А27848 Тишин ВБ Процессы переноса в технол аппаратах

2.3. Ламинарные течения

Решение задач, связанных с нахождением параметров потока жидкости при ламинарном режиме течения, может быть выполнено точно на основе уравнения Навье−Стокса (1.32) с некоторыми упрощающими допущениями.

Рассмотрим плоское установившееся напорное течение не-

Уравнение (2.22) называется уравнением слоистых течений. На основе данного уравнения решим несколько частных задач. При решении некоторых из них удобнее пользоваться цилиндрическими координатами. В таких случаях уравнение (2.22) принимает вид

2.3.1. Течение в плоском канале

Будем считать движение жидкости вдоль оси x в канале, образованном двумя параллельными пластинами (рис. 2.1), равномерным. Упростим задачу, введя понятие бесконечной ширины канала, удовлетворяющей условию / b 1. В этом случае можно cчитать, что боковые стенки не будут влиять на характер движения жидкости

и 2ux / z2 0. С учетом принятых допущений из уравнения (2.22) следует

41

Постоянную интегрирования c2 находим, приняв второе гра-

лы (см. рис. 2.1).

Расход жидкости через живое сечение канала находим из

43

Поделив уравнение (2.28) на (2.27), установим, что максимальная скорость в плоском канале в полтора раза больше средней.

Решая уравнение (2.27) относительно p, находим

Так как dэ / 2 , то после несложных пpеобpазований полу-

чим

и используется для расчета потерь давления по длине трубопроводов. Коэффициент называют коэффициентом Даpси или коэффициентом гидравлического трения. Разделив обе части равенства (2.31) на произведение g , приведем его к виду

Уравнение (2.31а) определяет потери удельной энергии по длине канала (энергии, отнесенной к единице веса жидкости) и также называется зависимостью Дарси–Вейсбаха.

2.3.2. Течение в трубе с круглым поперечным сечением

При решении данной задачи перейдѐм от прямоугольной системы координат к цилиндрической [см. уравнение (2.22а)].

44

45

При r 0 скорость на оси потока имеет максимальное значе-

ние:

Разделив ux на umax , получим уравнение эпюры скоростей в безpазмеpном виде:

Из уравнения (13) находим объемный расход жидкости:

Зная расход, определим среднюю скорость:

Уравнение (2.34) называют законом Хагена–Пуазейля для течения в трубе с круглым поперечным сечением.

Взяв отношение максимальной скорости к средней, получим umax / w 2 . Таким образом, в отличие от плоского канала, в котором

максимальная скорость в полтора раза больше средней, в трубопроводе с круглым поперечным сечением максимальная скорость в два раза превышает среднюю.

Из формулы (2.34) следует, что падение давления по длине

трубы

Пpеобpазуя равенство (2.35) аналогично тому, как это было сделано для плоского канала, найдем

46

Таким образом, мы вновь пришли к уравнению Даpси– Вейсбаха (2.31).

Аналогичные решения можно выполнить для каналов с любой формой поперечного сечения. При этом в каждом случае будем получать закон сопротивления движению в виде зависимостей (2.31)

или (2.36).

Общее уравнение для определения коэффициента Даpси– Вейсбаха можно записать в виде равенства

Признаком ламинарного течения является равенство показателя степени, при Re m = 1. Значение A зависит от формы поперечного сечения канала; например, для кольцевого канала A равно 48, а для квадратного – 56.

Следует иметь в виду, что уравнения (2.36) и (2.37) с некоторыми поправками пригодны и для расчетов потерь энергии по длине трубопроводов при турбулентном режиме, о чем будет говориться в следующих разделах.

2.3.3. Течение Куэтта

Течение Куэтта имеет место в том случае, если одна из поверхностей, образующих канал, движется вдоль оси 0х, а другая неподвижна (рис. 2.3). Такие течения наблюдаются в зазорах между валом и корпусом подшипника скольжения; в роторно-пленочных и скребковых теплообменных аппаратах между торцами лопастей (скребков) и корпусом аппарата; в стерилизаторах фрикционного типа, в которых нагрев продукта происходит за счет теплоты, выделенной в результате трения жидкости при движении ее между вращающимися и неподвижными дисками или цилиндрами.

47

Соответственно этому результату на рис. 2.3 изображены поля скоростей, описываемых зависимостью (2.38). При наличии положительного градиента давления dp / dx происходит образование так на-

зываемого отрывного течения, при котором слои жидкости, находящиеся возле неподвижной плоскости, движутся в сторону, противоположную перемещению верхней плоскости. Причина этого явления заключается в совместном действии положительного градиента давления и вязкого трения о неподвижную плоскость.

Решение такой же задачи при непараллельном расположении поверхностей можно найти в работе [2, с. 112–117].

2.3.4. Течение жидкости в капиллярах

Одним из примеров ламинарного движения является течение жидкости в капиллярных каналах. Название «капилляр» латинского происхождения от слова capillarus – волосяной, т. е. это каналы с очень малым поперечным сечением. В отличие от каналов с большим диаметром на скорость движения жидкости в капиллярах будет влиять сила поверхностного натяжения. Движущей силой движения будет разность между капиллярным давлением pи давлением, обу-

словленным высотой подъѐма жидкости в капилляре hк (рис. 2.4).

Капиллярное давление возникает в результате искривления поверхности раздела фаз между жидкостью и газом под действием силы поверхностного натяжения.

p

hк

dк

Рис. 2.4. Подъѐм жидкости в капиллярной трубке

49

Поверхностным натяжением называется способность жидкости оказывать сопротивление изменению величины и формы ее поверхности под действием внешних сил. Это свойство проявляется только на поверхностях раздела фаз и имеет большое значение при изучении и расчетах аппаратов, предназначенных для проведения процессов экстракции, абсорбции, десорбции или иных процессов, протекающих на границе раздела фаз.

Для понимания физической сущности явления рассмотрим

менение требуется затратить энергию dE ~ dS. Введя в эту пропорциональность коэффициент , называемый коэффициентом поверхностного натяжения, получим

метр (Н/м) или джоуль на квадратный метр (Дж/м 2 ). Таким образом, из первой размерности видно, что коэффициент поверхностного натяжения есть сила, действующая на единицу длины, ограничивающей поверхность жидкости. Из второй размерности следует, что можно трактовать как энергию, необходимую для образования единицы новой поверхности. Поверхностное натяжение зависит от температуры и не зависит от давления.

Под действием сил поверхностного натяжения в каплях и газо-

Силы поверхностного натяжения являются причиной движения жидкости в капиллярах и во многом определяют процессы переноса, происходящие в капиллярно-пористых материалах. Примером тому могут быть движение жидкостей в мелкопористых грунтах, процессы экстрагирования жидкостями веществ из твердых пористых материалов и т.п.

Уравнение для расчѐта скорости движения в капилляре найдѐм из условия равновесия жидкости под действием сил трения T , тяже-

50