Тема 1.3. Гидростатика идеальной жидкости

Частные случаи уравнения движения в напряжениях. Дифференциальное уравнение статического равновесия (уравнение Эйлера). Интегрирование уравнения Эйлера для частных случаев абсолютного и относительного равновесия.

Основное уравнение гидростатики. Удельная потенциальная энергия, пьезометрический напор, изменение давления. Равновесие жидкости в поле центробежных сил. Сила давления на плоские и криволинейные поверхности. Закон Архимеда [2, с. 26–32; 3, с. 16–24].

Практическое занятие № 3. Решение задач по темам «Динамика вязкой несжимаемой жидкости», «Уравнение Бернулли».

П

1

ример 5

О 1 1 пределить давление р1 в сечении 1–1 горизонтально расположенного сопла гидромонитора, необходимое для придания скорости воде в выходном сечении 2–2 величиной V2 = 40 м/c, если скорость воды сечения 1–1 равна V1 = 3 м/с.

2 2 1

Решение

При решении задачи составим уравнение Д. Бернулли, учитывая, что скорости в сечениях 1–1 и 2–2 известны, а давление на выходе равно атмосферному. Плоскость сравнения проведем через ось сопла, тогда удельные энергии положения z₁ = z₂ и уравнение Д. Бернулли будут иметь вид

= ,

откуда

р₁ = = = 9,11 кг/см².

Пример 6

О

D

пределить диаметр d суженной части горизонтального трубопровода, при котором вода поднимается на высоту h = 3,5 м при расходе воды Q = 6 л/с и диаметре D = 10 см.

Решение

Плоскость сравнения совместим с осью трубы. Выбрав сечения 1–1 и 2–2, составим уравнения Д. Бернулли. Получим

z₁ + = z₂ + .

Так как плоскость сравнения проведена по оси трубы, то z₁ = z₂ = 0, и тогда

= .

Для того чтобы вода поднялась на высоту 3,5 м, необходимо, чтобы удельная энергия давления в сечении 1–1 была равна p₁/ = p₂/ – h, откуда p₂/ – p₁/ = h.

Так как истечение происходит в атмосферу, то давление p₂ равно атмосферному, т. е. p₂/ = p_а/ = 10 м, следовательно, p₁/ = p_а/ – h = = 10 – 3,5 = 6,5 м.

Для определения диаметра суженной части воспользуемся уравнением неразрывности движения

V₁/V₂ = ₂ /₁,

где V₁ = Q/₁ = 4 Q/d ²; V₂ = Q/₂ = 4 Q/D ².

Подставив в уравнение найденные величины, получим

16Q²/2g²d ⁴ = h + 16Q²/2g²D⁴,

о ткуда искомый диаметр

Лабораторная работа № 3. Относительное равновесие жидкости во вращающемся сосуде.

Лабораторная работа № 4. Построение пьезометрической и напорной линий для трубопровода сопротивления.

Темы 1.4 и 1.5. Кинематика и динамика идеальной жидкости

Уравнение движения идеальной жидкости и его интегрирование. Уравнение Бернулли для плоского установившегося течения. Геометрический и энергетический смысл слагаемых уравнения Бер-нулли.

Плоские потенциальные течения. Обтекание цилиндра плоскопараллельным потоком. Парадокс Даламбера. Условия возникновения циркуляции жидкости. Теорема Жуковского о подъемной силе.

Уравнение количества движения, уравнение энергии, скорость звука. Характерные скорости и параметры течения. Распределение параметров вдоль канала. Газодинамические функции.

Плоские сверхзвуковые течения. Характеристики сверхзвукового потока. Диаграмма характеристик. Скачок уплотнения. Прямой и косой скачки уплотнения и их расчет. Ударный скачок уплотнения.[1, с. 56–132; 2, с. 66–124].

Практическое занятие № 4. Решение задач по теме «Расчет потерь напора по длине и местных потерь напора при движении вязкой несжимаемой жидкости».

Пример 7

Определить расход воды в горизонтальном трубопроводе перемен-ного сечения, скорость на каждом из участков и построить пьезометриче- скую линию, если Н = 5 м; d₁ = 15 мм; d₂ = 20 мм; d₃ = 10 мм.

Решение

Уравнение Д. Бернулли для сечений 0–0 и 3–3 при совмещении плоскости сравнения с осью трубы будет иметь вид

z₀ + = z₃ + .

В рассматриваемом случае z₀ = Н, z₃ = 0. Так как в сечениях 0–0 и 3–3 давление равно атмосферному, вторые слагаемые равны между собой. Учитывая, что скорость в сечении 0–0 равна нулю, соответствующая скорость в выходном сечении определится из равенства

V₃²/2g = Н или V₃ = = = 9,9 м/с.

Расход воды в трубопроводе

Q = V₃₃ = V₃/4 = 9,9 ∙ 3,14 ∙ 0,01²/4 = 0,00078 м³/с.

Скорость в сечении 1–1

V₁ = 4Q/ = 4 ∙ 0,00078/3,14 ∙ 0,015² = 4,4 м/с.

Скорость в сечении 2–2

V₂ = 4Q/ = 4 ∙ 0,00078/3,14 ∙ 0,02² = 2,48 м/с.

Пьезометрическую линию строят исходя из следующих положений. Поскольку задача решается без учета потерь энергии, то напорная линия (линия полной энергии) будет представлять собой горизонтальную прямую, являющуюся продолжением свободной поверхности воды в сечении 0–0. Пьезометрическая линия расположится ниже напорной линии на величину V ²/2g в каждом сечении. Таким образом, отложив вниз от напорной линии величины V ²/2g в сечениях, соответствующих изменению диаметра трубопровода, получим ряд точек, соединив которые построим пьезометрическую линию. При этом

/2g = 0,987м; /2g = 0,312 м; /2g = 5 м.

Пример 8

По трубопроводу переменного сечения протекает вода с расходом Q = 9 л/с, диаметр суженной части трубопровода d = 50 мм.

Определить разность показаний пьезометров h, если диаметр основного трубопровода D = 75 мм.

Решение

Выберем в качестве плоскости сравнения ось трубопровода и запишем уравнения Д. Бернулли для сечений трубопровода, в которых размещены пьезометрические трубки

z₀ + P₀/ + /2g = z₁ + P₁/ + /2g.

Учитывая то, что давления P₀ = P₁ = P_а , вторые слагаемые в левой и правой частях записанного соотношения равны. Скорости движения в рассматриваемых сечениях определяются выражениями

V₀ = Q/₀ = 4Q/D²; V₁ = Q/₁ = 4Q/d ².

В этом случае

h = z₀ – z₁ = /2g – /2g = (4Q/)² (1/d ² – 1/D²)/2g = 0,844 м.

Лабораторная работа № 5. Определение зависимости между гидравлическим уклоном и средней скоростью при турбулентном движении воды.