лекции по физике Родин / LEKTsIYa__02_TEOREMA_GAUSSA_I_EE_PRIMENENIE_K_RASChETU_POLYa

ЛЕКЦИЯ № 2

ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ .

ТЕОРЕМА ГАУССА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РАСЧЕТУ ПОЛЯ.

Мы ввели понятие напряженности электрического поля в данной точке :

,

т.е. вектор можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд. Используя геометрическое описание электрического поля (с помощью силовых линий) мы можем судить о конфигурации данного электрического поля  о направлении и модуле вектора в разных точках поля.

Поле обладает двумя чрезвычайно важными свойствами:  так называемые теорема Гаусса и теорема о циркуляции вектора , которые связаны с двумя важнейшими математическими характеристиками всех векторных полей: потоком и циркуляцией.

Наши знания о потоке связаны с потоком воды (дождя), воздуха через какую-то поверхность (отверстие). По отношению к вектору , будем считать, что густота силовых линий равна модулю вектора .

Рассмотрим замкнутую поверхность S и определим число силовых линий ее пронизывающих. Для этого разобьем эту поверхность на элементарные площадки S_i, настолько малые, что их можно считать плоскими и поле в их пределах однородно. Проведем нормаль  единичный вектор к каждой площадке.

Представим S_i бесконечно малой величиной, S_i  dS, а величину и направление элемента поверхности вектором:

,

где  вектор, направление которого совпадает с направлением нормали к площадке, а численное значение равно площади элементарной площадки dS.

Выделим такой элемент поверхности. Тогда число линий напряженности, пронизывающих площадку dS, нормаль которой образует угол  с вектором равно: ,

где E_n = E_icos  проекция вектора на нормаль . Тогда:

dФ_i = E_idS_icos = (),

есть скалярное произведение векторов и . Скалярное произведение векторов и называется потоком вектора напряженности сквозь площадку:

dФ_i = ().

Общий поток через поверхность S:

, т.е. .

Это величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля , но и от выбора направления нормали.

Для замкнутых поверхностей принято нормаль брать наружу области, охватываемой этой поверхностью, т.е. выбирать внешнюю нормаль.

Поток может "входить" в поверхность (отрицательный) и "выходить" (положительный):

 = (); cos () < 0 – входящий; cos () > 0 – выходящий.

Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S обладает удивительным и замечательным свойством: он зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью:

. (1)

где q_внутр = . Это выражение составляет суть теоремы Гаусса:

Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной на ₀.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим поле одного точечного заряда q. Окружим этот заряд произвольной замкнутой поверхностью S и найдем поток вектора сквозь элемент.

dФ_i = () = EdScos .

Для точечного заряда: .

Тогда:

; ,

где d  телесный угол, опирающийся на элемент поверхности dS, с вершиной в точке расположения заряда q.

Интегрирование этого выражения по всей поверхности S эквивалентно интегрированию по всему телесному углу, т.е. замене d на 4, и мы получим:

,

как и требует (1), если заряд внутри поверхности, если заряд вне поверхности, то Ф = 0.

Если поле создается системой точечных зарядов q₁, q₂ и т.д., то в соответствии с принципом суперпозиции: = ₁ + ₂ +  + _N. Тогда поток вектора можно записать:

.

Каждый интеграл равен , если q находится внутри поверхности S.

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью , зависящей от координат, то в этом случае можно считать, что каждый элементарный объем dV содержит точечный заряд dq = dV и тогда в (1):

,

где интегрирование проводится только по объему, заключенному внутри замкнутой поверхности S.

Отметим, что в то время как зависит от конфигурации всех зарядов, поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности S. Это значит, что если передвинуть заряды, то поле изменится всюду, в частности, и на поверхности S, однако если передвижка зарядов произошла без пересечения поверхности S, поток через эту поверхность останется прежним. Вот такое удивительное свойство электрического поля.

Так как поле зависит от конфигурации всех зарядов, теорема Гаусса не дает возможности найти поле во всех случаях, но при определенных условиях она позволяет найти поле очень простым и быстрым способом. Число задач, легко решенных с помощью этой теоремы ограничено.

Использование теоремы Гаусса эффективно в тех случаях, когда поле обладает специальной симметрией (плоской, цилиндрической или сферической). Необходимо соблюдение следующих условий:

• Возможность найти достаточно простую замкнутую поверхность.

• Вычисление потока свести к простому умножению E (или E_n) на площадь поверхности S или ее части.

РАССМОТРИМ ПРИМЕРЫ:

а) Точечный заряд.



 .

б) Однородный цилиндр радиуса R и высоты h заряженный с поверхностной плотностью .

.

.

Другие примеры: Савельев И.В. Курс физики 1989 г., т.2, §7.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ ГАУССА

Дифференциальная форма теоремы Гаусса в отличие от интегральной формы:

, (1)

устанавливает связь между объемной плотностью заряда  и изменениями напряженности в окрестности данной точки пространства.

Если заряд q сосредоточен в объеме V охватываемом замкнутой поверхностью S, то:

,

где <  >  среднее по объему значение объемной плотности заряда.

Подставим это выражение в уравнение (1) и разделим обе части его на объем. В результате получим:

. (2)

Теперь устремим объем V к нулю, стягивая его к интересующей нас точке поля. Очевидно, что при этом в данной точке поля:

.

Величину, являющейся пределом отношения к V, при V  0, называют дивергенцией поля и обозначают div, таким образом:

div = , (3)

Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из (3) следует, что дивергенция является скалярной функцией координат (Савельев И.В. Курс физики 1989 г., т.2, §5, стр. 17).

Чтобы получить выражение для div поля необходимо определить поток сквозь замкнутую поверхность бесконечно малого объема и найти его отношение (потока) к объему.

В декартовой системе координат:

div = .

Итак, левая часть уравнения (1) стремится к div, а правая  к , т.е. дивергенция поля связана с плотностью:

div = , (4)

Это уравнение выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме. Для упрощения вводят векторный дифференциальный оператор   Набла:

где ,,  орты осей x, y, z. Сам вектор   смысла не имеет. Он приобретает смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую символически умножается:

,

тогда (4) представим, как:

. (5)

В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой, т.е. в данной точке зависит только от плотности электрического заряда  в той же точке.

В тех точках поля, где дивергенция положительна, мы имеем источники поля (положительные заряды  истоки), где отрицательна  стоки (отрицательные заряды). Линии вектора выходят из источников поля, а в местах стока они заканчиваются.

Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) – немецкий математик, астроном, физик.

5