Методы интегрирования

 - Запомните! Всегда, при применении любого, сколь угодно сложного метода интегрирования, конечной целью является приведение данного интеграла к известному табличному интегралу. Все действия, преобразования при вычислении подчинены именно этой цели, поэтому основную таблицу интегралов надо знать наизусть (чтобы знать, к чему приводить).

1. Замена переменной (подстановка)

Допустим, из некоторых соображений мы замечаем, что заданный интеграл вычисляется проще (проще приводится к табличному), если заменить переменную интегрирования новой функцией:

, причем . Тогда(по определению дифференциала, см. тему 5) и неопределенный интеграл будет выглядеть следующим образом:

 -

По этой формуле производят подстановку, или, что то же самое, замену переменной интегрирования. После определения первообразной следует совершить обратную замену (вернуться к старой переменной ).

Часто замена переменной совершается в обратном порядке:

 ,

тогда ее называют "внесение под знак дифференциала".Действительно,, то есть производнаявносится под знак дифференциала – букву. При этом под знаком дифференциала получают ту функцию, производная которой вносилась. В связи с этим полезно записать такую таблицу, которая получается из таблицы производных (дифференциалов):

Примеры

Внесение под знак дифференциала и использование свойства инвариантности.

 ,

Здесь использовано правило дифференцирования: ,

вывод: под знаком дифференциала можно прибавлять (вычитать) любую постоянную величину. 

 ,

Здесь использовано правило дифференцирования: ,

вывод: под знаком дифференциала можно умножать на любое число, разделив на это число весь интеграл. 

 Сравните два примера:

а) ,

и

б).

 - будьте внимательны и правильно определяйте табличный интеграл. 

 

 

 

 

 . Выделим полный квадрат в знаменателе:

.

Тогда 

В ряде случаев замена переменной вполне определена. Остановимся на случае рекомендованных тригонометрических подстановок. Они позволяют интеграл, содержащий квадратные корни определенного вида, привести к интегралу от тригонометрических функций, не содержащему корней. Эти замены сведены в таблицу.

	Исходный интеграл	Рекомендуемая тригонометрическая подстановка	По тригонометрическим формулам
1
2
3

Пример применения рекомендуемой тригонометрической подстановки см. в разделе "Примеры выполнения обязательных заданий по теме 6".

В других случаях для избавления от корня достаточно заменить подкоренное выражение такой степенной функцией, чтобы корень извлекался.

ПРИМЕР

	Для подстановки выбираем такую степенную функцию, чтобы все корни извлекались.
=	Упрощаем подынтегральное выражение.
=	Прибавляем и вычитаем в числителе единицу и разбиваем интеграл на сумму двух интегралов.
==	Применяем "внесение под знак дифференциала".
=	Переходим к переменной х . 

В обязательном задании интегралы 1,2,5,6 вычисляются методом замены переменной (внесения под знак дифференциала), поэтому еще примеры можно посмотреть в разделе "Примеры выполнения обязательных заданий по теме 6".