Добавил:

ssskillbei145xx Без скрытых скриптов, криптомайнинга, вирусов и прочего, - чистая литература. 你好，所有那些谁花时间翻译中国 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

Процессы и аппараты пищевых производств

Файл:

Тишин ВБ Новоселов АГ Процессы переноса в технолог аппаратах

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.09.2020

Размер:

4.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Через проекции на координатные оси вектор		может быть
Через проекции на координатные оси вектор	F	может быть
представлен в виде

F Fxi Fy j Fz k ,

где i, j, k – единичные векторы.

Поверхностные силы пропорциональны площади поверхности, на которую они действуют. Напряжение сил на площадке с нормалью n определяется равенством


pn	lim ( P/ S ).
	S 0

Рассмотрим напряжения, возникающие в элементе жидкости, в виде тетраэдра (рис. 1.4). Напряженное состояние будет определяться суммой массовых и поверхностных сил. Оценим их порядок. Массовые силы dRm ~ ρ dV ~ ρ dxdydz , поверхностные −

dP ~ dS ~ dxdy , т. е. dRm на порядок меньше dP, поэтому массовыми силами пренебрегаем.

p y

Рис. 1.4. Напряженное состояние элемента жидкости

Таким образом, мы будем рассматривать напряженное состоя-

ние элемента жидкости под действием только поверхностных сил.

Напряжение этих сил pn выразим через составляющие, совпадающие

с направлением осей координат, как px , py и		pz .

Напряженное состояние будет определяться суммой массовых и поверхностных сил. Оценим их порядок. Массовые силы

dRm ~ dV ~ dxdydz , поверхностные − dP ~ dS ~ dxdy , т. е. dRm на порядок меньше dP. Поэтому массовыми силами пренебрегаем.

При произвольном расположении площадки с внешней норма-

лью n вектор pn может быть представлен в виде равенства

pn	pnx cos(n, ^ x)	pny cos(n, ^ y)	pnz cos(n, ^ z),

или в проекциях на координатные оси:

pnx	σ xcos(n, ^ x)	τ xycos(n, ^ y)	τ xzcos(n, ^ z);
pny	τ yxcos(n, ^ x)	σ ycos(n, ^ y)	τ yzcos(n, ^ z);
pnz	τ zxcos(n, ^ x)	τ zy cos(n, ^ y)	σ z cos(n, ^ z) ,

где и − нормальная и касательная компоненты напряжения.

В качестве примера на рис. 1.5 показаны направления компонентов напряжений в плоскости z0x

		zx
			xz

x			x
xz
0	zx		x

Рис. 1.5. Нормальные и касательные напряжения в элементарном объеме жидкости

Таким образом, вектор напряжения pn определяется девятью скалярными величинами ( x , y , z , xy , xz , yx, yz , zx , xy ) и может быть выражен тензором напряжений

	σ x τ xy τ xz
T	τ yx σ y τ yz	.	(1.12)
	τ zx τ zy σ z

Между матрицами (11) и (1.12) существует прямая зависимость, выражающая закон внутреннего трения для ньютоновских жидкостей:

					T	2 .
		В проекциях на координатные оси это равенство примет вид
уравнений (1.17) и (1.18).
		Примем условие симметричности тензора (1.12) относительно
главной			диагонали.		Тогда	xy	yx ;	yz	zy ;	zx	xz
и	x	y	z	const.	Таким образом,		напряжение		определяется
	x	y	z

только шестью скалярными величинами. В покоящейся жидкости, согласно уравнению (1.6), касательные напряжения равны нулю. То-

гда,	pnx	xcos(n, ^ x),		pny	ycos(n, ^ y),		pnz	zcos(n, ^ z),	но
pnx ,	pny , pnz		есть проекции			на соответствующие оси, т.			е.
pnx ,	pny , pnz		есть проекции		pn	на соответствующие оси, т.			е.
			z . Давление в произвольной точке покоящейся сре-
pn	x	y	z . Давление в произвольной точке покоящейся сре-
ды,	равное	p	pn	x	y	z , не	зависит	от ориентации

площадки в пространстве. В этом заключается важнейшее свойство гидростатического давления.

Давлением в движущейся жидкости постулируется величина

	p		1	(			z ).	(1.13)
	p			(	x	y	z ).	(1.13)
		3
	Для нормальных напряжений эта связь выражается в виде ра-
венства (по оси 0x )
						ux		(1.14)
	x	p			2		div u,
		p			2	x	div u,


где	и – динамические коэффициенты вязкости, причем коэффи-
циент	относится только к сжимаемой жидкости.

Суммируя нормальные напряжения x , y , z , запишем

				(1.15)
x	y	z	3 p (2 3 )div u .

Для соблюдения равенства (1.13) необходимо, чтобы в уравне-

ниях (1.14) и (1.15)

2	.	(1.16)
3

Тогда нормальные составляющие тензора T можно представить следующим образом:

		ux	2
p	2			div u;
p	2	x	3	div u;
		x	3
		uy	2		(1.17)
p	2			div u;
p	2	y	3	div u;
		y	3
		uz	2
p	2			div u.
p	2	z	3	div u.
		z	3

Касательные напряжения выражаются уравнениями


xy	ux	uy	;
	y	x	;


yz	uy	uz		;	(1.18)
	z	y		;	(1.18)

zx	ux	uz	.
	z	x

Уравнения (1.18) выражают обобщенный закон течения Ньютона. Они определяют поток импульса силы трения (количества движения) в единицу времени через единицу площади трущихся поверхностей. Для случая одномерного движения, приведѐнного на рис. 1.2, уравнения (1.18) приобретают вид (1.7).

1.2.3. Уравнение движения в напряжениях

Вывод уравнения основан на законе изменения количества движения применительно к массе жидкости, заключенной в объеме V: изменение количества движения в единицу времени равно главному вектору сил, действующих на элемент жидкости:


dK				(1.19)
	R	Rm	P.

dt

Количество движения можно представить в виде интеграла

		(1.20)
K	udV .	(1.20)

Изменение количества движения связано с изменением векто-

ра скорости u во времени. Тогда из предыдущего уравнения


dK		du	dV .
			dV .
dt	V	dt
	V

Главный вектор поверхностных сил


P	pndS	div pndV .
	S	V

(1.21)

(1.22)

Подставляя уравнения (1.11), (1.21), (1.22) в равенство (1.19) и суммируя подынтегральные функции с учетом произвольности

объема V , получим

	du			(1.23)
		F	div pn .
	dt

В проекциях на координатные оси уравнение движения в напряжениях (1.23) примет вид

ρ	dux	ρF	σx	τxy	τxz	;	(1.24)
ρ		ρF				;	(1.24)
	dt	x	x	y	z
	dt		x	y	z

duy

ρF

τ yx

σ y

τ yz

;

(1.25)

duz

ρF

τzx

τzy

σz

(1.26)

1.2.4.Уравнения движения вязкой сплошной среды

Вобщем виде уравнения движения могут быть получены путем подстановки уравнений (1.17) и (1.18) в выражения (1.24)–(1.26).

Впроекциях на координатные оси получим

dux

ρFx

u y

(

div u);

(1.27)

du y

ρFy

u y

(

div u) ;

(1.28)

duz

ρFz

u y

(

div u).

(1.29)

Уравнения (1.27)–(1.29) выражают баланс количества движения потока жидкости в общем виде.

Из уравнений (1.27)–(1.29) следует несколько частных реше-

ний. Если

const и среда несжимаема,

0 . После деления

то div u

уравнений (1.27)–(1.29) на запишем

dux

;

duy

;

(1.30)

duz

uz .

Выразим полную производную через частные. Для краткости ограничимся одномерным потоком в направлении оси x :

dux

u y

(1.31)

В векторной форме система уравнений (1.30) примет вид

u grad u

grad p

(1.32)

где 2 – оператор Лапласа,

(1.33)

При отсутствии сил трения из уравнения (1.32) следует урав-

нение движения идеальной жидкости:

grad p.

(1.34)

В случае статического

равновесия u

и уравнение (1.34)

примет вид

grad p .

(1.35)

Уравнения движения идеальной жидкости гидростатики (1.34) и (1.35) носят имя Эйлера.

Уравнение (1.32), называемое уравнением Навье–Стокса, по сути своей выражает второй закон Ньютона и устанавливает связь между массовыми и поверхностными силами, отнесѐнными к единице массы жидкости. Слагаемые в нем имеют размерность ускорения

и характеризуют величину сил, действующих в потоке жидкости.

Первое слагаемое левой части du/dt представляет собой уско-

рение элемента жидкости, вызванное изменением скорости во времени; второе – ускорение, вызванное изменением скорости элемента жидкости в пространстве при перемещении его из одной точки пространства в другую и называемое конвективным ускорением. Оба

слагаемых определяют величину сил инерции.
	Слагаемые в правой	части равенства	(1.32) выражают:
		– силы давления;	ν	2		– силы вязко-
F – массовые силы; 1/ grad p					u

го трения.

При решении задач гидрогазодинамики с использованием уравнения Навье–Стокса необходимо задание краевых условий, из которых отметим два:

1) нормальная к твердой поверхности составляющая скорости

un 0;

2) касательная составляющая скорости равна скорости движения самой поверхности.

Уравнения Навье–Стокса (1.27)–(1.29) не являются замкнутой системой, поэтому к ним необходимо добавить уравнения зависимости плотности и вязкости от температуры и уравнение неразрывности потока (1.4). Уравнения Навье–Стокса понадобятся нам при решении целого ряда задач, связанных с динамикой движения жидких сред.

Однако, прежде чем переходить к решению частных задач, основанных на уравнении Навье–Стокса, необходимо познакомиться с законом сохранения энергии применительно к движущейся жидкости.

1.3. Уравнение энергии

При движении жидкости соблюдается закон сохранения и пре-

вращения энергии, который может быть сфоpмулиpован следующим

образом: изменение во времени полной энергии E в объеме среды

равно сумме мощности N всех внешних сил, приложенных к объему, и теплового потока Qт , т. е.


dE	N Qт .	(1.36)

dt
dt

Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной (внутренней) энергий. Для гомогенной жидкости, без изменения агрегатного состояния,

	ρu	2
E			dV c TρdV ;

	2		v
V			V

			u2
dE	d	ρ	u2	ρc T dV .
		ρ		ρc T dV .
dt	dt V		2	v
dt	dt V		2

Мощность внешних сил

N Nm NS ,

где Nm и NS – мощность массовых и поверхностных сил, причем

NS uPS


uRm	uFρdV ;
	V

upndS		div ( pnu)dV .
S	V

В общем случае подведенная теплота складывается из конвективного и радиационного потоков:

Qт Qк Qр ,

где

Q	dT	dS ( grad T )		dS	div ( grad T )dV ;
			n
к	dn
S		S			V

		29

Qр qрdV ,

здесь qр – плотность радиационного теплового потока. Суммируя Qк и Qр , получим

Qт div( grad T )dV	qрdV .
V	V

Подставим значения полученных величин в уравнение (1.36). Отнеся значения энергий к единице объѐма элемента жидкости и суммируя подынтегральные функции, имея в виду, что при отсутствии изменения агрегатного состояния теплоѐмкость при постоянном объѐме равна теплоѐмкости при постоянном давлении (cV = cp), запишем

	d		u2				(1.37)
ρ				c pT	ρuF	div( pu) div(λ grad T ) ρqр ,
	dt	2

где c p – удельная теплоемкость при постоянном давлении.

При отсутствии теплообмена с окружающей средой слагаемые div( grad T) и qp равны нулю. В этом случае из уравнения (1.37)

следует

(upx )

(upy )

(upz )

(c pT ) uFρ

ρu

uFρ ρu

После перегруппировки слагаемых запишем

(c pT )

u ρ

ρF

<<< < Предыдущая 1 23 / 203 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Процессы и аппараты пищевых производств

#
13.09.2020973.11 Кб9Д6900 Забодалова Производственный контроль.pdf
#
13.09.20201.16 Mб5Д6903 Алексеев ГВ Системный подход в пищевой инженерии.pdf
#
13.09.2020939.68 Кб30Д6954 Новоселов АГ Процессы и аппараты биотехнологических производств.pdf
#
13.09.2020884.22 Кб4Новоселов АГ Методические указания для самостоятельного изучения курса ТОПИТМ.doc
#
13.09.20202.76 Mб36Новоселов АГ Процессы и аппараты пищ производств Ч1.pdf
#
13.09.20204.22 Mб13Тишин ВБ Новоселов АГ Процессы переноса в технолог аппаратах.pdf
#
13.09.20202.14 Mб7Тишин ВБ Эксперимент и поиск матем.pdf