Добавил:

AlexMograine Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технологический университет

Предмет:

Процессы и аппараты химической технологии

Файл:

2) Межфазный перенос

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.10.2020

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

2. Решение дифференциального уравнения (уравнений) описывающего объект, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.

3. Объекты подобны, если они описываются одной системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и их определяющие критерии равны.

Математическая зависимость между критериями и симплексами подобия, характеризующая данный процесс переноса субстанции, называется критериальным

уравнением:
φ 1, 2 , 3,...,Г1, Г2 ,... 0 .	(2.93)
Если определяемый критерий 1, то получаем:
1 F 2 , 3 ,...,Г1, Г2 ,... .	(2.94)

Обычно критериальные уравнения имеют вид степенной зависимости:

	A a1	a2	...Гв1	Г	в2 ...	.	(2.95)
1	2	3	1		2

Величины А, а1, а2, …, в1, в2 … - определятся экспериментально.

Если какой-либо из определяющих критериев слабо влияет на определяемый критерий, то его исключают из уравнения.

2.3.2.2. Подобие гидромеханических процессов

Запишем для вертикальной оси z уравнения Навье – Стокса:

	p		2	wz			2	wz			2			(2.96)
			2				2				2
												wz
g														.
g														.
	z	x			2	y			2	z			2
	z	x				y				z

Уравнение (2.96) преобразуем следующим образом: отбросив знаки математических операторов, делим одну часть уравнения на другую и находим критерии подобия.

~ ρ

(I)

(II)

ρg,

(III)

(IV)

2 w

~ μ

(V)

Члены в правой части уравнения разделим на ρ

III

(2.97)

где Fr – критерий Фруда.

Этот критерий отражает влияние сил тяжести на движение жидкости, является

мерой отношения сил инерции и тяжести.

p l

Eu , Eu

(2.98)

где Eu– критерий Эйлера. Критерий Эйлера является мерой отношения сил

поверхностного давления и инерции.

(V)

ρwl

, Re

(2.99)

(II)

ρwl

где Re – критерий Рейнольдса. Критерий Рейнольдса является мерой

отношения сил инерции и вязкого трения.

Внутри левой части уравнения имеем:

(I)

, Ho

(2.100)

(II)

где Но – критерий гомохронности (для неустановившегося движения). Все критерии, симплексы, константы подобия безразмерные величины. Для гидродинамического подобия двух явлений требуется:

Гi =idem (i=1,2,3…n),

Re = idem, Eu = idem, Fr = idem, Ho = idem.

(2.101)

Решение уравнения Навье – Стокса может быть представлено критериальным уравнением вида:

f(Re, Ho, Eu,Fr)=0.

(2.102)

В ряде случаев (течение жидкости по трубе, например) последнее уравнение должно быть дополнено симплексами подобия:

f(Re, Ho, Eu, Fr, Гi)=0.

(2.103)

Обычно определяют p, тогда

Eu= f(Re, Ho, Fr, Гi).

(2.104)

Для установившихся процессов критерий гомохронности Ho = 0 и должен быть исключен из уравнений, а критерием Fr можно пренебречь вследствие того, что сила тяжести мала по сравнению с силами инерции и вязкого трения. Таким образом, зависимость (2.104) сводится к виду:

Eu = f(Re, Гi).	(2.105)
При развитых турбулентных режимах, в зоне автомодельности сопротивления
трения по критерию Re, зависимость еще более упрощается и принимает вид:
Eu= f(Гi).	(2.106)

Результаты экспериментальных данных обрабатываются, степенной зависимости:

Eu A Re a1 Ho a2 Fr a3 Гi a4 .

Константы A, ai определяются экспериментально. Рассмотрим подобие граничных условий. Вязкий поток

границу раздела фаз τвгyx можно определить по закону Ньютона:

вг	wx
		.

yx	y
		y 0

обычно, в виде

(2.107)

импульса через

(2.108)

Тот же поток можно выразить в виде линейной зависимости от разности wx на границе и в ядре потока среды:

вг wг			wя ,			(2.109)
yx		x		x
где γ – коэффициент импульсоотдачи.
Тогда получим:
wя wг				wx		(2.110)
				wx	.
					.
x		x		y
				y	y 0
Проведя формальное преобразование получим:					y 0
Проведя формальное преобразование получим:
Nuг	γl	,				(2.111)
Nuг	μ	,				(2.111)
	μ
где l – характерная линейная величина,			Nuг - гидродинамический критерий

Нуссельта.

Гидродинамический критерий Нуссельта является безразмерной формой коэффициента импульсоотдачи. Поскольку поле скорости wx однозначно определяет коэффициент γ, решение уравнений Навье – Стокса можно представить следующим образом:

Nuг = fг(Re, Ho, Fr, Гi).

(2.112)

Для многих практически важных случаев число определяющих критериев может быть сокращено. Влияние силы тяжести на wx зачастую можно пренебречь и исключить критерий Фруда. Для стационарных процессов исключается критерий гомохронности. Процесс импульсоотдачи может стать автомодельным и по отношению к критерию Рейнольдса.

2.3.2.3 Подобие тепловых процессов

Для полного описания конвективного переноса теплоты необходимо присоединить к уравнению Фурье-Кирхгофа уравнение Навье-Стокса и неразрывности, а также алгебраическое уравнение зависимости вязкости от температуры. Однако, это трудно разрешимая задача. Поэтому рассмотрим подобие.

Критерии подобия тепловых процессов выводятся из уравнения ФурьеКирхгофа:

(2.113)

Преобразуем уравнение Фурье-Кирхгофа формальным, но простым способом, отбрасывая знаки математических операторов:

(I),

(II)

(III)

Далее, разделив одну часть уравнения на другую, находим критерии подобия.

III

l 2

Fo ,

(IV)

l 2

(2.114)

l 2

Критерий

Фурье

характеризует

распространение

теплоты

теплопроводностью при изменении температуры во времени, является аналогом критерия гомохронности Ho .

	wT
(II)		wl			wl
(II)	l	wl	Pe ,	Pe	wl
						.	(2.115)
(III)	aT	a			a	.	(2.115)

l 2

Критерий Пекле Pe характеризует отношение между интенсивностью переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью в движущемся потоке.

Рассмотрим подобие граничных условий.

Тепловой поток на границе раздела фаз можно выразить с помощью уравнения Фурье:

qтг	dT		.	(2.116)

y	dy
		y 0

Тот же поток можно выразить в виде линейной зависимости от разности температур на границе и в ядре потока жидкости T я T г

q тг Т я Т г ,

(2.117)

где α – коэффициент теплоотдачи. Тогда получим:

q тг

T я - Tг T .

(2.118)

y 0

Проведя формальное преобразование (2.118) имеем:

(I)

T T ,

(II)

( II )

l Nu ,

( I )

(2.119)

Критерий Нуссельта Nu характеризует отношение суммарного переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью (т.е. теплоотдачей) к теплоте,

передаваемой теплопроводностью.
Для подобия процессов теплообмена необходимо Fo idem,	Pe idem,
Nu idem .

Кроме того, необходимым условием подобия процессов переноса теплоты является соблюдение и гидродинамического подобия. Тогда критериальное уравнение теплоотдачи имеет вид:

f1( Fo,Nu,Pe,Ho,Fr,Re,Гi ) 0 ,			(2.120)
		или
Nu f2( Fo,Pe,Ho,Fr,Re,Гi ) .			(2.121)
Критерий Эйлера в уравнение не вошел, т.к. Eu=f(Re) . Преобразование
критерия Пекле дает:
wl
Pe		Re Pr .	(2.122)

	a

Критерий Прандтля Pr=ν/a – характеризует подобие физических свойств теплоносителей. Для газов Pr≈1, жидкостей Pr=10 - 100 .

Для установившегося процесса теплообмена:

Nu f2(Pr,Re,Fr,Гi ).

При вынужденной теплоотдаче критерием Fr можно пренебречь:

Nu f2(Pr,Re,Гi ) .

Обычно критериальное уравнение представляют в виде зависимости:

Nu A òFoa1 òPea2 òHoa3 òFr a4 òRea5 òГi a6 .

Здесь А, а1-6 – экспериментально определяемые коэффициенты.

2.3.2.4 Подобие массообменных процессов

Критерии подобия в бинарных системах находятся из нестационарной конвективной диффузии (без источниковых членов):

(2.123)

(2.124)

степенной

(2.125)

уравнения

(2.126)

Преобразуем уравнение (2.126) формальным способом и разделив одну часть уравнения на другую получим:

, (I)

wci

(II)

jiyдг

(III)

III

Dij

Dijt

Foд ,

(IV)

Foд

Dijt

(2.127)

l 2

Диффузионный

критерий

Фурье

характеризует

подобие

неустановившихся процессов массообмена.

wci

(II)

Peд

(2.128)

Dij

(III)

Dij ci

Dij

l 2

Диффузионный критерий Пекле Peд

характеризует отношение переноса

вещества конвекцией к молекулярному переносу в сходственных точках.

Часто Peд заменяют отношением:

Dij

(2.129)

Dij

Диффузионный критерий Прандтля

выражает постоянство отношений

физических свойств веществ в сходственных точках подобных систем. По существу Prд характеризует отношение профиля скоростей (через ν) к профилю концентраций (через Di,j), т.е. отношение толщины гидродинамического и диффузионного пограничного слоев. Иногда Prд называют критерием Шмидта Sc .

Рассмотрим подобие граничных условий. Поток массы через границу раздела фаз (конвективный механизм отсутствует) можно записать:

j дг	D	ci
			.

iy	ij	y	y0

Этот же поток переносится из ядра потока к поверхности раздела фаз:

i ciя ciг .

Тогда получим:					c я cг .
j дг D		ci		i
		ci

iy	ij				i	i
		y	y0
			y0

(2.130)

(2.131)

(2.132)

Проводя, как и для тепловых процессов, формальные преобразования получим:

(I)

c я cг

(II)

ij y

y 0

ij l

(II)

ici

(I )

Dij l

(2.133)

Dij

Диффузионный критерий Нуссельта Nu

характеризует отношение скорости

переноса вещества (конвективного и молекулярного) к молекулярному переносу. Иногда называют Nuд критерием Шервуда Sh .

Для	подобия процессов массообмена необходимо равенство значений
критериев Foд idem , Peд idem , Nuд idem.
Для	соблюдения подобия процессов массоотдачи необходимо также
соблюдение гидродинамического подобия. Тогда можно записать:
	f1( Foд ,Nuд ,Peд ,Ho,Fr,Re,Гi ) 0 .	(2.134)

По смыслу Nuд безразмерный коэффициент массоотдачи и является искомой величиной. Поэтому можно записать:

Nuд f2( Foд ,Peд ,Ho,Fr,Re,Гi ).	(2.135)
Для установившегося процесса Foд = 0, Ho = 0:
Nuд f2( Peд ,Fr,Re,Гi ) .	(2.136)
Критериальное уравнение процесса массоотдачи обычно представляется в
виде степенной зависимости:

Nu	д	A Fo	a1 Pe	a2 Hoa3	Fra4	Rea5 Г a6 .	(2.137)
	д	д	д			i

Здесь А, а1-6 – экспериментально определяемые коэффициенты.

Подобие гидромеханических, тепловых и массообменных процессов были рассмотрены для случая ламинарного движения среды с постоянными теплофизическими свойствами. Турбулентный режим не приводит к появлению новых критериев подобия. При турбулентном режиме меняется лишь вид зависимости между критериями.

2.3.3 Определение коэффициентов массо-, тепло-, импульсоотдачи

Для нахождения коэффициентов массо-, тепло-, импульсоотдачи необходимо знать соответственно поля концентраций, температуры и скорости в

непосредственной близости от границы раздела фаз. Теоретически это можно сделать, решив систему дифференциальных уравнений, составляющих исчерпывающее описание процессов переноса в данной фазе.

Поскольку решение системы дифференциальных уравнений может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия, коэффициенты массо- , тепло-, импульсоотдачи определяются по критериальным уравнениям, полученных обобщением опытных данных и приводимых в справочной литературе для различных условий проведения процессов:

i	Nuд Dij	,	Nu	,	Nuг	.	(2.138)
	l		l		l

Значения Nuд , Nu , Nuг определяются по критериальным уравнениям вида

(2.112), (2.125), (2.137).

2.3.4 Аналогия процессов массо-, тепло-. импульсоотдачи

Аналогия процессов обуславливается аналогией уравнений переноса, а также уравнений массо-, тепло-. импульсоотдачи . Аналогия позволяет использовать результаты исследований одного процесса для описания других. Однако необходимо отметить об отсутствии полной аналогии процесса переноса импульса с переносом массы и тепла, вследствие векторной природы импульса и скалярной двух других, а также наличия в уравнении движения двух дополнительных членов, учитывающих влияние на перенос импульса массовых и поверхностных сил давления.

Аналогию процессов тепло- и массоотдачи можно установить, изучая критерий , полученный отношением теплового Нуссельта на диффузионный:

тд

Можно записать:

Dij

тд

f (Le) ,

где Le критерий Льюиса:

Dij

(2.139)

(2.140)

Имея в виду применяемую обычно степенную форму критериальных

уравнений можно записать:
	тд	Len ,	n f (Re, Pr,Pr )	(2.141)
	тд		д

При Re→∞ (турбулентный режим) n→1.

Таким же образом можно представить гидродинамическую аналогию процессов тепло- и массоотдачи:

тг

f1 Pr Pr

Nuг

дг

f 2

Pr Prд

Nuг

n n(Re, Pr ) .

n n(Re,Prд ).

(2.142)

(2.143)

При Pr=1 достигается полная аналогия процессов тепло- и импульсоотдачи (аналогия Рейнольдса), обусловленная идентичностью полей скорости и температуры: тг =1.

Уравнения (2.141)-(2.143) позволяют по известным уравнениям гидродинамического подобия и значения показателя n определить коэффициенты тепло- и массоотдачи.

2.3.5 Проблема масштабного перехода для промышленных аппаратов

Проектирование и внедрение аппаратов большой единичной мощности (например, массообменных колонн до 10 м в диаметре и высотой до 100 м) выявило существенное снижение их эффективности по сравнению с лабораторными моделями (масштабный эффект). Причины:

-возникновение по сечению аппарата гидродинамических неоднородностей; -изменение значений коэффициента турбулентного переноса; -невозможность достижения одновременного подобия полей w,T и сi.

В связи с этим возникает проблема масштабного перехода от лабораторной модели к промышленному аппарату. Традиционно она решается следующим образом:

-изготовление и исследование лабораторной модели; получение критериального уравнения;

-проектирование с использованием критериального уравнения пилотной установки; ее изготовление и исследование; коррекция критериального уравнения;

-проектирование, изготовление и исследование полупромышленной установки с целью коррекции описания;

-проектирование и изготовление промышленной установки.

Все это приводит к удорожанию и затягиванию сроков внедрения новой техники. С целью устранения этих недостатков был предложен двухуровневый подход к проектированию промышленных аппаратов на основе гидродинамического моделирования. Предполагается, что основную роль в масштабном эффекте играет изменение гидродинамической структуры потоков при переходе к аппаратам больших размеров. Пилотную и полупромышленные установку заменяют стендом, на котором в промышленном масштабе изучается небольшой по высоте участок аппарата с целью коррекции критериального уравнения.

Попытка решения проблемы масштабного перехода, привела к разработке метода сопряженного физического и математического моделирования.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Процессы и аппараты химической технологии

#
10.10.2020896.15 Кб151) Основы теории процессов переноса импульса.pdf
#
10.10.2020688.52 Кб1410) Выпаривание.pdf
#
10.10.20201.12 Mб72) Межфазный перенос.pdf
#
10.10.20201.56 Mб143) ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ.pdf
#
10.10.2020949.15 Кб274) Разделение неоднородных систем.pdf
#
10.10.20201.62 Mб145) Конструкция аппаратов гравитационного осаждения.pdf
#
10.10.20201.58 Mб86) Электроосаждение, фильтрование.pdf
#
10.10.20201.69 Mб137) Перемешивание.pdf