.15 Ячеечная модель (схема потока)

Решение системы m дифференциальных уравнений (2.154) дает выражение для концентрации меченых элементов в последней ячейке, т.е. на выходе из аппарата Сm(t) , а затем и для функции распределения:

Как видно, при m=1 МЯ переходит в МИС, а при m в МИВ (рис. 2.16).

m→∞ f*(Θ)

m=1

m=2

Рис. 2.16 Вид функции распределения f*( ) для МЯ

2.4.2.4 Диффузионная модель (МД)

Другой моделью промежуточного типа является диффузионная модель. Считается, что отклонение в движении элементов потока от идеального вытеснения осуществляется за счет их случайных блужданий, которые могут быть описаны по аналогии с молекулярным или турбулентным механизмом переноса. Это позволяет воспользоваться уравнением нестационарной конвективной диффузии для определения концентрации меченых элементов потока С(x,t) , полагая конвективную скорость равной для всех элементов, а перемешивание учитывать с помощью коэффициента обратного (продольного) перемешивания DL . Тогда получим:

Рис. 2.17 Диффузионная модель (схема потока)

Здесь DL - учитывает все виды переноса – молекулярный, конвективный и турбулентный. Обычно DL определяют экспериментально, причем считается, что DL по длине аппарата не меняется.

Уравнение (2.156) решено с использованием критерия Пекле для продольного перемешивания:

где L – длина аппарата.

PeL→∞

f*(Θ)

PeL=0

PeL=1

Рис. 2.18 Вид функции распределения f*( ) для МД

При PeL=0 МД переходит в МИС, а при PeL - в МИВ (рис. 2.18)

Обычно МД применяют для аппаратов, характеристики потоков которых изменяются по длине непрерывно. Например, насадочные и пленочные массообменные колонны.

Есть более сложные модели, например, двухпараметрическая диффузионная модель, комбинированные модели и т.д.

2.4.3 Идентификация модели

Под идентификацией модели понимается определение неизвестных параметров: для диффузионной модели PeL и число ячеек m для ячеечной модели.

Для этого в основной поток на входе в аппарат вводится индикатор (трассер).

Рис. 2.19 Схема установки для получения кривых отклика

Обычно применяют импульсный ввод индикатора - во входящий поток быстро (теоретически мгновенно) вводят индикатор. Фиксируя изменение во времени концентрации индикатора на выходе из аппарат получают кривую отклика C(t). Для выхода C(t)=C(L,t). Зная C(L,t) находят f(t), зная, t определяют f*( ) . Сопоставляя f*( ) с известными зависимостями для различных моделей структуры потоков выбирают наиболее приемлемую модель.