2.8.1. Уравнение Бернулли для неустановившегося движения

Вывод уравнения основан на равенстве (2.74). Приняв движение одномерным вдоль оси и потенциальным , получим

. (2.235)

Умножив равенство (2.235) на , запишем его в виде суммы интегралов:

. (2.236)

Разделив уравнение (2.236) на и опустив индекс «» при скорости, получим

.

После интегрирования слагаемых следует

. (2.237)

Уравнение (2.237) называется уравнением Бернулли для неустановившегося движения идеальной жидкости.

В уравнение для реальной среды должно войти слагаемое, учитывающее потери на гидравлическое трение. Заменив локальные скорости на средние, запишем

, (2.238)

где – инерционный напор.

Приняв и , получим из уравнения (2.237)

где – длина трубопровода.

Инерционный напор не связан с диссипативными силами. Он выражает обратимые преобразования энергии. Для ускоренного движения , для замедленного – .

При движении жидкости в трубопроводе появление инерционных сил, связанных с изменением скорости движения во времени, приводит к изменению давления. С практической стороны нас больше всего интересует расчет приращения давления при постепенном и мгновенном перекрытии трубопровода.

2.8.2. Постепенное перекрытие трубопровода

Рассмотрим для примера трубопровод, который перекрывается задвижкой за время (рис. 2.54). При и , опустив индексы, запишем

(2.239)

где − избыточное давление перед задвижкой.

Из уравнения (2.198) скорость движения жидкости в данный момент

, (2.240)

где .

Из совместного решения уравнений (2.239) и (2.240) следует

. (2.241)

Рис. 2.54. Схема к определению изменения давления

при перекрытии трубопровода

Если задан закон изменения коэффициента расхода , то интегрирование уравнения (2.241) дает возможность рассчитать процесс торможения жидкости в трубе.

В целях решения задачи, связанной с повышением давления в трубопроводе при постепенном его перекрытии, примем некоторые упрощенные условия:

− стенки трубы и жидкость не обладают упругостью;

− скоростным напором и гидравлическими потерями пренебречь;

− закон изменения во времени линейный, т. е.

(2.242)

где и − коэффициенты расхода в начале и конце закрытия (при полном закрытии ); − время закрытия.

С учетом принятых допущений уравнение (2.239) примет вид

. (2.243)

Так как при закрытии , то

и . (2.244)

Из уравнения (2.240) следует

.

В начальный момент времени в трубопроводе имело место установившееся течение и, согласно уравнению (2.198),

,

где − начальная скорость жидкости.

По окончании закрытия течение вновь станет установившимся со скоростью

.

Отношение текущей скорости к начальной

. (2.245)

В уравнении (2.242) отношение

. (2.246)

Из совместного решения уравнений (2.242), (2.245) и (2.246) следует

. (2.247)

В конечном итоге нас интересует максимальная величина напора, которой соответствует значение . Максимум инерционного напора найдем из условий .

Дифференцируя уравнение (2.247) по времени, получим после преобразования

, (2.248) где .

Из уравнений (2.244) и (2.248) следует, что максимальное давление

.