2.2. Основные уравнения движения жидкости

2.2.1. Уравнение неразрывности (сплошности) потока

Уравнение неразрывности (сплошности) потока выражает закон сохранения массы для движущейся сплошной среды. Выделим в пространстве произвольный объем жидкости c поверхностью , через который проходит поток жидкости (рис. 2.8.)

Масса жидкости в объеме Изменение массы во времени в объеме связано с изменением плотности, т. е.

(2.19)

Рис. 2.8. Схема к выводу уравнения

неразрывности потока

С другой стороны, это изменение возможно только за счет притока жидкости через площадь поверхности

(2.20)

Значения массового расхода в уравнениях (2.19) и (2.20) равны, поэтому

(2.21)

Преобразуя поверхностный интеграл в объемный по формуле Остроградского–Гаусса, получим

(2.22)

Подставив уравнение (2.22) в выражение (2.21), запишем

Поскольку объем произволен и пределы интегрирования не ог-раничены, можно приравнять к нулю подынтегральную функцию. В результате получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме

(2.23)

Равенство нулю суммы слагаемых в уравнении (2.23) означает, что масса движущейся среды остается постоянной, т. е. отсутствует приток или отток жидкости. Однако в некоторых случаях такое условие не соблюдается. Примером тому могут служить потоки, в которых происходят химические реакции с образованием новых веществ, изменяется фазовое состояние (образование паровых или газовых пузырьков, кристаллов и т. п.). Такие течения называются течениями с переменной массой и рассматриваются в специальных курсах гидроаэромеханики.

Для несжимаемой жидкости , , уравнение (2.23) примет вид

, (2.24)

или в проекциях на координатные оси

(2.25)

Уравнение (2.25) называется также условием несжимаемости.

2.2.2. Уравнения переноса импульса

Движение жидкости происходит под действием различных сил, которые можно разделить на две группы – внутренние и внешние. Внутренними называются силы взаимодействия между частицами жидкости (молекулами). Внешние силы приложены к жидкости извне. Они делятся на массовые и поверхностные. К массовым силам относятся сила тяжести, инерционные силы; к поверхностным – силы давления и трения.

Так как нами принята модель сплошной текучей среды, то при выводе уравнений движения силы межмолекулярного взаимодействия, которые, в свою очередь, описываются специальными уравнениями, непосредственно не рассматриваются. Влияние этих сил учитывается введением коэффициентов молекулярного переноса, в частности коэффициентов вязкости.

Массовые силы пропорциональны массе жидкости и равны произведению массы на плотность распределения этой силы:

(2.26) где

По существу, плотность распределения массовых сил есть ускорение этих сил.

Через проекции на координатные оси вектор может быть представлен в виде

Поверхностные силы пропорциональны площади поверхности, на которую они действуют. Напряжение сил на площадке с нормалью n определяется равенством

Рассмотрим напряжения, возникающие в элементе жидкости в виде тетраэдра (рис. 2.9).

_z

x

_y

Рис. 2.9. Напряженное состояние элемента жидкости

Напряженное состояние будет определяться суммой массовых и поверхностных сил. Оценим их порядок. Массовые силы , поверхностные − , т. е. на порядок меньше , поэтому массовыми силами пренебрегаем.

Таким образом, будем рассматривать напряженное состояние элемента жидкости под действием только поверхностных сил. Напряжение этих сил выразим через составляющие, совпадающие с направлением осей координат как и .

При произвольном расположении площадки с внешней нормалью n вектор может быть представлен в виде равенства

или в проекциях на координатные оси

,

где и − нормальные и касательные напряжения.

В качестве примера на рис. 2.10 показаны направления нормальных и касательных напряжений в плоскости

z

0

x

Рис. 2.10. Нормальные и касательные напряжения

в элементарном объеме жидкости

Таким образом, вектор напряжения определяется девятью скалярными величинами: и может быть выражен тензором напряжений

(2.27)

Примем условие симметричности тензора (2.27) относительно главной диагонали. Тогда и Таким образом, напряжение определяется только шестью скалярными величинами. В покоящейся жидкости, согласно уравнению (1.6), касательные напряжения равны нулю. Тогда но есть проекции на соответствующие оси, т.  е. . Давление в произвольной точке покоящейся среды, равное , не зависит от ориентации площадки в пространстве. В этом заключается важнейшее свойство гидростатического давления.

Давлением в движущейся жидкости постулируется величина

(2.28)

Связь между напряжениями тензора (2.27) и скоростями деформаций тензора (2.11) устанавливается на основе гипотезы Ньютона о линейной зависимости между ними.

Для нормальных напряжений эта связь выражается в виде равенства (по оси )

(2.29) где и – динамические коэффициенты вязкости, причем коэффициент относится только к сжимаемой жидкости.

Суммируя нормальные напряжения , запишем

. (2.30)

Для соблюдения равенства (2.28) необходимо, чтобы в уравнениях (2.29) и (2.30)

(2.31)

Тогда нормальные составляющие тензора можно представить следующим образом:

(2.32)

Касательные напряжения выражаются уравнениями

(2.33)

Уравнения (2.32) и (2.33) выражают обобщенный закон течения Ньютона.