лекции по физике Родин / LEKTsIYa__07_ELEKTRIChESKAYa_ENERGIYa

ЛЕКЦИЯ № 7

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ

Электростатические силы взаимодействия консервативны и, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией.

Найдем потенциальную энергию системы 2-х неподвижных точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого заряда обладает потенциальной энергией.

W₁ = q₁₁₂,

W₂ = q₂₂₁,

где  потенциал, создаваемый зарядом q₂ в точке нахождения заряда ;  потенциал, создаваемый зарядом q₁ в точке нахождения .

Подставляя ₁₂ и ₂₁ в выражения для энергий W₁ и W₂, приходим к выводу, что W₁ = W₂ = W.

Тогда можем записать

W = q₁₁₂ = q₂₂₁ = (q₁₁₂ + q₂₂₁).

Добавляя к системе из 2-х зарядов последовательно заряды q₃, q₄, … можно убедиться, что в случае N  неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы:

, (1)

где _i  потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд q_i, всеми зарядами, кроме i-го.

Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dq = dV и переходя от суммирования к интегрированию, получаем:

, (2)

где   потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объема dV. А для распределения зарядов на поверхности dq = dS.

Выражения (1) и (2) отличаются по содержанию  в разном смысле потенциала   входящим в оба выражения.

Расчет энергии по (1) дает только энергию взаимодействия, а по (2)  полную энергию взаимодействия: т.е. энергию взаимодействия и еще собственные энергии зарядов q₁ и q₂.

Из (1) следует, что:

W = W₁₂,

где W₁₂  энергия взаимодействия элементов 1-го заряда со 2-м.

Из (2) следует, что:

W = W₁₂ + W₁ + W₂,

где W₁ и W₂ энергии зарядов q₁ и q₂ соответственно.

ЭНЕРГИЯ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА

Пусть имеется уединенный проводник. q, , C  заряд, потенциал и емкость этого проводника.

1) Для того, чтобы увеличить его заряд на dq, необходимо dq перенести из бесконечности на проводник. Работа по перемещению:

dA =  dq.

По определению, емкость проводника:  dq = C d, следовательно:

dA = C d.

2) Для того, чтобы создать на проводнике потенциал , необходимо совершить работу:

.

3) Совершенная работа равна энергии проводника:

.

Полученную формулу можно записать в различных вариантах, учитывая определение емкости.

Поскольку значение  во всех точках, где имеется заряд одинаково,  можем вынести из-под знака интеграла в формуле (2). Тогда оставшийся интеграл дает нам заряд проводника:

.

Учитывая подстановку q = C; или из

. (3)

где W  энергия уединенного проводника.

ЭНЕРГИЯ КОНДЕНСАТОРА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ.

Как любой заряженный проводник конденсатор обладает энергией.

Пусть q и ₊  заряд, и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора. Согласно выражению (2) интеграл можно разбить на 2 части, для одной и другой обкладки. Тогда

; т.к. q_ = q₊, то

,

где q = q₊  заряд конденсатора, U  разность потенциалов на его обкладках.

Учитывая, что , запишем:

. (4)

Эта формула определяет полную энергию взаимодействия: не только энергию взаимодействия зарядов одной обкладки с зарядом другой, но и энергию взаимодействия зарядов внутри каждой обкладки.

Формулы (3) и (4) справедливы и при наличии диэлектрика.

Формула (2) определяет электрическую энергию W любой системы через заряды и потенциалы. Но, оказывается, что энергию W можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле  напряженность .

В качестве простейшего примера возьмем плоский конденсатор (пренебрегая краевым эффектом искажения поля у краев пластин).

Для плоского конденсатора:

,

где d  расстояние между обкладками. Подставляя это выражение в формулу (4):

,

умножив и разделив на d, замечая, что и Sd = V  (объем между обкладками конденсатора). Получаем:

. (5)

Эта формула справедлива для однородного поля заполнившего объем V.

В общей теории доказывается, что энергию W можно выразить через (если диэлектрик изотропный и учесть, что ) по формуле

. (6)

Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме dV. Это подводит нас к весьма важной и плодотворной физической идее о локализации энергии в самом поле. Это предположение нашло опытное подтверждение в области переменных во времени полей. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию  носителем энергии является само поле.

Из (5) и (6) следует, что электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностью:

. (7)

Отметим, что (7) справедлива для изотропного диэлектрика, когда . Для анизотропного диэлектрика  зависимость P(E) нелинейная и выражение (7) сложнее.

Примеры решения задач см. Савельев И.В. Курс физики, т.2, стр. 93-94.

3