Тишин ВБ Новоселов АГ Процессы переноса в технолог аппаратах

Следовательно, производные от составляющих скоростей по разноименным координатам есть скорости относительных угловых деформаций элемента жидкости, или его угловые скорости вращения относительно осей координат.

Из выражения (8) видно, что первые две производные – это угловые скорости вращения бесконечно малого отрезка относительно оси 0 z , вторые – относительно оси 0 x и третьи – относительно оси 0 y .

Вихревое движение жидкости. При движении жидкости можно наблюдать образование вихрей (например, при встрече с препятствиями). Рассмотрим движение элемента жидкости, имеющего проекцию на плоскость x0z в виде прямоугольника 0ABC (рис. 3). За время dt прямоугольник повернется и деформируется таким образом, что точка A переместится в положение A1, точка B – в положение B1 и т. д.

Согласно выражениям (8) и рис. 3,

Суммарная угловая деформация элемента жидкости

z

С1

Рис. 3. Линейная и угловая деформации элементарного объема жидкости

Скоростью угловой деформации в плоскости x0z принято называть величину

12

Из девяти скалярных величин линейных и угловых деформаций можно составить матрицу, называемую тензором скоростей деформаций:

Трубка тока, элементарная струйка. Поверхность, образо-

ванная линиями тока, проведенными через точки произвольного контура, называется трубкой тока.

Трубка тока бесконечно малого сечения, заполненная линиями тока, называется элементарной струйкой.

Сечение, нормальное к линиям тока, называется «живым» сечением. Скорость по сечению элементарной струйки ввиду малости ее живого сечения постоянна и равна локальной скорости.

Расход жидкости через сечение элементарной струйки может быть определен следующим образом. За время dt через живое сечение dS элементарной струйки проходит объем жидкости dV dS dl . Так как dl udt , то dV udtdS . Величина элементарного объемного

Тогда объемный расход жидкости через живое сечение потока, состоящего из бесконечно большого множества элементарных струек,

Модель, согласно которой поток представляется в виде системы бесконечно большого количества элементарных струек, называется струйной моделью потока. При этом постулируется, что боковая

13

поверхность каждой струйки является непроницаемой для среды, движущейся в соседних с ней струйках.

Средняя скорость потока

Равенство (14) представляет закон сохранения массы (неразрывности) или постоянства расхода в интегральной форме. В дифференциальной форме уравнение неразрывности мы получим в следующем разделе. Индексы 1 и 2 в равенствах (14) и (15) соответствуют двум произвольно выбранным по длине потока живым сечениям. Аналогичным образом можно записать закон постоянства расхода для любого числа выбранных живых сечений.

14

1.ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

1.1.Уравнение сохранения массы (неразрывности потока)

Уравнение выражает закон сохранения массы в движущейся сплошной среде. С целью его получения выделим в пространстве произвольный объем жидкости V с поверхностью S , через который проходит поток жидкости (рис. 1.1). Масса жидкости в выделенном

объѐме m dV . Изменение массы во времени при постоянном объ-

n u

dS

Рис. 1.1. Схема к выводу уравнения неразрывности потока

С другой стороны, это изменение возможно только за счет притока или оттока жидкости через площадь поверхности S:

где un – скорость жидкости по нормали к поверхности в произвольной точке.

15

Значения массовых расходов в уравнениях (1.1) и (1.2) равны, поэтому

Подставив уравнение (1.3) в полученное равенство, запишем

V t

div ( u) dV 0.

Поскольку объем произволен и пределы интегрирования не ограничены, можно приравнять к нулю подынтегральную функцию. В результате получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме:

Равенство нулю суммы слагаемых в уравнении (1.4) означает, что масса движущейся среды остается постоянной, т. е. отсутствует

Уравнение (1.5а) выражает также условие несжимаемости жидкости.

16

1.2. Уравнение переноса количества движения

1.2.1. Вязкость

Любое движение жидкости происходит под действием различных сил, которым противостоит сила трения, оказывающая сопротивление движению. Способность жидкости оказывать сопротивление движению называется вязкостью. Для пояснения сказанного рассмотрим движение жидкости вдоль плоской поверхности (рис. 1.2). Скорость жидкости по нормали к поверхности изменяется от u 0 при y 0 до u uпри y , где u– скорость на бесконечном удалении от поверхности.

Рис. 1.2. Распределение скорости при движении жидкости у твердой поверхности

Согласно гипотезе Ньютона, сила трения, возникающая в результате проскальзывания слоѐв жидкости относительно друг друга, пропорциональна площади трущихся поверхностей S и градиенту скорости (скорости сдвига) du / dy . Считая силу трения величиной положительной, запишем

где знак плюс соответствует положительному значению градиента скорости, минус – отрицательному; коэффициент пропорционально-

17

сти называется динамическим коэффициентом вязкости или просто

динамической вязкостью.

Обозначив отношение F / S буквой , из формулы (1.6) получим уравнение для определения касательного напряжения:

Формула (1.7) выражает закон течения Ньютона. Жидкости, течение которых подчиняется этому закону, называются ньютоновскими (вода, спирт, молоко, глицерин и т. п.).

Из уравнения (1.7) следует размерность динамической вязкости – ньютон-секунда на квадратный метр (Н∙с/м2). С позиций гидромеханики динамическая вязкость характеризует величину потока импульса силы трения через единицу поверхности трущихся слоѐв.

В гидравлических расчетах часто используется понятие кинематического коэффициента вязкости , представляющего собой отношение / . Размерность этой величины – квадратный метр на секунду (м2/с).

При определении вязкости жидкостей и газов предпочтительно пользоваться табличными данными, составленными на основе экспериментальных исследований. При отсутствии таковых можно воспользоваться формулами, приведенными в справочной литературе.

Вязкость несжимаемых жидкостей в значительной степени зависит от температуры и в меньшей – от давления.

В пищевой технологии весьма часто приходится транспортировать и перерабатывать жидкости, течение которых не подчиняется закону Ньютона. Такие жидкости называются неньютоновскими. Для них характерно отсутствие прямолинейной зависимости от градиента скорости. В гидромеханике неньютоновских сред принято обозначать отношение du / dy через и называть скоростью сдвига.

Графическое изображение зависимостей f ( ) называют кривыми

течения.

На рис. 1.3 изображены кривые течения некоторых наиболее часто встречаемых жидкостей. Линия 1 соответствует ньютоновской жидкости. Кривая 2 изображает закон течения псевдопластичных жидкостей, 3 – дилатантных, 4 – жидкостей Бингама. К псевдопластичным жидкостям относятся высокожирные сливки, сметана, мед,

18

джемы, а к дилатантным – некоторые высококонцентрированные дрожжевые и другие суспензии (речной песок, краски и пр.).

Жидкости Бингама начинают течь только после приложения к ним определенной внешней нагрузки, при которой касательное напряжение достигает предельной величины пр . После этого ее тече-

ние либо подчиняется закону Ньютона, либо отличается от него. К таким продуктам можно отнести плавленый сыр, сливочное масло, различные кремы и т. п.

Законы течения жидкостей, представленные кривыми 2 и 3,

где k – показатель консистенции жидкости; n – индекс течения, при n 1 k = 1, следовательно, жидкость ньютоновская. По величине n можно судить о степени отклонения течения неньютоновских жидкостей от ньютоновских. Для жидкостей, представленных кривой 2, n < 1, а для жидкостей, изображенных кривой 3, n > 1.

19

По аналогии с ньютоновскими жидкостями можно записать

где эф – эффективная (кажущаяся) вязкость, соответствующая данным значениям и .

Из уравнений (1.7) и (1.8) следует

тантных – повышается.

1.2.2. Силы, действующие в жидкости Напряжѐнное состояние жидкости

Силы, под действием которых происходит движение жидкости, можно разделить на две группы – внутренние и внешние. Внутренними называются силы взаимодействия между молекулами жидкости. Внешние силы приложены к жидкости извне. Последние делятся на массовые и поверхностные. К массовым силам относятся сила тяжести и инерции; к поверхностным – силы давления и трения.

Так как нами принята модель сплошной текучей среды, то при выводе уравнений движения силы межмолекулярного взаимодействия, которые, в свою очередь, описываются специальными уравнениями, непосредственно не рассматриваются. Влияние этих сил учитывается введением коэффициентов молекулярного переноса, в частности коэффициентов вязкости.

Массовые силы пропорциональны массе жидкости и равны произведению массы на плотность распределения этой силы:

ускорение этих сил.

20