Добавил:
rushevamar@mail.ru Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

лекции по физике Родин / ЛЕКЦИЯ №19 Принцип суперпозиции волн

.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
09.09.2020
Размер:
658.13 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ № 19 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ВОЛН.

ИНТЕНСИВНОСТЬ ПРИ СЛОЖЕНИИ КОЛЕБАНИЙ. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ДВУХ ВОЛН.

Если свойства среды, в которой распространяются одновременно несколько волн, не изменяются под действием возмущений, создаваемых этими волнами, то к этим волнам (в частности к электромагнитным) применим принцип суперпози-

ции (наложения) волн.

Определение: При распространении в линейной среде нескольких волн, каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют. Результирующее возмущение элемента среды в любой момент времени равно геометрической сумме возмущений, которые получаются от слагающих волновых процессов.

Распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии в

 

 

 

 

 

 

поле. Вектор S

плотности потока энергии электромагнитных волн называется

вектором Пойнтинга.

 

 

 

 

 

 

(1)

 

S wv S [E, H]

Средний во времени поток энергии электромагнитной волны через единицу поверхности площадки, перпендикулярной к направлению распространения волны, носит название интенсивности электромагнитной волны в данной точке пространства.

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

[E, H]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Распространяющаяся плоская, электромагнитная волна (например вдоль x)

описывается уравнениями:

 

 

 

 

 

 

 

E E

cos( t kx )

 

 

m

 

 

 

 

 

 

H Hm cos( t kx ) .

(3)

С учѐтом того, что среднее значение cos2 ( t kx ) за период Т равно 1/2 или

I

1

E

 

H

 

I ~

E2 .

(4)

 

m

m

2

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

Часто записывают выражение (3) в виде:

 

 

x1 A1 cos( t 1 )

 

 

x 2 A2

cos( t 2 ) ,

(5)

которые выражают две когерентные монохроматические волны.

 

Сложим эти волны.

 

 

 

 

 

 

Вспомним, что когерентными называются волны, которым соответствует

колебание одинаковой частоты, постоянной разности фаз и совершающихся

вдоль одного и того же направления.

 

 

 

 

 

Напряжѐнности электрического ( E ) и магнитного ( H ) полей подчиняются

принципу суперпозиции, поэтому амплитуда результирующего колебания

A2 A2

A2

2A A

2

cos(

2

)

1

2

1

 

1

(из векторной диаграммы).

Так как волны когерентны, то величи-

 

 

 

 

 

 

A

на cos( 2 2 )

имеет постоянное значение,

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I ~ A2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

I I1

I2

2 I1I2 cos( 2 1 )

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в точках пространства, где:

 

 

 

 

 

 

 

 

cos >0

I > I1 + I2,

0

 

 

 

 

 

x

cos <0

I < I1 + I2.

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, при наложении нескольких когерентных световых волн

происходит пространственное перераспределение светового потока (разные I). В

результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы

интенсивности. Такое явление называется интерференцией.

 

 

 

Следует отметить, что это перераспределение интенсивности обуславлива-

ется не взаимодействием когерентных волн, а их суперпозицией.

 

 

Распределение интенсивностей, образованное суперпозицией волн, идущих

от конечного числа отдельных (дискретных) когерентных источников, принято

называть интерференционной картиной.

 

 

 

 

 

 

 

Распределение интенсивностей, образованное суперпозицией волн, идущих

от расположенных «непрерывно» друг за другом когерентных источников – ди-

фракционной картиной.

 

 

 

 

 

 

 

 

Когерентные световые волны можно полу-

 

 

 

S1

чить, разделив (отражением преломлением) волну,

 

n1

 

излучаемую одним источником на две части.

 

 

0

 

P

 

 

 

n2

Пусть в точке 0 происходит разделение, а в

 

 

 

 

 

 

точке P – сложение когерентных волн. Одна волна

 

 

 

S2

проходит путь S1 в среде с показателем преломления

 

 

 

 

n1, а другая – S2

с n2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда в точке P одна волна возбудит колебание:

 

 

 

 

 

 

A1cos (t S1 ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

а другая

 

A2cos (t S2 ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v 2

 

 

 

 

 

 

 

где v1 c и v 2

c – фазовые скорости волн в средах; S1 и S2 – геометрические

n1

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

длины пути световой волны в среде. Разность фаз для этих волн

 

 

 

= 1 2 =

(n1S1 – n2S2) = 2

, т.к.

2

;

 

 

 

c

 

0

 

c

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где 0 – длина волны в вакууме; L = nS оптическая длина пути; = L2 L1 оп-

тическая разность хода. Тогда

n1S1 n2S2 L1

L2

 

и

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Можно сделать вывод: Если оптическая разность равна целому числу

волн:

 

max = m 0 = 2m 0/2 (m=0,1,2…) или

 

= m

(6)

то колебания в точке P находятся в одинаковой фазе. Это условие интерференционного максимума, m – порядок интерференционного максимума.

Если оптическая разность равна полуцелому числу волн:

min = (m + 1/2) 0

или = (2m + 1) 0/2

(m=0,1,2…) и

 

= (2m + 1) .

(7)

В этом случае колебания находятся в противофазе. Это условие интерфе-

ренционного минимума.

ОПЫТ ЮНГА. ШИРИНА ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЫ.

В 1802 г. Юнг произвѐл следующий опыт: Малое отверстие S в непрозрачном экране освещается интенсивным источником. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн даѐт положение волнового фронта в следующий момент времени.

Это отверстие S становится источником полусферических волн. Образовавшиеся волны падают на следующих два малых отверстия S1 и S2, которые в свою очередь становятся источниками волн, перекрывающих друг друга в области L. Волны, исходящие из S1 и S2 будут называться когерентными, так как исходят от одного источника.

Распределение интенсивности в интерференционной картине. Целое число m – порядок интерференционного максимума.

Рассмотрим схему опыта Юнга подробнее. Пусть источники S1 и S2 находятся на расстоянии d. Интерференция наблюдается в точке P на экране на расстоянии l >> d. Начало отсчѐта в точке P0, симметричной относительно S1 и S2.

Расстояние от S1 и S2 до точки наблюдения Р обозначим соответственно r1 и r2. Начало отсчета выберем в точке P0, относительно которой S1 и S2 расположены симметрично. Если колебания источников S1и S2 синфазны, то центральный максимум лежит в точке P0, а интерференционная картина имеет вид полос, параллельных щели.

3

Определим разность хода = r2 – r1 до точки наблюдения Р, лежащей на расстоянии y от P0. Для этого представим r1 и r2 в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

l 2

(y

d

)2 ,

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

l 2

(y

d

)2 .

 

 

 

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

S1

 

 

r1

 

P

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

 

P0

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

R

S

2

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычитая выражение (8) из (9), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2

r2 (r

r )(r

r ) 2yd .

 

 

 

 

 

 

2

 

1

2

1

 

 

2

1

 

 

 

Различимая интерференционная картина обеспечивается условиями l >> d и y << l. Это позволяет принять r2 + r1 2l, а следовательно, r2 r1 = yd/l. Умножив (r2 r1) на показатель преломления среды n, получим оптическую разность хода:

n

yd

(10)

l

 

 

и с учетом условия (6) координаты максимума интенсивности определяется выражением

y

 

m

l

 

,(m 0,1, 2, ...)

(11

max

 

 

 

d

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Координаты минимумов интенсивности определяются из условия (7) с

учетом выражения (10).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

(m

1

)

l

 

,(m 0,1,2, ...).

(12)

min

 

 

 

 

 

 

2 d

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из формул (11) и (12) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы (расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами) имеют одинаковое значение, равное

y

l

.

(13)

d

 

 

 

Следует подчеркнуть, что в волновой оптике, в отличие от геометрической оптики, понятие луча света утрачивает физический смысл. Термин «луч» упо-

требляется здесь для краткости для обозначения направления распространения волны. В дальнейшем этот термин будет употребляться без кавычек.

С уменьшением расстояния между источниками d расстояние между полосами растет. При d, сравнимом с l , расстояние между полосами было бы того же порядка, что и . В этом случае отдельные полосы были бы неразличимы.

4

Отметим, что y не зависит от m (порядка интерференционного максимума), является постоянным для данных l, d и . С изменением длины волны падающего на щель света y изменяется. При освещении щели белым светом, представляющий собой непрерывный набор длин волн (от 0,39 мкм фиолетовый до 0,75 мкм красный) все интерференционные полосы, кроме центральной (для m = 0 максимумы совпадают для всех длин волн и будет белая полоса), имеют радужную окраску: число наблюдаемых полос ограничено, так как при больших m имеет место перекрытие полос различных цветов.

Для видимого света 10-7 м. Используя выражение (10) по измеренным значениям y, l и d можно определить экспериментально.

ПОНЯТИЕ КОГЕРЕНТНОСТИ. ВРЕМЕННАЯ И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ.

ДЛИНА И РАДИУС КОГЕРЕНТНОСТИ.

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Это необходимое условие интерференции и этому условию удовлетворяют монохроматические волны – не ограниченные в пространстве волн одной, строго определѐнной частоты и постоянной амплитуды.

От двух разных источников (электрической лампочки) интерференция света не наблюдается, так как они не когерентны вследствие немонохроматических источников.

Откуда вообще берѐтся свет? Видимый свет излучается атомами различных тел. Механизм излучения света относится квантовой физике, но для понимания оптических интерференционных явлений знать хотя бы в общих чертах, как атомы излучают свет, надо обязательно. Поэтому обсудим вкратце этот вопрос.

Обычным состоянием атома, в котором он может пребывать неограниченно долго, является основное, или невозбуждѐнное состояние. Когда атом находится в основном состоянии, электроны, окружающие ядро атома, максимально заполняют ближайшие к ядру орбиты. Потенциальная энергия взаимодействия электронов с ядром принимает своѐ минимальное значение, и говорят, соответственно, что в основном состоянии атом обладает наименьшей энергией.

Но атом обладает способностью поглощать энергию. Под действием внешних факторов, например, в результате соударений с другими атомами или поглощения света атом может перейти в возбуждѐнное состояние. Это значит, что какой-либо электрон покидает «насиженное место» на своей основной орбите и переходит на орбиту, расположенную дальше от ядра. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром при этом возрастает; соответственно, в возбуждѐнном состоянии энергия атома больше, чем в основном. Величина W , на которую энергия возбуждѐнного состояния превышает энергию основного состояния, в точности равна энергии, поглощѐнной атомом.

Опыт показывает, однако, что в возбуждѐнном состоянии атом долго не пробудет и в итоге вернѐтся в основное состояние. В процессе этого перехода энергия атома уменьшится и снова примет своѐ минимально возможное значение. Куда же при этом денется энергия W?

5

Атом вернѐт поглощѐнную энергию W в виде излучения. В результате перехода из возбуждѐнного состояния в основное атом излучает электромагнитный импульс так называемый волновой цуг (рис. 1).

Рис. 1. Излучение атомом волнового цуга

Длительность цуга порядка 10-8 с, соответственно длина цуга l 3 м. Частота цуга может находиться в видимом диапазоне, и тогда цуг будет регистрироваться человеческим глазом.

Таким образом, свет это поток цугов, излучѐнных атомами. Так, атомы спирали лампочки при прохождения электрического тока совершают интенсивное тепловое движение и сталкиваются друг с другом, переходя в возбуждѐнное состояние; затем, возвращаясь в основное состояние, они испускают цуги видимого света. Вот почему лампочка горит!

Ну а теперь самое главное. Из возбуждѐнного состояния в основное атом переходит в случайный, непредсказуемый момент времени. Это означает, что моменты испускания цугов различными атомами никак не согласованы между собой!

Цуги, образующие свет, даже если и обладают одной частотой, имеют совершенно произвольные начальные фазы и потому являются некогерентными. Вот почему от двух одинаковых лампочек не получается устойчивой интерференционной картины: излучаемые ими пучки света состоят из некогерентных цугов и не могут интерферировать друг с другом.

Как же тогда быть? Можно ли вообще наблюдать интерференцию света? Оказывается, можно! Замечательная идея, позволяющая «обхитрить» некогерентные цуги и добиться необходимой когерентности, состоит в том, чтобы использовать изображения одного и того же источника. Они-то будут когерентными!

ИТАК: В двух самостоятельных источниках света атомы излучают независимо друг от друга. В каждом из них процесс излучения конечен и очень короток в течение времени 10-8 с. Через некоторое время атом может возбудиться и начать испускать световые волны, но уже с новой начальной фазой. Разность фаз между излучением двух таких независящих источников изменится при каждом новом акте испускания, и волны, спонтанные, излучаемые атомами любого источника света некогерентные. То есть лишь волны, испускаемые в течение интервала времени равного 10-8 с имеют приблизительно постоянные амплитуду и фазу колебаний, а за больший промежуток времени они меняются.

Прерывистое

излучение

 

 

света атомами в виде отдель-

0

t

ных коротких

импульсов

 

 

называется волновым цугом.

 

 

Любой реальный немо-

 

 

нохроматический свет можно представить в виде совокупности сменяющих друг друга независимых гармонических цугов. (Теорема Фурье).

6

Средняя продолжительность одного цуга определяется как время, за которое случайное изменение фазы волны достигает примерно – называется временем когерентности ( ког) и служит для характеристики когерентных свойств волны.

В однородной среде фаза колебаний в определѐнной точке пространства сохраняется в течение времени когерентности ког. За это время волна распространится на расстояние lког = c ког, называемое длиной когерентности, или длиной цуга. Т.е. интерференция света возможна при оптических разностях хода, меньших lког. Чем ближе волна к монохроматической, тем больше еѐ время когерентности ког и длина когерентности lког.

Такая когерентность колебаний (в одной и той же точке пространства) зависящая от степени монохроматичности волн, т.е. определяемая ког, называется

временной когерентностью. По порядку величины:

 

 

 

 

~

 

1

.

 

 

 

 

 

 

ког

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

c

, то можно выразить

 

 

~

2

l

 

~

2

.

 

0

 

 

ког

 

c

 

ког

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наряду с временной когерентностью, существует понятие и пространственной когерентности, которое описывает когерентность волн в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волн (т.е. по фронту волны).

Два источника, размеры и взаимное расположение которых позволяет наблюдать интерференцию (при необходимой степени монохроматичности),

называются пространственно когерентными.

Пространственная когерентность определяется радиусом когерентности (или длиной пространственной когерентности) – максимальным, поперечным направлению распространения волны расстоянием, на котором возможно проявление интерференции (т.е. расстояние между точками, между которыми случайное изменение разности фаз достигает значение порядка ).

Таким образом, пространственная когерентность определяется радиусом ко-

герентности:

rког~ ,

где длина волны света, угловой размер источника. Например: для солнечных лучей на Земле (угловой размер 10-2 рад и 0,5 мкм) минимально возможный радиус когерентности составляет rког = 0,05 мм.

При таком малом радиусе невозможно непосредственно наблюдать интерференцию солнечных лучей, поскольку разрешающая способность человеческого глаза 0,1 мм. Для наблюдения интерференции необходимо увеличить радиус когерентности, что обеспечивается уменьшением (малое отверстие в экране). Впервые интерференцию солнечных лучей наблюдал Юнг, делая малые отверстия в фольге, уменьшая на несколько порядков.

7